第三章 质点系的运动定理.ppt

1、3-1质心和质心运动定理,3-2质点系的动量定理和动量守恒,3-3质点系动能定理和机械能守恒,3-0 教学基本要求,第三章 质点系的运动定理,3-4质点系的角动量定理和角动量守恒,30 基本教学要求,二掌握质点系的动量定理，明确质点系的动量守恒条件。,三掌握质点系动能定理、功能原理和机械能守恒定律，掌握运用动量和能量守恒定律分析质点系力学问题的思想和方法,一理解质点系概念，掌握求质心的方法，熟练掌握质心运动定理。,四 掌握质点系的角动量定理；并能运用角动量守恒定律解决问题。,一 质心,1质心的概念,板上C点的运动轨迹是抛物线,其余点的运动=随C点的平动+绕C点的转动,质量的中心，简称质心。,板

2、的运动=板的平动+绕C点的转动,31 质心 质心运动定律,2质心的位置,m1,mi,m2,c,由n个质点组成的质点系，其质心的位矢：,1）质量离散分布质点系,质心位置坐标表达式,质心位矢：,2）质量连续分布质点系,质心位置坐标表达式,1.质心的坐标值与坐标系的选取有关，但质心相对于质点系的位置不变。比如，质量分布均匀、形状对称的实物，质心位于其几何中心处； 2. 不太大的实物，质心与重心相重合。,注 意：,所以质心坐标为：,例2 求质量为m,半径为R的半圆形均匀薄板的质心。,薄板的质心坐标为：,二 质点系总动量,上式两边对时间 t 求一阶导数，得,质点系的总动量等于质点系的质量与质心速度的乘积

3、。,上式对时间 t 求一阶导数，得,作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以质心的加速度质心运动定律,三 质心运动定律,例3：如图所示，水平桌面上铺一张纸，纸上放一个球，球的质量为M，将纸向右拉时，会有摩擦力 F作用于球上，求：t 秒后球相对桌面移动多少距离？,解：,t秒后球沿拉动纸的方向相对于桌面移动的距离,匀加速运动,例4：一质量m1=50kg的人站在一条质量m2=200kg,长度l=4m的船的船头上。开始时船静止，试求当人走到船尾时船移动的距离。（水阻力不计）,人移动到船右端时，船的质心坐标为图中Cb, 此时系统质心坐标为,解：建立坐标系,图中Cb表示人移动前船的质心位置，此时船和人组成

4、的系统的质心坐标为：,由图可知： 代入上式得：,因系统在水平方向不受力的作用，又因系统原来质心静止，所以在人走动过程中系统质心位置始终不变.即xc=xc,所以有：,下次课将讲章节,3-2 质点系的动量定理和动量守恒,3-3质点系的动能定理和机械能守恒,3-4质点系的角动量定理和角动量守恒,一质点系的动量, 32质点系的动量定理和动量守恒,质点系总动量等于质点系总质量乘以质点系质心速度。,随质心C一起运动的参考系称为质心系。,在质心系中质点系总动量为：,质心系又称为零动量参考系。,二 质点系的动量定理,对两质点分别应用质点动量定理：,多质点系：,作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量质点系动

5、量定理,区分外力和内力,内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量.,注意,分量表示,例1、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落过程中，任意时刻绳作用于桌面的压力等于已落到桌面上的绳重量的三倍。,证明：取如图坐标，设t时刻已有x长的柔绳落至桌面,随后的dt时间内将有质量为dx的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停止,将x+dx作为研究系统,系统动量增量为：,此时桌面对柔绳的冲力为：,柔绳对桌面的冲力,桌面对柔绳的冲力,绳作用于桌面的压力 F总=F+mg=3Mgx/L=3mg,而已落到桌面上的柔绳重量为

6、,FF =2Mgx/L,质点系动量定理,若质点系所受的合外力,三 质点系的动量守恒定律,说明,(1)系统的总动量不变，但系统内任一物体的动量是可变的。各物体动量对应于同一惯性系。,(2) 守恒条件是,当 时,可近似地认为系统总动量守恒,所以质点系动量守恒定律也可表述为：质心速度不变,(3) 若 ，但满足,有,(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一,例2：一静止的原子核衰变辐射出一个电子和一个中微子后成为一个新的原子核已知电子和中微子的运动方向互相垂直，且电子动量为1.210-22 kgms-1，中微子的动量为6.410-23 kgms-1问新的原子核的动量的值和方向如何？,解 由

