理论力学十一动量矩定理.ppt

1、？,几个有意义的实际问题,谁最先到 达顶点,第十一章 动量矩定理,？,几个有意义的实际问题,直升飞机如果 没有尾翼将发生 什么现象,？,几个有意义的实际问题,为什么二者 转动方向相反,？,几个有意义的实际问题,航天器是 怎样实现姿 态控制的,1. 质点的动量矩,11-1 质点和质点系的动量矩,2. 质点系的动量矩,质点系中所有质点对于点O的动量矩的矢量和，称为质点系对点O的动量矩。,令：,Jz刚体对 z 轴的转动惯量, 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。,定轴转动刚体对转轴的动量矩,11-2 动量矩定理,1. 质点的动量矩定理, 质点对某定点 的动量矩对

2、时间的导数，等于作用力对同一点的力矩。,2. 质点的动量矩守恒定律,有心力作用下的运动问题, 有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。,3. 质点系的动量矩定理,其中：, 质点系对某定点 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力 对同一点的矩的矢量和。,4. 质点系动量矩守恒定律,如果外力系对于定点的主矩等于 0，则质点系对这一点的动量矩守恒。,如果外力系对于定轴之矩等于 0，则质点系对这一轴的动量矩守恒。,解：取系统为研究对象,均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。,求：重物下落的加速度,应用动量矩定理,例11-1,水流通过

3、固定导流叶片进入叶 轮，入口和出口的流速分别为v1 和v2，二者与叶轮外周边和内周边切线之间的夹角分别为1和 2，水的体积流量为qV、密度为 ，水流入口和出口处叶轮的半径分别为r1和r2 ，叶轮水平放置。 求：水流对叶轮的驱动力矩。,解：在 d t 时间间隔内，水流 ABCD段的水流运动到abcd时， 所受的力以及他们对O轴之矩：,重力 由于水轮机水平放置，重力对O轴之矩等于0；,相邻水流的压力 忽略不计；,叶轮的反作用力矩 与水流对叶轮的驱动力矩大小相等，方向相反。,例11-2,应用动量矩定理,设共有 个叶片， 每相邻叶片间体积流量为,如右图所示，AB杆固定在转轴z上，A和B点分别悬挂有两个

4、相同质量小球，小球间有细绳相连，系统绕z轴转动，求当解除细绳后（如右图所示），系统的转速。,解：取系统为研究对象,由 得,例11-3,强与弱不分胜负,11-3 刚体绕定轴的转动微分方程, 刚体z轴的转动惯量, 质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。, 转动惯量是刚体转动时惯性的度量,解：取摆为研究对象,求： 微小摆动的周期。,已知：m，a，JO。,摆作微小摆动，有：,此方程的通解为,周期为,例11-4,求： 制动所需的时间。,已知： JO ， 0，FN ，f 。,解：取飞轮为研究对象,解得,例11-5,求： 轴的角加速度。,已知： J1 ， J2 ，

5、 R1 ， R2 ，i12 = R2 / R1 M1 ， M2 。,解：分别取轴和为研究对象,解得：,例11-6,11-4 刚体对轴的转动惯量,刚体对 转 轴的转动惯量,转动惯量是刚体转动时惯性的度量。 转动惯量的大小不仅与质量的大小有关，而且与质量的分布情况有关。 其单位在国际单位制中为kgm2,1. 简单形状物体的转动惯量的计算,（1）均质细直杆,（2）均质圆环,（3）均质圆板,2. 惯性半径（或回转半径）,2. 平行轴定理, 两轴必须是相互平行, JZC 必须是通过质心的,求：O 处动约束反力。,已知： m ，R 。,解：取圆轮为研究对象,解得：,由质心运动定理,例11-7,分析受力，运

6、动分析,对O点应用质点系的动量矩定理,则有,由,得,解： 受力分析,运动分析：绕质心转动，质心不动。,应用刚体定轴转动的微分方程,补充方程，应用质心运动定理,未知量,积分,未知量,解得,代入（1）式，得,解：受力分析,取圆轮为研究对象，受力如图，JAa0,因此，00，在杆下摆过程中，圆盘作平移,求OA杆的角加速度a,研究整体,对O点应用动量矩定理,由上式解出,求OA杆的角速度w,应用动量矩定理,分离变量,积分,得,对任一点O的动量矩与对 质心的动量矩之间的关系。,由动量矩定理,11-5 质点系相对质心的动量矩定理,这表明，以质点的相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩，其结果是相等的。

7、,质点系相对于质心的动量 ，有两种定义式,和,其中,得,这表明，质点系对任一点O的动量矩，等于质点系随质心平移时对点O的动量矩加上质点系相对于质心的动量矩。,质点系对任一点的动量矩,其中,得,其中有,得,质点系相对于质心的动量矩定理,由于,最后得,11-6 刚体平面运动微分方程,对于作平面运动的刚体，应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理，得,4kg的均质板静止悬挂。求：B点的绳或弹簧被剪断的瞬时，质心加速度各为多少。,例11-11,应用刚体平面运动微分方程,联立解(2)(3)(4)式,初瞬时弹簧还未变形，弹簧力为,根据平面运动微分方程,已知： m ，R, f ， 。,就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。,(a) 斜面光滑,解：取圆轮为研究对象,圆盘作平动,例11-12,(b)