3.1不等关系与不等式(4).ppt

1、2020年8月6日星期四,让理想的雄鹰展翅高飞！,不等式与不等关系(2) -不等式的性质,复习引入,1. 比较两实数大小的理论依据是什么?,2. “作差法”比较两实数的大小的一般 步骤?,如果ab ab0; 如果ab ab0; 如果ab ab0,性质1：如果ab，那么bb.,性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性。,常用不等式的性质,(对称性),性质2：如果ab，bc，那么ac.,证明：根据两个正数之和仍为正数，得,(ab)+(bc)0 ac0 ac.,这个性质也可以表示为cb，ba，则ca. 这个性质是不等式的传递性。,(传递性)

2、,性质3：如果ab，则a+cb+c.,证明：因为ab，所以ab0， 因此(a+c)(b+c)=a+cbc=ab0，,即 a+cb+c.,性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.,(可加性),a+bc a+b+(b)c+(b) acb.,由性质3可以得出,推论1：不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。 （移项法则）,推论2：如果ab，cd，则a+cb+d.,证明：因为ab，所以a+cb+c， 又因为cd，所以b+cb+d，,根据不等式的传递性得 a+cb+d.,几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向。,同向不

3、等式可相加性,性质4：,推论1：如果ab0，cd0，则acbd.,性质5：如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则acbc.,证明：因为ab，c0，所以acbc， 又因为cd，b0，所以bcbd，,根据不等式的传递性得 acbd。,几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。,(可乘性),性质6：,推论2：如果ab0，则anbn，(nN+，n1).,证明：因为,个，,根据性质4的推论1，得anbn.,(可乘方性),性质7：,推论3：如果ab0，则， (nN+，n1).,证明：用反证法，假定 ，即 或 ，,根据性质4的推论2和根式性质，得ab或a=b，,这都与a

4、b矛盾，因此,(可开方性),性质8：,不等式的性质,对称性,ab,传递性,ab，bc,可加性,ab,移项法则,a+cb,同向可加,ab，cd,可乘性,ab,同向正可乘,ab0，cd0,可乘方,ab0,可开方,ab0,(nR+),(nN),例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：,（1）已知ab，ab0，求证： ；,证明：,（1）因为ab0，所以,又因为ab，所以,即,因此,练习.若 ，则 的取值范围是_, 的取值是_.,（2）若3ab1，2c1， 求(ab)c2的取值范围。,因为4ab0，1c24， 所以16(ab)c20,例（1）如果30x36，2y6，求x2y及 的取值范围。,18x2y32，,练习已知4ab1，14ab5，求9ab的取值范围。,解：设9ab=m(ab)+n(4ab) =(m+4n)a(m+n)b，,令m+4n=9，(m