7、动量守恒定律有：,图中,而,例3：一枚返回式火箭以u= 2.5103 ms-1 的速率相对惯性系S沿水平方向飞行空气阻力不计现使火箭分离为两部分, 前方的仪器舱m1=100 kg,后方的火箭容器m2=200 kg,仪器舱相对火箭容器的水平速率为u1=1.0103 ms-1求仪器舱和火箭容器相对惯性系的速度,解：仪器舱相对于地的速度为：,据动量守恒定律有：,一质点系的动能定理,质点系动能定理,对质点系，有,对第 个质点，有,33 质点系的动能定理和机械能守恒,二 一对内力的功,系统内任意二质点1、2 间内力作的功,1 一对内力的功与参考系无关，只与两质点的相对位移有关,2 一对内力的功等于其中一

8、个质点所受的内力与该质点相对于另一个质点的位移的标积,结论,例1： 如图所示，一光滑的滑道，质量为M高度为h，放在一光滑水平面上，滑道底部与水平面相切质量为m的小物块自滑道顶部由静止下滑，（1）求物块滑到地面时滑道的速度； （2）物块下滑的整个过程中，滑道对物块所作的功。,解:(1) 将物块和滑道看为一个系统，在物块下滑过程中滑块和滑道之间的内力对系统所作的功为：,在水平方向系统未受外力作用，动量守恒，即,小球重力对系统所作功为：,令小物块飞离轨道时的速度为v，滑道速度为V，据动能原理得：,联立求解，得：,（2）物块下滑过程中，滑块重力和滑道都对滑块作功，对滑块应用动能定理，有：,例2 滑块A

9、置于光滑的水平面上，物体B放在滑块A上，假设滑块A足够长现用外力F拉动A由静止开始运动，则B在A上滑动，A、B间的滑动摩擦因数为 若B在A上向后相对滑动的距离为l 设A、B的质量分别为m1、m2求在此过程中A、B间的一对摩擦力所做的功之和为多少？,解： 以地面为参考系，设A滑动的距离为S,B滑块对地 移动S-l 摩擦力f做功,这对摩擦力做功,一对摩擦力所做的功之和等于其中一个物体所受的摩擦力乘以两个物体之间的相对位移，其值始终为负值。,(1) 万有引力作功,1 保守力作功的特点,对 的万有引力为,移动 时， 作元功为,三 保守力的功 势能,万有引力所作的功只由质点m2的起始和终了位置确定，与质

10、点所走路径无关。,(2) 重力的功,重力所作的功与具体路径无关，仅与初末两点距离地面的高度有关。,(3) 弹性力作功,m,弹性力所作的功只由弹簧的起始和终了位置确定，与弹性形变的具体过程无关。,（4）保守力与非保守力,弹力的功,引力的功,保守力某些力对质点做功只与质点的始末位置有关，而与路径无关。,重力的功,质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作的功为零,非保守力：力所作的功与路径有关 （例如摩擦力）,保守力作功的数学表达式,2势能,弹性势能,引力势能,弹力的功,引力的功,重力的功,重力势能,1）势能定义：在具有保守力相互作用的系统内，只由质点间的相对位置决定的能量称为势能。,2） 保守

11、力的功,令,3）势能计算,保守力作功等于势能增量的负值（或势能减少）。,某点的保守力势能等于将质点从该点移到势能零点的过程中，保守力所作的功。,4） 保守力用势能表示,在一维情况下，保守力功的微分形式：,保守力沿每个方向上的分力等于沿该方向单位长度的势能变化率的负值。,势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关,势能是状态的函数,势能是属于系统的,势能差与势能零点选取无关,5）势能曲线,弹性势能曲线,重力势能曲线,引力势能曲线,所以，质点在某点所受保守力等于势能曲线在该点斜率的负值,四质点系的功能原理,机械能,质点系的功能原理,功是能量变化与转换的一种量度。,能量代表质点系统在一定状态下具

