2.2.1直线的参数方程.ppt

1、2.2.1 直线的参数方程 (1),主备：冯宗明 喻浩 徐洪燕 审核：牟必继,有计划就去做，不要总找借口,一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学.,（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y都是某个变数t的函数，即 并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述

2、方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。,（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。,1、参数方程的概念,一、复习回顾,注意： (1)、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。,(2)、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。 (3)同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样; (4)在实际问题中要确定参数的取值范围.,2、

3、求曲线的参数方程一般步骤: （1）建立直角坐标系, 设曲线上任一点P坐标为 (x,y) ； （2）选取适当的参数t; （3）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义, 建立点P坐标与参数的函数式; （4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程;,请同学们回忆:,我们学过的直线的普通方程都有哪些?,两点式:,点斜式:,一般式:,3、什么叫做向量？向量有哪些表示方法？,4、向量的数量是怎样的？,2、直线的参数方程有许多形式，但我们主要学习其中的两种基本的形式：,二、新课讲解：,1、引出问题:直线的参数方程是怎样的？今天我们来研究直线的参数方程，,（1）一条直线L的倾斜角是300，并且经过点P（2，

4、3），如何描述直线L上任意点的位置呢？,3、教师引导学生推导直线的参数方程：,所求直线的参数方程为：,(t为参数),M,设直线上的任意一点M(x,y),Q,3、教师引导学生推导直线的参数方程：,所求直线的参数方程为：,如果已知直线L经过两个定点Q(1，1),P(4，3),那么又如何描述直线L上任意点的位置呢？,( 为参数),M,设直线上的任意一点M(x,y),B,N,A,抽象概括一般的直线的参数方程：,思考:,也即是从点P到M的位移，可以用有向线段PM的数量表示。,抽象概括一般的直线的参数方程：,如果已知直线L经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的直线的参数方程为：,M,设直线上的任

5、意一点M(x,y),当 时，点M与Q重合。,( 为参数， ),(1)一条直线L的倾斜角是,并且经过点P(x0,y0)的直线的参数方程为：,所求直线的参数方程为：,(t为参数),4、抽象概括一般的直线的参数方程：,M,设直线上的任意一点M(x,y),如果已知直线L经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的直线的参数方程为：,M,设直线上的任意一点M(x,y),当 时，点M与Q重合。,( 为参数， ),当点M在线段QP上时,取“+”;当点M在线段QP的延长线或反向延长线上时,取“-”号。,三、例题讲解,练习：,B,3、P32 练习1,2,3,如果在学习直线的参数方程之前,你会怎样求解本题呢？

6、,探究:,2,四、课堂练习,练习,四、课堂小结,2.2.1 直线的参数方程 (2),(1)一条直线L的倾斜角是,并且经过点P(x0,y0)的直线的参数方程为：,(t为参数),1、复习回顾：直线的参数方程：,M,(标准形式 ),当点M(x，y)在点(x0，y0)的上方时，t0； 当点M(x，y)在点(x0，y0)的下方时，t0； 当点M(x，y)与点(x0，y0)重合时，t=0. 以上反之亦然,(t是参数)，这虽然不是标准形式，但 仍表示过P(x0,y0)且倾斜角为的直线，参数t与标准方程的t是互为相反数。,(2, - 1),110,B,D,(2)直线的参数方程的一般形式： (t为参数) 其中(

7、x0，y0)表示该直线上的一点, 表示直线的斜率当a，b分别表示点M(x，y)在x轴正方向与y轴正方向的分速度时,t就具有物理意义时间,相应的at，bt则表示点M(x，y)在x轴正方向、y轴正方向上相对(x0，y0)的位移,解：由题意知则直线PQ的方程是 (时间t 是参数) 将t=3s代入得Q（8，14）。,例一个小虫从P（1，2）出发,已知它在 x轴方向的分速度是3,在y轴方向的分速度是4,问小虫3s后的位置Q。,说明：(1)标准形式是一般形式的特殊情况。一般式中当a2+b2=1且b0就是标准形式。,(2)当a2+b21，可以把一般形式转化为标准形式。过程 如下：,一般仍写成,转化之后仍表示

