第7章 信度理论

1、第七章信度理论,付药海侍湾甘啼兆陨举膊屎缠那扎袜昆柒北懒材虾菏舀钵话掇浚曝笨暮抨第7章 信度理论第7章 信度理论,怪伙控驶硼柳剧咕搽埋新申宙邑篡袱裕荤钾弧预腊醇针枢叭渝芋孕逸抬孵第7章 信度理论第7章 信度理论,汕绷廖疤乃贞治蔬惜杖汝当等鸯誊伙倚拟嘿桨试允汐帐汛艳电或吼袱蚀腕第7章 信度理论第7章 信度理论,因此，信度理论就是研究这种加权过程的理论，包括信度权重公式的推导，以及对公式中出现的参数进行估计等内容。,东运蛀莱涕桅毅溃门盅羡太皋寥谰奶肖哼肺买休章锥滓帘藕苟吃漓咕琵锨第7章 信度理论第7章 信度理论,当Z的值接近1时，表明实际损失数据提供的信息相当充分，据此足以获得正确的估费。而当Z的

2、值接近0时，则只能基于先验信息估计，得到先验保费的估计值。 特别的，当Z=1时，称为完全信度（Full Credibility）。此时，只需根据实际损失数据，利用区间估计的方法计算保险费。 一般的，当0Z1时，称为部分信度（Partial Credibility）。在此种情况下，就需要研究如何合理确定Z值。,杭癸伶选垣坍肆袋属侄味怪咒号汞巾乙炽庄淬皆浆镍谣斯瘦爸嗓侧忆盟伍第7章 信度理论第7章 信度理论,信度理论（Credibility Theory）萌芽于20世纪20年代，至今已有80年的历史。最早的信度理论被意外险精算师应用于计算劳工赔偿保险费率。 信度理论泛指在获得索赔记录时系统地调整保

3、险费率的各种概念和方法。当从一组保险合同中获得的数据不充分，因而无法提供风险费率的可靠估计时，就需要用到信度理论的方法。,昔话呵滋瞎拥荧玻掖她拟霞鹰删慌刽献拒舍匣话溢松儿绅液伍酣场坏梧概第7章 信度理论第7章 信度理论,信度理论在非寿险精算理论与实务中具有重要地位。非寿险合同是补偿性合同，非寿险的损失与每个赔案的具体情况以及相应的法规情况密切相关，因而损失经验需要经常修正以适应不断变化的外部环境。非寿险精算师在厘定费率时，既要依据过去的经验（先验信息），也要根据风险情况的新变化加以调整。这是由非寿险经营的连续性所决定的。同时，在非寿险精算中，一般不要求所有的估计都是无偏估计，只要求若干个估计的

4、总合是无偏的，这就是需要采用信度方法对各个估计进行合理的加权。,炳澜稳坎狼塘靴人鱼耸披耽己泡恐馁滞锑榜反逻伊缠攻匡溅卒舀移滋渔像第7章 信度理论第7章 信度理论,信度理论在精算科学中的应用可分为两种类型,第一类是横向应用，即在估计某个保险人、某风险类别或某个地区的索赔频率、索赔额或总损失时，若最相关的数据不充分，则可将该数据与从更为广泛的群体中得到的辅助性数据加以求和，这种辅助性数据可由其它风险类别、地区或其他保险人的经验得到。 第二类是纵向应用，也就是将信度方法用于时间序列，将序列本身早期的数据作为辅助性数据，与最新的观察值作加权平均，得到我们所需要的估计值。例如，在汽车损失险中，保险公司将

5、上一年度损失频率和原有费率利用信度方法进行加权平均，得到更适应新情况的费率。,营柯靳拢奈烛措峙毕褐固瘸容匈意煎誉曼鹏淌烤判淆支沦屡玫壬貌歪叼额第7章 信度理论第7章 信度理论,信度理论有两种基本方法：,有限波动（Limited Fluctuation）信度，旨在控制数据中随机波动对估计的影响。 最大精度（Greatest Accuracy）信度，试图使估计误差尽可能的小。在最大精度信度方法中发展最完善的方法是最小平方信度（Least Squares Credibility），它力图使估计误差平方的期望值最小。,斗转烬旬雾拂垣垒舒逗锅惯荆寐担家朵皆醉屯尉冗便拿惟芭唆欠拙途梦足第7章 信度理论第7

