《平面力系的平衡》PPT课件.ppt

1、第2节 平面力系的平衡,一 力的投影和合力矩定理 二 力的平移定理 三 平面任意力系的简化 四 平面力系的平衡方程及应用,1,平面力系的平衡,平面力系及其分类 平面力系： 各力作用线都在同一平面内的力系。 平面汇交力系：在平面力系中，各力作用线汇交于一点的力系。 平面力偶系： 在平面力系中，全部由力偶组成的力系。 平面平行力系：在平面力系中，各力作用线互相平行的力系。 平面任意力系：在平面力系中，各力作用线任意分布的力系。,1,力的投影与合力矩定理 1 力在直角坐标轴上的投影与分解 2 合力投影定理 3 合力矩定理,平面力系的平衡,x,y,a,b,a,b,o,1、 力在直角坐标轴上的投影与分解

2、,A,B,1）若已知合力 F及其与X轴的夹角，则F在直角坐标系 xoy 的 X、Y轴上的投影分别为Fx及Fy : 2) 投影的正负号规定如下：对Fx，若从a到b的方向与X轴正向一致，则取正号,反之取负号。对Fy，则以类似方法决定其正负号.,3）若已知合力 F在X、Y轴上的投影 Fx、Fy，则合力F的大小由右式之标量F表示、其方向由tan表示：,(A) 力在直角坐标轴上的投影,在力F作用的平面内建立直角坐标系xoy，由力F的起点A和终点 B分别作x轴的垂线，垂足分别为 a、b，线段ab冠以适当的正负号 即称为力F在x轴上的投影，用Fx表示之，即：Fx=ab. 同理，力F在y轴上的投影，用Fy表示

3、之，即：Fy=ab.,（B）力在直角坐标轴上的分解,若将力 F（矢量，以红色表示，下同）沿直角坐标轴方向分解，可得两个分力Fx及Fy。必须注意，分力亦为矢量，其作用点必须与原力 F 的作用点相同，其大小及方向则按照力的平行四边形公理来确定。而前述之投影Fx及Fy（标量，以黑色表示）则为代数量，代数量无作用点，两者不可混淆。只有在沿直角坐标轴方向分解时，分力的大小才与对应坐标轴上的投影的绝对值相等。,1）平面汇交力系的合力 设一刚体受平面汇交力系 F1, F2, , Fn 作用，多次利用力在刚体中的可传性和力的平行四边形公理，可推出： 此力系可合成为一个合力FR，即平面汇交力系的合力矢量等于该力

4、系各分力的矢量和，此合力矢量可由下式表示：,FR= F1+ F2+ Fn = F,2、 合力投影定理,合力投影定理,2）合力投影定理 将上述等式 ( FR= F1+ F2+ Fn = F ) 各端分别向 x、y 轴投影，可得出合力投影定理：合力在坐标轴上的投影等于各分力在同轴上投影的代数和。,合力投影定理,合力的大小 FR 、方向可分别表示为 ：,式中：表示合力FR与x轴所夹的锐角，FR的指 向由Fx和Fy的正负来确定。,求如图所示平面汇交力系的合力。其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 各力与x轴之夹角如图所示。,解：,根据合力投影定

5、理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：,例 题 1. 5,合力投影定理,合力的大小：,合力与轴x的夹角的正切为：,所以，合力与轴x的夹角为,例 题 1. 5,合力投影定理,FR,合力矩定理,设刚体上作用有一个平面汇交力系 F1,F2，Fn, 其合力为 FR，由于合力FR与该力系等效，所以得出：合力对平面内任意点之矩，等于所有各分力对同一点之矩的代数和。此即为合力矩定理，如下式所示： 当合力的力臂不易求出时，常将合力正交分解为两个易确定力臂的分力，然后应用合力矩定理计算力矩。,Mo(FR)= Mo(F1)+ Mo(F2)+.+ Mo(Fn) =Mo(F),3、 合力矩定理,图 a）所示圆柱直齿轮