8、同一条曲线。,如果已知直线L经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的直线的参数方程为：,M,设直线上的任意一点M(x,y),当 时,点M与Q重合。,( 为参数， ),当点M在线段QP上时,取“+”;当点M在线段QP的延长线或反向延长线上时,取“-”号。,说明：1、由曲线的参数方程知道，每个参数值对应曲线上的一个点，所以要求曲线上的一个点，可先求这个点对应的那个 参数的值。,2、直线的参数方程的标准形式的应用：,(1)参数t的几何意义是定点P(x0,y0) 到M(x,y) 的有向线段的数量,(2)设直线上的三点A,B,C对应的参数分别是t1,t2 t3,则有,过定点P(x0,y0)且倾斜

9、角的直线的参数方程为：,如点C是线段AB的中点，则有,特殊地，点P是线段AB的中点，则有,例1,解:,因为把点M的坐标代入直线方程后,符合直线方程,所以点M在直线上.,易知直线的倾斜角为,把它代入抛物线y=x2的方程,得,直线参数方程的应用（标准形式）,1） 求一端点是M0(x0,y0)的线段长,3） 求一端点是M0(x0,y0)的两线段 长 的和与积,2) 求弦长,错解：,错误分析：直线的参数方程必须先转化为标准形式后才可运用，即要理解直线的参数方程中的参数的几何意义,正解：,点评：要求A、B两点到P的距离之和或积，由参数的几何意义，即只要求|tA|+|tB|或|tAtB|，求|AB|即求出

10、|tA-tB|，运用韦达定理和直线的参数方程中t的几何意义即可，是解决直线和二次曲线问题常用的方法之一,(3, 4),B,9,直线的参数方程：,例2求点A（1，2）关于直线l：2x 3y +1 =0的对称点A 的坐标。,解：由条件，设直线AA 的参数方程为 (t是参数)， A到直线l的距离d = ， t = AA = ， 代入直线的参数方程得A ( ， )。,点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。,二、求解中点问题,例3已知双曲线 ，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。,分析：

11、中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1+t2=0。,解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是 。(t是参数)，代入双曲线方程得： (2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0， 由题意t1+t2=0，即2x0cosy0sin =0，得 。 又直线P1P2的斜率 ， 点P（2，1）在直线P1P2上， ， 即2x2 y2 4x +y = 0为所求的轨迹的方程。,三、求定点到动点的距离,例4直线l过点P(1，2)，其参数方程为 (t是参数)，直线l与直线 2x +y 2 =0 交于点Q， 求PQ。,解：将

12、直线l的方程化为标准形式 ， 代入 2x +y 2 =0得 t = ， PQ = | t| = 。,点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。,解：直线l的方程可写成 ，代入圆的方程整理得：t2 + t4=0，设点A，B对应的参数分别是t1 ，t2，则t1 +t2 = ，t1 t2 = 4，由t1 与t2的符号相反知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 t2| = ， PA PB =| t1 t2 | = 4。,例5经过点P(1，2)，倾斜角为 的直线 l与圆 x2 +y2 = 9相交于A，B两点，求PA +PB和PA PB

13、的值。,点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。,解：由条件可设AB的方程为 (t是参数)，代入抛物线方程得t2sin22ptcos p2 = 0， 由韦达定理： ， AB = |t1 t2| =,四、求直线与曲线相交弦的长,例6已知抛物线y2 = 2px，过焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求证：,分析：弦长AB = |t1 t2|。,例7已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A，B两点，若FA =2FB，求则椭圆的离心率。,分析：FA =2FB转化成直线参数方程中的 t1= 2t2或|t1| =2|t2|。,解：设椭圆方程为 ，左焦点F1（c，0），直线AB的方程为 ，代入椭圆整理可得： ( b2 + a2)t2 b2ct b4 = 0，由于t1= 2t2，,思考： 例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l的方程怎样求？,在研究线段的长度或线段与线段之间的关