北京市海淀区高三第一学期期末考试数学理科

1、北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 一、一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项. （1）已知全集U，A B，那么下列结论中可能不成立的是（） （A）AI B A（B）AU B B 2 （C） U AI B （D） U BI A （2）抛物线y 2x的准线方程为 （） 111 （B）y （C）y （D）y 1 842 r （3）将函数y = cos2x的图象按向量a = (,1)平移后得到函数f (x)的图象，那么（ ） 4 （A）y （A）f (x)= - sin2x

2、+ 1 （B）f (x)= sin2x+ 1 （C）f (x)= - sin2x- 1 （D）f (x)= sin2x- 1 （4）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果c 3a，B= 30?，那么角C等 于（） （A）120（B）105（C）90（D）75 （5）位于北纬x度的A、B两地经度相差90，且A、B两地间的球面距离为 3 ， R（R为地球半径） 那么x等于 （） （A）30（B） 45 （C） 60 （D）75 （6）已知定义域为R R的函数 f(x)，对任意的x R R都有f (x+ 1)= f (x- 1 )+ 2恒成立，且 2 1 f ( )= 1，则f (6

3、2) 等于（） 2 （A）1（B） 62 （C） 64 （D）83 （7）已知, 1,2,3,4,5，那么使得sin?cos 0的数对(,)共有（ ） (A) 9 个(B) 11个(C) 12 个(D) 13 个 （8） 如果对于空间任意n(n 2)条直线总存在一个平面， 使得这n条直线与平面所成的角均相等， 那么这样的n（） （A）最大值为 3（B）最大值为 4（C）最大值为 5（D）不存在最大值 二、填空题二、填空题: :本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 3030 分分. .把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. . 2+ 4+ 6+ L +

4、 2n =. 2 n n 1, x 1 ， 1 （10）如果 f(x)= 那么f 轾 ；不等式f (2x- 1)? 的解集f 2 = ( ) 臌 20,x 1 ， （9）lim 是. （11）已知点F 1 、F 2 分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点， 若PF 1F2 为等腰直角三角形， 则该双曲线的离心率为_. 2x y 0, （ 12 ） 若 实 数 x 、y满 足y x,且z = 2x+ y的 最 小 值 为3 ， 则 实 数b的 值 y xb, 为. （13）已知直线x y m 0与圆x + y = 2交于不同的两点A、B，O是坐标原点， 22 uuu ruuu ruuu r

5、|OA+ OB |?| AB |，那么实数m的取值范围是 . （14）已知：对于给定的q N N及映射f : A *B,BN N*若集合C A，且C中所有元素对应的 象之和大于或等于q，则称C为集合 A 的好子集 对于q 2，A= a,b,c，映射 f : x 为； 对于给定的q，A= 1,2,3,4,5,6,，映射f : A B的对应关系如下表： 1,xA，那么集合 A 的所有好子集的个数 x f(x) 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 z y 若当且仅当C中含有和至少 A 中 2 个整数或者C中至少含有 A 中 5 个整数时，C为集合 A 的 好子集写出所有满足条件的数组(q,

6、y,z)： 三、解答题三、解答题: : 本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 8080 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明, , 演算步骤或证明过程演算步骤或证明过程. . (15)（本小题共 12 分） 已知函数f (x) sin x2 3sin(x 2 )cos(x)cos2x3. . 44 （）求函数f (x)的最小正周期和单调递减区间； - （）求函数f (x)在犏 轾25 , 上的最大值和最小值并指出此时相应的x的值. 犏 臌12 36 （16） （本小题共 12 分） 已知函数g(x)是f (x)= x (x 0)的反函数，点M(x0, y0)、N(y0,x0)

7、分别是f (x)、g(x)图 象上的点，l 1 、l2分别是函数f (x)、g(x)的图象在M,N两点处的切线，且l 1 l2 （）求M、N两点的坐标； （）求经过原点O及M、N的圆的方程 2 （17） （本小题共 14 分） 已知正三棱柱ABCA1B 1C1 中，点D是棱AB的中点，BC = 1,AA1= （）求证：BC 1 /平面A 1DC ； （）求C 1 到平面A1DC的距离； （）求二面角D - AC 1 - A的大小. D A 3. A 1 C 1 B 1 C B （18） （本小题共 14 分） 某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关. 若T1，则销

8、售 利润为 0 元；若1T3，则销售利润为100 元；若T3，则销售利润为200 元. 设每台该种电器的 无故障使用时间T1，1T3及T3这三种情况发生的概率分别为p1,p2,p3，又知p1,p2是方 2 程25x 15xa0的两个根，且p 2 p 3 . （）求p1,p2,p3的值； （）记表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的分布列； （）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值. （19） （本小题共 14 分） 已知点A(0,1)、B(0,- 1)，P是一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为- （）求动点P的轨迹C的方程； （）设Q(2,0)，过点(- 1,0)的直线l交C于

