北京高考数学试题(理)

1、20072007 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类） （北京卷）（北京卷） 本试卷分第本试卷分第 I I 卷（选择题）和第卷（选择题）和第 II II（非选择题）两部分，第（非选择题）两部分，第 I I 卷卷 1 1 至至 2 2 页，第页，第 II II 卷卷 3 3 至至 9 9 页，共页，共 150150 分考试时间分考试时间 120120 分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回 第第 I I 卷（选择题卷（选择题共共 4040 分）分） 注意事项：注意事项： 1 1答第答第 I I 卷前

2、，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案不能答在试卷上再选涂其他答案不能答在试卷上 一、本大题共一、本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知cosgtan 0，那么角是（） 第一或第二象限角

3、第三或第四象限角 x 第二或第三象限角 第一或第四象限角 2函数f (x) 3 (0 x2)的反函数的定义域为（） (0， )(1 ， 9(0， 1)9， ) 3平面 平面的一个充分条件是（） 存在一条直线，a，a 存在一条直线a，a ，a 存在两条平行直线a，b，a ，b ，a，b 存在两条异面直线a，b，a ，a，b uuu ruuu ruuu r 4已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OAOBOC 0 0，那么（） uuu ruuu r AO OD uuu ruuu r AO 3OD uuu ruuu r AO 2OD uuu ruuu r 2AO OD 5记者要为5 名志

4、愿者和他们帮助的2 位老人拍照，要求排成一排， 2 位老人相邻但不排在两端，不同的 排法共有（） 1440 种960 种720 种480 种 x y， 2x y2， 6若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（） y0， x ya 444 a0 a11a0 a1或a 333 7如果正数a，b，c，d满足ab cd 4，那么（） abcd，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 abcd，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 abcd，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 abcd，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 8对于函数f (x) lg(x2 1)，f (x) (x2)

5、，f (x) cos(x2)，判断如下三个命题的真 假： 命题甲：f (x2)是偶函数； 命题乙：f (x)在(， )上是减函数，在(2， )上是增函数； 命题丙：f (x2) f (x)在(， )上是增函数 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（） 2 20072007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）数学（理工农医类） （北京卷）（北京卷） 第第 II II 卷（共卷（共 110110分）分） 注意事项：注意事项： 1 1用钢笔或圆珠笔将答案直接写用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上在试卷上 2 2答卷前将密封线内的项目填写清楚答卷前将密

6、封线内的项目填写清楚 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 9 2 (1i)2 22， 3， L )，则此数列的通项公式为 10若数列an的前n项和Sn n 10n(n 1，； 数 列 na n中数值最小的项是第 11在ABC中，若tan A 项 1 o ，C 150，BC 1，则AB 3 12已知集合A x | xa 1，B x x 5x40若AI B ，则实数a的取值范围是 132002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基 础设计的弦图是由四个全

7、等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如 图） 如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为， 那么cos2的值等于 2 14已知函数f (x)，g(x)分别由下表给出 x 1 1 2 3 3 1 x 1 3 2 2 3 1 f (x)g(x) 则fg(1)的值为；满足fg(x) g f (x)的x的值是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （本小题共 13 分） 数列an中，a 1 2，a n1 a n cn（c是常数，n 1 ，

8、且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列， 2， 3， L） （I）求c的值； （II）求an的通项公式 16 （本小题共 14 分） A 如图，在RtAOB中，OAB ，斜边AB 4RtAOC可以通过 6 D RtAOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B AOC是直二面角动点 D的斜边AB上 （I）求证：平面COD 平面AOB； （II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小； （III）求CD与平面AOB所成角的最大值 17 （本小题共 14 分） O C B 0)，AB边所在直线的方程为x3y 6 0，点T(11)，在AD 矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2， 边所在直

9、线上 （I）求AD边所在直线的方程； （II）求矩形ABCD外接圆的方程； 50 参加人数 （III）若动圆P过点N(2， 0)，且与矩形ABCD的外接圆外切， 40 求动圆P的圆心的轨迹方程 18 （本小题共 13 分） 30 20 活动次数 123 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下 10 简称活动） 该校合唱团共有 100 名学生， 他们参加活动的次数统计 如图所示 （I）求合唱团学生参加活动的人均次数； （II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率 （III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值， 求随机变量的分布列