12、有作功的本领，与质点系统的状态有关。,例 3雪橇从高50m的山顶A点沿冰道由静止下滑, 坡道AB长为500m滑至点B后又沿水平冰道继续滑行，滑行若干米后停止在C处. 若=0.050求雪橇沿水平冰道滑行的路程. 空气阻力忽略。,解：据功能原理有,将（2）和（3）式代入（1）式解得：,五机械能守恒定律,外力作的功和非保守内力作的功的代数和为零时质点系总机械能保持不变机械能守恒定律。 只有保守内力作功的情况下，质点系总机械能守恒.,在满足机械能守恒条件下，系统动能和势能可以相互转换，但动能和势能之和（机械能）不变。 这种转换通过质点系中保守力作功来实现。,机械能守恒定律：,例 4 一轻弹簧, 其一端

13、系在铅直放置的圆环的顶点P，另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并在环上运动(=0)开始球静止于点 A, 弹簧处于自然状态，其长为环半径R;当球运动到环的底端点B时，球对环没有压力求弹簧的劲度系数,解 以弹簧、小球和地球为一系统,只有保守内力做功,系统,即,又,一般情况碰撞,动能守恒,完全非弹性碰撞是最简单的非弹性碰撞。,碰撞过程中，系统的动量守恒。,六 两体碰撞,动能不守恒，并减小。,牛顿碰撞定律,碰撞恢复系数定义为两质点分离速度与接近速度之比,完全非弹性碰撞,完全弹性碰撞,一般非弹性碰撞,碰撞恢复系数e反映了碰撞过程能量损失的情况，其值取决于碰撞两物体的材料特性.,完全弹性碰撞,（五

14、个小球质量全同）,例5宇宙中有密度为 的尘埃， 这些尘埃相对惯性参考系静止有一质量为 的宇宙飞船以初速 穿过宇宙尘埃，由于尘埃粘贴到飞船上，使飞船的速度发生改变求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系. (设想飞船的外形是面积为S 的圆柱体）,解尘埃与飞船作完全非弹性碰撞,解：根据动量守恒定律得,根据机械能守恒定律得,由图知,解以上三方程的联立方程组得入射子弹的数速度大小为：,例 6：图示装置可用来测定子弹速度。质量为M的木块悬挂在长度为l的细绳下端, 一质量为m的子弹沿水平方向以速度v射中木块, 并停留在其中。木块受到冲击而向斜上方摆动, 当到达最高位置时, 木块的水平位移为s。试确定子弹的速

15、度。,证明：设碰撞后两球速度,由动量守恒得：,两边矢量模的平方有,由动能守恒可得：,所以两完全相同的两球碰后速度总互相垂直,将（3）式代入（2）式得：,例8设有两个质量分别为m1和m2，速度分别为 和 的弹性小球作对心碰撞，两球的速度方向相同若碰撞是完全弹性的，求碰撞后的速度,解：取速度方向为正向,因动量守恒有：,由机械能守恒定律得,(2),(1),(3),(1),（1）若,则,则,则,3.4 质点系角动量定理和角动量守恒,一质点系的角动量定理,质点系对定点O的角动量表示为,用 表示质点系对O点的总力矩,在dt时间内质点系对定点O角动量增量为,证明：任一对内力对定点O的矩为零,内力 对关于定点

16、O的力矩为：,所以在dt时间内质点系对定点O角动量增量,在有限时间内质点系对定点O角动量增量为：,微分形式,积分形式,在一段时间内质点系对于定点O角动量的增量等于外力对该点的冲量矩之和质点系角动量定理,说明：角动量守恒意味角动量矢量的方向固定和大 小不变。,同样对z轴：作用于质点系的外力矩代数和为零 质点系对z轴的角动量守恒,质点系角动量定理,对定点O：,二质点系的角动量守恒,说明：1) 质点系的角动量定理和角动量守恒定律都是相对惯性系成立。 2) 可证明：尽管质心系可能不是惯性系，但对质心系来说，角动量定理和角动量守恒定律总成立。,例1 在光滑水平面上一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端连接一质量为m1的小球1，最初小球1静止，弹