9、M、N两点，QMN的面积记为S，若对满足条件 的任意直线l，不等式S tanMQN恒成立，求的最小值. 1 . 2 （20） （本小题共 14 分） 如果正数数列an满足：对任意的正数M，都存在正整数n 0 ，使得an 0 M，则称数列a n是一 个无界正数列 1 ,n 1,3,5,L , n （） 若an32sin(n)n 1,2,3,L ，bn 分别判断数列an、b n 是 n1 , n 2,4,6,L , 2 否为无界正数列，并说明理由； a n a 1 a 2 1 L n （）若an n2，是否存在正整数k，使得对于一切n k，有成立； a 2 a 3 a n1 2 （）若数列an是单

10、调递增的无界正数列，求证：存在正整数m，使得 a m a 1 a 2L m 2009 a 2 a 3 a m1 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学数学（理科） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准2009.012009.01 一、选择题（一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） CABAB DDACABAB DDA 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分. .有两空的小题，第一空有两空的小题，第一空 3 3 分，第二空分，第二空 2 2 分，共分，共 3030 分）分） （9）1（10）1，0,1（11） 2 1 （12

11、） （13）(2, 2 U 2, 2)（14） 4，(5,1,3) 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题小题, ,共共 8080 分）分） (15)（本小题共 12 分） 解： （）f (x) sin x2 3sin(x 2 3sin (x 2 2 9 4 )cos(x)cos2x3 44 4 )cos2x3 =3sin2x- cos2x = 2sin(2x- 所以T = 6 )4 分 2 =. 5 分 2 3 由2k+ ? 2x? 2k(k ? Z Z)得 262 5 k+xk+ (k ? Z Z) 36 5 所以函数f (x)的最小正周期为，单调递减区间为k+ ,k+(k

12、 Z Z). 36 7 分 （）由（）有f (x)= 2sin(2x- 因为x? 犏 6 ). 轾25 , ， 犏 臌12 36 所以2x- 轾11 ? 犏, . 6犏 臌3 9 因为sin(- 411 )= sin 0)，所以g(x)= 2x(x 0) . (x)=从而f (x) 2x,g 1 2 x .3 分 所以切线l1,l2的斜率分别为k1 f (x0) 2x0,k 2 g(y 0 ) 1 2 y 0 . 2 又y0= x0(x0 0)，所以k2= 1 .4 分 2x 0 因为两切线l1,l2平行，所以k1 k 2 .5 分 2 从而(2x0) = 1. 因为x0 0， 所以x0= 1

13、 . 2 1 1 2 4 1 1 4 2 2 所以M,N两点的坐标分别为( , ),( , ).7 分 （）设过O、M、N三点的圆的方程为：x y Dx Ey F 0. 因为圆过原点，所以F 0.因为M、N关于直线y x对称，所以圆心在直线y x上. 所以D E. 又因为M( , )在圆上， 所以D E 2 1 1 2 4 5 . 12 22 所以过O、M、N三点的圆的方程为：x y 55 xy 0. 12 分 1212 （17） （本小题共 14 分） （）证明：连结AC1交A 1C 于点G，连结DG. 在正三棱柱ABC A 1B1C1 中，四边形ACC1A 1 是平行四边形， AG GC1

14、. AD DB， DGBC1.2分 DG 平面A 1DC ，BC1平面A 1DC ， BC1平面A 1DC . B D C B1 A G A1 C1 4 分 解法一： （）连结DC1，设C1到平面A 1DC 的距离为h. 四边形ACC 1 A 1 是平行四边形， S ACA1 S A 1CC1 . V DACA1 V DA 1CC1 . 11 V DACA 1 V A 1ACD S ACD AA 1 ， 38 1 V C1A 1CD .6 分 8 在等边三角形ABC中，D为AB的中点， CD = 3 ,CD AB. 2 AD是A 1D 在平面ABC内的射影， CD A 1D . 8 分 S A

15、1DC h DCDA 1 39 . 28 3V C1A 1DC S A 1DC 39 . 9 分 13 （）过点D作DE AC交AC于E，过点D作DF A 1C 交A 1C 于F，连结EF. 平面ABC平面ACC1A 1 ，DE 平面ABC，平 面ABC I平面ACC1A 1 AC， A D B A1 F C B1 C1 E DE 平面ACC1A 1 . EF是DF在平面ACC1A 1 内的射影. EF A 1C . DFE是二面角D- AC 1 - A的平面角. 12 分 在直角三角形ADC中，DE = ADDC3 = . AC4 同理可求：DF = A 1DDC= AC 1 39 . 8