10、及数学期望 E 19 （本小题共 13 分） 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割 成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记 D C 4r A 2rB CD 2x，梯形面积为S （I）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； （II）求面积S的最大值 2， L ，k)，由A中的元素构成两个相应的 20已知集合Aa 1 ，a 2， L ，ak (k2)，其中a i Z(i 1， 集合： S (a，b) a A，b A，ab A，T (a，b) a A，b A，ab A 其中(a，b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和

11、n 若对于任意的a A，总有a A，则称集合A具有性质P （I） 检验集合01写出相应的集合S和T； ， ， 2， 3与1， 2， 3是否具有性质P并对其中具有性质P的集合， （II）对任何具有性质P的集合A，证明：n k(k 1) ； 2 （III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论 20072007 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）数学（理工农医类） （北京卷）答案（北京卷）答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 8 小题，每小题，每小题小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分） 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

12、1 cosgtan0， 当 cos0 时，第三象限；当 cos0，tan0 时，第四象限， 选 C。 2函数f (x) 3 (0 x2)的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(1 ， 9， 选 B。 3平面 平面的一个充分条件是“存在两条异面直线a，b，a ，a，b” ，选 D。 x uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 4O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点， OBOC 2OD，且2OAOBOC 0 0， uuu ruuu ruuu ruuu rr 2OA2OD 0，即AO OD，选 A 5 5 名志愿者先排成一排，有 A 5 种方法，2 位老人作一组插入

13、其中， 且两位老人有左右顺序，共有 524 A 5 =960 种不同的排法，选 B。 5 x y， 2x y2， 6不等式组，将前三个不等式画出可行域， 三个顶点分别为(0， y0， x ya 22 0)，(1，0)，(，)，第四个不等式x y a，表示的是斜率为1 的直线 33 4 的下方， 当0a1时，表示的平面区域是一个三角形，当a时，表示 3 的平面区域也是一个三角形，选D。 2 2 y y 1 1 2 2 3 3 , , 2 2 3 3 x x 0 0 1 1 7正数a，b，c，d满足ab cd 4， 4=a b 2 ab，即ab 4，当且仅当a=b=2 时， “=”成 立；又 4=

14、cd ( cd 2) ， c+d4，当且仅当 c=d=2 时， “=”成立；综上得abcd，且等号成立 2 时a，b，c，d的取值都为 2，选 A。 8函数f (x) lg(x2 1)，函数f (x 2)=lg(| x|1)是偶函数；且f (x)在(， )上是减函数，在 (2， )上是增函数； 但 对 命 题 丙 ：f (x 2) f (x)=lg(| x|1)lg(| x2|1) lg | x|1 在 x ( ,0) 时 ， | x2|1 lg (| x|1)x12 lg lg(1)为减函数，排除函数， (| x2|1)2 x1x3 对于函数，f (x) cos(x2)函数f (x2) co

15、s(x2)不是偶函数，排除函数 只有函数f (x) (x2)符合要求，选 D。 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小小题，每小题题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 题号 答案 91011121314 1，2 2 i2n11, 3 10 2 (2， 3) 7 25 9 22 i。 2(1i)2i 22， 3， L ) ，数列 为等差数 列，数列的 通项公式 为10 数列 a n 的前n项 和S n n 10n(n 1， a n S n S n1 =2n11，数列nan的通项公式为nan 2n211n，其中数值最小的项应是最靠近对称 轴n 11 的项，即 n=3，

16、第 3 项是数列nan中数值最小的项。 4 11 ，C 150o， A 为锐角，sin A ，BC 1，则根据正弦定理 310 11在ABC中，若tan A AB 10BCsinC =。 2sin A 12集合A x | xa 1=x| a1xa+1，B x x 5x40=x| x4 或 x1 又 2 a1 4 AI B ， ，解得 2a3，实数a的取值范围是(2，3)。 a11 13图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的 a 2b2 25 两条直角边长分别为 a, b，则 1 ， 两条直角边的长分别为3，4，直角三角形中较小的锐角 ab 6