6、的齿面受一啮合角=20的法向压力Fn=1 kN的作用，齿面分度圆直径d=60 mm。试计算力对轴心O的力矩。,解1：按力对点之矩的定义,例 题 1.6,合力矩定理,Mo（FR）Mo（Ft）Mo（Fr） Ft r 0 Fn cos r 28.2 Nm,b),解2：按合力矩定理,例 题 1. 6,合力矩定理,一轮在轮轴B处受一切向力F的作用，如图2-10a所示。已知F、R、r和，试求此力对轮与地面接触点A的力矩。,例 题 1.7,合力矩定理,合力矩定理,C,MA（F）=MA（Fx）+ MA（Fy） MA（Fx）= -Fx CA = -Fx (OA - OC) = -Fcos (R - rcos )

7、 MA（Fy） =Fy rsin =Frsinsin =Frsin2 MA（F）= -Fcos (R - rcos ) + Frsin2 =F ( r - Rcos ),合力矩定理,C,二、 力的平移定理,1,作用在刚体上A点处的力F，可以平移到刚体内任意点O，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点O之矩。,力的平移定理,1,力的平移定理图解说明,O,O,O,A,A,A,O,F,F,F,F,F”,F,F”,F,A,d,d,d,M=Fd,1,2,3,4,力的平移定理,力的平移定理：揭示了力与力偶在对物体的作 用效应方面的区别和联系： 可以将一个力转换或分解为一个力和一个力偶，

8、也可以将同一平面内的一个力和一个力偶合成为 一个力。 也就是说：一个力不能与一个力偶等效，但一 个力可以和一个与它平行的力和一个力偶的 联合作用等效。,三、 平面任意力系的简化,平面任意力系的简化,平面任意力系向平面内任一点的简化 1、设刚体上作用有一个平面任意力系 F1, F2, , Fn, 各力的作用点分别为 A1,A2,An, 在平面内任选一点O，称为简化中心，多次利用力的平移定理，可将力系中的各力分别平移到点O。平移的结果，得到一个作用于O点的平面汇交力系 F1 , F2 , , Fn, 和一个附加的平面力偶系M1=MO(F1),M2=MO(F2),Mn=MO(Fn)； 2、主矢：对平

9、移后得到的平面汇交力系 F1, F2, , Fn，反复利用平行四边形公理，可将 此力系合成为一个合力 F R ，该合力 F R 即称为原平面任意力系的“主矢”。主矢的作用点在简化中心O ，主矢的矢量大小等于平移后得到的平面汇交力系中各分力的矢量和，亦等于原任意力系中各分力的矢量和（注意：主矢不能称为原任意力系的合力，因为它们并不等效。），即： FR = F1 + F2 + Fn = F1 + F2 + + Fn = F = F 主矢的标量大小和方向分别为：,平面任意力系的简化,3、主矩：对前述附加的平面力偶系M1=MO(F1),M2=MO(F2),Mn=MO(Fn),根据力偶的性质可知，力偶对

10、刚体只产生转动效应，且转动效应的大小完全取决于力偶矩的大小和转向，因此该附加的平面力偶系可简化为一个合力偶， 该合力偶之矩为 MO 。 MO 即称为原平面任意力系对简化中心 O 的 “主矩”。 主矩的大小等于各个分力偶矩的代数和，亦即等于原任意力系 中各力 F1, F2, , Fn, 对简化中心 O 之矩的代数和， 即： Mo = M1 + M2 + + Mn = M =Mo(F) 4、注意事项： （1）关于主矢：选取不同的简化中心，主矢不会改变，因为主矢总是等于原任意力系中各力的矢量和，也就是说，主矢与简化中心 O 的 位置无关。 （2）关于主矩：主矩的大小等于原任意力系 中各力 F1, F

11、2, , Fn, 对简化中心 O 之矩的代 数和。因此，一般来说，主矩与简化中心 O 的 位置有关，提到主矩时一定要指明是对哪一点的主矩。 （3）关于等效：主矢与主矩的共同作用才与原任意力系等效。,平面任意力系向平面内任一点简化可以得到一个力和一个力偶，这个力等于力系中各力的矢量和，作用于简化中心，称为原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和，称为原力系的主矩。,平面任意力系的简化,（5）结论,6、平面任意力系简化结果的简单总结：,FR=F =F MO = M1 + M2 + Mn =MO (F),平面任意力系的简化,（1）简化结果：,（2）主矢的矢量大小及主矩的大小分

