高中数学导数及其应用1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课件.pptx

1、1.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式,主题 几个常用函数的导数与基本初等函数导数公式 1.怎样利用定义求函数yf(x)的导数？,提示：(1)计算 ，并化简. (2)观察当x趋近于0时， 趋近于哪个定值. (3) 趋近于的定值就是函数yf(x)的导数.,2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. (1)函数yf(x)c(常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数yf(x)x的导数的物理意义呢？,提示：(1)若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. (2)若yx表示

2、路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.,3.利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？ 提示：可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度.,4.你能发现8个导数公式之间的联系吗？ 提示：公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例.,结论：导数的描述,0,cos x,-sin x,【微思考】 1.对于一些带有根号的函数如何求导，如y= ？ 提示：把y= 转化为y= 后再求导.,2.若f(x)=+2，则f(x)的导数是多少？ 提示：函数f(x)=+2,+2为常数，所以f(x)的导数是零.,3.若

3、f(x)=x2,则f(m)的含义是什么？ 提示：含义是函数f(x)=x2在x=m处对应的导数值.,4.原函数的定义域与导函数的定义域相同吗？ 提示：不一定.如f(x)= 与f(x)= 的定义域不同.,【预习自测】 1.曲线y=xn在x=2处的导数为12，则n等于( ) A.1B.2C.3D.4 【解析】选C.y=xn求导，得y=nxn-1，令n2n-1=12，解得n=3.,2.已知f(x)2x，则f(1)_. 【解析】因为f(x) 2x，所以f(x)2xln 2， 所以f(1) 21ln 22ln 2. 答案：2ln 2,3.正弦函数y=sin x在x= 处的切线方程为_. 【解析】求导，y=

4、cos x，代入x= ，可得曲线 y=sin x在x= 处的切线斜率为 ，又切点纵坐标为 sin ，即 ，所以所求切线方程为y- = (x- )，去分母化简得12y-6= x- ，即 x-12y+6- =0.,答案： x-12y+6- =0,4.一物体在曲线s= 上运动，则该物体在t=3时的瞬 时速度为_. 【解析】因为s=( )= ，所以该物体在 t=3时的瞬时速度为s(3)= = . 答案：,5.点P是曲线y=ex上任意一点，则点P到直线y=x的最小距离为_.,【解析】根据题意设平行于直线y=x 的直线与曲线y=ex相切于点(x0，y0) ，该切点即为与y=x距离最近的点 ，如图，则在点(

5、x0,y0)处的切线斜 率为1.因为y=(ex)=ex,所以ex0=1,得x0=0,代入y=ex，得y0=1，即P(0，1).利 用点到直线的距离公式得最小距离为 . 答案：,类型一 利用公式求函数的导数 【典例1】(1)给出下列结论： (cos )=-sin ; 若y= ,则y= ; 若f(x)=3x,则f(1)=3;,若y= ,则y= . 其中正确的个数是( ) A1 B2C3D4,(2)f(x) ，则f(1)( ) A. B.-C. D.-,【解题指南】(1)适当进行化简，再运用导数公式判断. (2)注意先对式子f(x) 化简，再求导.,【解析】(1)选A.cos = 为常数，则(cos

6、 ) =0，所以错误；y=( ) =(x-2)= ， 所以正确；因为f(x)=3x，所以f(x)=3,所以 f(1)=0,所以错误；y=( )=( ) = ,所以错误.,(2)选D.因为f(x) ， 所以f(x) ， 所以f(1) .,【方法总结】应用导数公式求导的两个注意事项 (1)应用导数公式时不需对公式说明,掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可. (2)对一些函数求导时,要弄清一些函数的内部关系,合理转化后再求导，如y= 可以转化为y= 后再求导.,【巩固训练】求下列函数的导数： (1)y= . (2)y= .,【解析】(1) . (2) .,类型二 导数公式的应用 【典例2】求

7、曲线y=x4在点P(2，16)处的切线方程. 【解题指南】判断出点P在曲线上后求出该点处的导数 值，即得切线的斜率.,【解析】由已知得，点P在曲线上.y=(x4)= 4x4-1=4x3. 所以当x=2时，y=423=32, 所以点P(2，16)处的切线方程为y-16=32(x-2)， 即32x-y-48=0.,【延伸探究】 1.求曲线y=x4过点Q(0，-3)的切线方程.,【解析】显然点Q不在曲线上，设切点为(x0,y0)， 因为y=4x3， 所以4x30= ，与y0=x40联立方程组， 解得 x0=1， y0=1,所以当切点为(1,1)时，切线斜率为4，切线方程为4x-y-3=0；当切点为(

8、-1,1)时，切线斜率为-4，切线方程为4x+y+3=0.,2.已知直线l：y=x-1，点M为y=x4上任意一点，求M在什么位置时到直线l的距离最短.,【解析】由题意知，在点M处的切线与直线l平行时，点 M到直线l的距离最短.设M(x1,y1)，因为y=4x3，所 以4x31=1，解得x1= ，所以点M的坐标为 ( , ).,【方法总结】导数法解决切线问题 (1)利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数，是高考的热点. (2)求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点.若切点没有给出，一般是先设出切点，然后求出切点坐标，最后求切线方程.,【补偿训练】1.已知函数y=x

9、2的图象在点(x0，x20)处 的切线为l，若l也与函数y=ln x，x(0，1)的图象相切，则x0必满足 ( ) A.0 x0 B. x01 C. x0 D. x0,【解析】选D.函数y=x2的导数为y=2x, 在点(x0,x20)处的切线的斜率为k=2x0, 切线方程为y-x20=2x0(x-x0), 设切线与y=ln x相切的切点为(m,ln m),0m1, 又y=ln x的导数为y= ,可得2x0= ,切线方程为y-ln m= (x-m), 令x=0,可得y=ln m-1=-x20, 由0m1,可得x0 ，且x201, 解得x01,由m= ，可得x20-ln(2x0)-1=0, 令f(x)=x2-ln(2x)-1,x1, f(x)=2x- 0,f(x)在(1,+)上递增， 且f( )=2-ln -10,f( )=3-ln -10, 则有x20-ln(2x0)-1=0的根x0( , ).,2.设坐标平面上的抛物线C:y=x2,过第一象限的点(a,a2)作曲线C的切线l,则l与y轴的交点Q的坐标为_,l与x轴夹角为30时,a=_.,【解析】因为y=2x,