17、 2 为，cos= 47 ，cos2=2cos21=。 525 14fg(1)=f (3)1； 当 x=1 时，fg(1)1,g f (1) g(1) 3，不满足条件， 当 x=2 时，fg(2) f (2) 3,g f (2) g(3) 1，满足条件， 当 x=3 时，fg(3) f (1)1,g f (3) g(1) 3，不满足条件， 只有 x=2 时，符合条件。 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分）分） 15 （共 13 分） 解： （I）a 1 2，a 2 2c，a 3 23c， 因为a1，a2，a3成等比数列， 所以(2c)2 2(2 3

18、c)， 解得c 0或c 2 当c 0时，a 1 a 2 a 3 ，不符合题意舍去，故c 2 （II）当n2时，由于 a 2 a 1 c， a 3 a 2 2c， L L a n a n1 (n1)c， 所以ana 1 12L (n1)c n(n1) 2 c 又a n(n1) n2 1 2，c 2，故a n 2n 2(n 2， 3， L ) 当n 1时，上式也成立， 所以a 2 n n n 2(n 1， 2， L ) 16 （共 14 分） 解法一： （I）由题意，CO AO，BO AO， BOC是二面角B AOC是直二面角， 又Q二面角B AOC是直二面角， CO BO，又Q AOI BO O

19、， CO 平面AOB， 又CO 平面COD 平面COD 平面AOB A D O E B C （II）作DE OB，垂足为E，连结CE（如图） ，则DEAO， CDE是异面直线AO与CD所成的角 在RtCOE中，CO BO 2，OE 1 2 BO 1， CE CO2OE25 又DE 1 2 AO 3 在RtCDE中，tanCDE CE515 DE 3 3 异面直线AO与CD所成角的大小为arctan 15 3 （III）由（I）知，CO 平面AOB， CDO是CD与平面AOB所成的角，且tanCDO OC OD 2 OD 当OD最小时，CDO最大， 这时，OD AB，垂足为D，OD OAg OB

20、 AB 3，tanCDO 2 3 3 ， CD与平面AOB所成角的最大值为arctan 2 3 3 解法二： （I）同解法一 （II）建立空间直角坐标系O xyz，如图，则O(0， 0， 0)，A(0， 0， 2 3)， C(2， 0， 0)，D(0， 1，3)， u OA uu r (0， 0， 2 3)， u CD uu r (2， 1，3)， cos u OA uu r uuu r uuu r ， u CD uu r u OA OA uu r g CD guCD uu r 66 2 3g2 2 4 异面直线AO与CD所成角的大小为arccos 6 4 （III）同解法一 17 （共 14

21、 分） z A D O B y x C 解： （I）因为AB边所在直线的方程为x3y6 0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3 又因为点T(11)，在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y1 3(x1) 3x y 2 0 （II）由 x3y6 0， 解得点A的坐标为(0， 2)， 3x y2 = 0 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2， 0) 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心 又AM (20) (02) 2 2 从而矩形ABCD外接圆的方程为(x2) y 8 （III）因为动圆P过点N，所以PN是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切， 所以PM PN 2 2， 即PM PN 2

22、2 故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2 2的双曲线的左支 因为实半轴长a 22 22 2，半焦距c 2 所以虚半轴长b c2a22 x2y2 1(x 2) 从而动圆P的圆心的轨迹方程为 22 18 （共 13 分） 解：由图可知，参加活动1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、50 和 40 （I）该合唱团学生参加活动的人均次数为110250340 230 2.3 100100 222C 10 C 50 C 40 41 （II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为P 0 2C 100 99 （III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加 1 次活动，另

23、一人参加 2 次活动”为事件A，“这 两人中一人参加 2 次活动，另一人参加 3 次活动”为事件B，“这两人中一人参加 1 次活动，另一人参加 3 次活动”为事件C易知 P(1) P(A) P(B) 1111C 10C50 C 50C40 50 2 4 ； C 100 C 100 99 P( 2) P(C) 11C 10C40 8 2 ； C 100 99 的分布列： 012 P 41 99 50 99 8 99 的数学期望：E 0 19 （共 13 分） 415082 12 9999993 解： （I）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O xy（如图） ，则点C的横坐标为x x2y2 点C的纵坐标y满足方程 2 2 1(y0)， r4r 解得y 2 r2 x2(0 x r) y C D 1 S (2x2r)g2 r2 x2 2 2(xr)g r2 x2， 其定义域为x 0 x r AOB x 0 x r， （II）记f (x) 4(xr) (r