12、别表示如下：,平面任意力系的简化,（3）主矢在X,Y轴的投影、主矢的标量大小及方向分别表示如下：,应用实例,平面任意力系的简化,应用实例,平面任意力系的简化,应用实例,平面任意力系的简化,四、平面力系的平衡方程及应用,对平面任意力系简化（或称合成）结果的分析,（1）FR=0，Mo0,（2）FR 0，Mo =0,（3）FR 0，Mo0,（4）FR=0，Mo = 0,平面力系的平衡方程及应用,平面力系的平衡方程及应用,根据以上分析可知， 平面任意力系平衡的充要条件是：FR=0，Mo = 0，即：,由此可得平面任意力系的平衡方程：,一矩式方程 （基本形式）,平面力系的平衡方程及应用,二矩式方程,平面

13、力系的平衡方程及应用,其中：A、B两点的连线不能与x轴垂直。,三矩式方程,平面力系的平衡方程及应用,其中：A、B、C三点不能共线。,平面力系的平衡方程及应用,上述三组方程都可以用来求解平面任意力系的平衡问题，可视具体情况选择使用。由平面任意力系的平衡方程，还可方便地得到平面特殊力系的平衡方程。,平面力系的平衡方程及应用,（1）平面汇交力系的平衡方程 由于平面汇交力系中各力的作用线汇交与同一点，所以各力对该点之矩均为零。就取该点为简化中心O，则简化后其主矩为零的条件，即Mo(F)=0 的条件已自然满足，故前述平面任意力系的平衡方程中，只剩有两个独立平衡方程，即平面汇交力系的平衡方程为：,两个独立

14、平衡方程可以解出两个未知量。, M =0,平面力系的平衡方程及应用,（2）平面力偶系的平衡方程 因为平面力偶系中每对力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零，也就是 Fx0, Fy0, 又知力偶对作用面内任意点之矩恒等于力偶矩,故前述平面任意力系的平衡方程中，只剩有一个独立平衡方程，即平面力偶系的平衡方程为：,一个独立平衡方程只可以解出一个未知量。,平面力系的平衡方程及应用,基本式,二矩式,（3）平面平行力系的平衡方程 在平面平行力系中，若选择直角坐标轴的y（或 x）轴与力系中各力的作用线相平行，则每个力在 x（或 y）轴上的投影均为零，即Fx0（或Fy0），故前述平面任意力系的平衡方程中，只剩有两个

15、独立平衡方程，即平面平行力系的平衡方程为：,注意:（a）其中A、B两点的连线不能与各力平行。 （b）两个独立平衡方程可以解出两个未知量。,（4）关于平面力系平衡问题的解题步骤：,1）确定研究对象； 2）去除约束物，代之以相应的约束反力； 3）画受力图(包括所有主动力和约束反力)； 4）针对研究对象建立平衡方程，并求解。,平面力系的平衡方程及应用,在长方形平板的 O，A，B，C 四点上分别作用有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求：（1）以上四个力构成的力系对O点的简化结果。（2）该力系的最后合成结果。,F1,F2,F3,F4,O,A,B,C,x,y,2m,

16、3m,30,60,例 题 1. 8,平面力系的平衡方程及应用,（1）求向O点简化结果,建立如图坐标系Oxy。,1.求主矢FR。,解：,例 题 1.8,主矢的方向,所以，主矢的大小, = 52.1,2. 求主矩Mo,Mo=Mo(F)=2F2cos60-2F3+3F4sin30=0.5kNm,例 题 1. 8,（2）求最后合成结果,由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR，如右图所示。,合力FR到O点的距离,例 题 1. 8,FR = FR,如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁上受强度为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度为l，求固定端的约束力。,例 题 1. 9,1,1,3. 列平衡方程：,4. 解方程：,取梁为研究对象； 受力分析如图；,解：(AB 梁受平面任意力系作用),例 题 1. 9,塔式起重机如图所示。机架重G1=700 kN，作用线通过塔架的中心。最大起重量G2=200 kN，最大悬臂长为12 m，轨道AB的间距为4 m。平衡荷重G3到机身中心线距离为6 m。试问： (1)保证起重机在满载和空载时都不翻倒，求平衡荷重G3应为多少?