16、sin DFE = DE2 13 = . DF13 DFE 形 骣 0, ， 桫 2 arcsin 2 13 .14 分 13 ? DFE 解法二：过点A作AO BC交BC于O，过点O作 所OE BC交B 1C1 于E.因为平面ABC平面CBB 1C1 ， z 以AO 平面CBB 1C1 .分别以CB,OE,OA所在的直线为 A D B x O B1 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示 .因为 A1 C1 E y BC= 1,AA 1 =3，ABC是等边三角形，所以O为BC 31 的中点.则O0,0,0，A0,0,，C ,0,0 ， 2 2 C 1331 D( ,0,)C, 3,0A

17、 1 0, 3, ， 1 . 6 分 442 2 r （）设平面A 1DC 的法向量为n x, y,z，则 r uuu r nCD 0, r uuur n A 1 C 0. uuu ruuur 3313 )，A 1 C (, 3,)， CD ( ,0, 4422 3 3 xz 0, 4 4 1 x3y 3 z 0. 22 r 取x 3，得平面A 1DC 的一个法向量为n 3,1,3 .8 分 uuuu r r CC1n39 C 1 到平面A 1DC 的距离为：.10 分 r 13 n ur ()解：同（）可求平面ACA 1 的一个法向量为n1 3,0, 1 .12 分 r ur 设二面角D-

18、AC 1 - A的大小为，则cos cos n,n 1 0,， 63 13 . 13132 arccos 3 13 .14 分 13 （18） （本小题共 14 分） 解： （）由已知得p1 p2 p31. p 2 p 3 ,p1 2p21. p 1 , p 2 是方程25x215x a 0的两个根, p 1 p 2 p 1 3 . 5 12 ,p2 p3.3 分 55 （）的可能取值为 0，100，200，300，400.4 分 111 P 0= , 5525 124 P100=2 , 5525 12228 P 200=2 , 555525 228 P 300=2 , 5525 224 P

19、400= .9 分 5525 随机变量的分布列为： P 0100200300400 1 25 4 25 8 25 8 25 4 25 11 分 （）销售利润总和的平均值为 E=0 14884 100 200300 400 =240. 2525252525 14 分 销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240 元. 注：只求出E，没有说明平均值为 240 元，扣 1 分. （19） （本小题共 14 分） 解： （）设动点P的坐标为(x, y)，则直线PA,PB的斜率分别是 由条件得 y- 1 y+ 1 ., xx y- 1 y+ 1 ? xx - 1 . 2 x2 + y2= 1(x? 0

20、). 即 2 x2 + y2= 1(x? 0). 5 分 所以动点P的轨迹C的方程为 2 注：无x0扣 1 分. （）设点M,N的坐标分别是(x 1, y1) ,(x 2 , y 2 ). 当直线 l 垂直于 x 轴时，x 1 = x 2 = - 1,y 1 = - y 2 , y 1 = 2 uuuu ruuu r 所以QM = (x 1 - 2,y 1) ,QN =(x 2 - 2,y 2 )=(x 1 - 2,- y 1) . uuuu r uuu r 所以QM ?QN 1 . 2 (x 1 - 2)- y 1 2= 2 17 .7 分 2 当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的

21、方程为y= k(x+ 1), x 2 + y2= 1, 由 2 得(1+ 2k2)x2+ 4k2x+ 2k2- 2= 0. y = k(x+ 1) 4k22k2 2 ,x 1 x 2 .9 分所以x1 x2 221 2k1 2k uuuu r uuu r 所以QM ?QN (x 1 - 2)(x 2 - 2)+ y 1 y 2 = x 1x2 - 2(x 1 + x 2 )+ 4+ y 1 y 2 . 因为y 1 = k(x 1 + 1), y 2 = k(x 2 + 1)， uuuu r uuu r 所以QM ?QN ( k2+ 1)x 1x2 + ( k2- 2)(x 1 + x 2 )+ k2+ 4= 171317 . - 0. 222(1+ 2k ) 所以cosMQN 0. uuuu r uuu r 所以QM QN 2恒成立.13 分 所以的最小值为 17 .14 分 4 注：没有判断MQN为锐角，扣 1 分. （20） （本小题共 14 分） 解： （）an不是无界正数列理由如下： 取 M = 5，显然an 32sin(n) 5，不存在正整数n0满足an 0 5； b n是无界正数列理由如下： 对任意的正数 M，取n0为大于 2M 的一个偶数，有bn 0 n 0 12M 1 M，所以b n是 22 无界正数列4 分 （）存在满足题意的正整数k.理由如下： 当n 3时