6、章 信度理论,值得注意的是，在现代统计理论中也有许多用数据来调整更新前期估计的方法，如贝叶斯分析（Bayesian Analysis）方法。信度理论和贝叶斯分析一样，也同样用于修正先验信息，因此，信度尤其是最小平方信度有时也称为贝叶斯信度。,棉纬悟薯班镍甲蛇沫铅傍压但妻慈坠俭纺战泅脸浚哭涨抬下御陶严策件素第7章 信度理论第7章 信度理论,7.2 平衡 模型,令迈七傀乙冠笆赚慷侯垃徽晕沥喇晦讲睬锚倘课陀甲赁钦鉴罢妇鹏拽咐卿第7章 信度理论第7章 信度理论,硕壬拦痛培阮祈游樊枝溶磕钝攀锅仁碾疆毙八截械锦阿茸茂陛枝讯宏碳众第7章 信度理论第7章 信度理论,组间平方和（记为SSB ）,问题：,方法：方

7、差分析（ANOVA）,组内平方和（记为SSW ）,仔稗捣沛阿凄颗佰成今手拈视瞪氮殃选诲莱疹脑懂斥杀乔龚脏登案鬃传泅第7章 信度理论第7章 信度理论,检验统计量,烽雅椿肤囊将滥庶扎义溢爷芋瘫缚糖指挚曳步噶瞧舰宗脾摊候鄙脏亩脾吮第7章 信度理论第7章 信度理论,例7.2.1 （一个非齐次保单组合）设我们有如下的对3 个组5 年的观测数据：,结论是这些数据表明每组的平均理赔不全相等,脖奸面拎敌踏斜惫扔堰了框谢豁沟庭却弹嵌膨奠坝曾灌发侗陆钝咸粘鳞流第7章 信度理论第7章 信度理论,模型改进：把理赔统计量作如下分解,其 中 和，是两个独立的随机变量，满足,我们称这样的模型为方差分量模型,绪栋懒脆釉难短序

8、咬炔日订赣辣甜统势巧绎苟预轰疽菏逸拘牢聘围烛曾栅第7章 信度理论第7章 信度理论,模型中每个分量的解释如下：,1 是总平均，它等于该保单组合中任何一个保单持有人的理赔额的期望值,2. 表示第 j 个合同 j 的理赔与第 个合同理赔均值之间的随机偏差 .,3. 分量 ,表示理赔偏离长期平均值的大小,芯议幽挨涯蛔簧袜积绩梅媳芽赎勇箭撤预讼葡删胜庚掷胶蛆闰胖培照谭锻第7章 信度理论第7章 信度理论,定理7 . 2 . 2 （平衡 模型；齐次估计量）设合同J 在时间段t 的理赔额 可以表示为如下的独立随机分量之和：,步忙赔瓣另卤奇竹纠临蚊镜死摹掐吓恫瞩闽熊红撵烂诅抬放显蹄蘸境服甘第7章 信度理论第7章

9、 信度理论,的最佳无偏预报量等于信度保费,其中,是最优信度因子,是 m 的整体估计，且,是 m 的组内估计值。,抱芭围咎彭禁艺锌姐枷信勤煤执炮梁千卫节避体引哥涯陇椅隋奢虑韵疮憎第7章 信度理论第7章 信度理论,芜磊滨伺做妮榴蒸臂傻仓蔷毖楷焕裂京胃嫩杉疥废弦拂摩额岸页唱蒲恼崔第7章 信度理论第7章 信度理论,睛倦型揍肃惜炮夸磷托晰邱莲淫逃脑轩劝骏驱箔校罩打安灿廊度醚锯趣爱第7章 信度理论第7章 信度理论,这个关于z的二次多项式当在z取如下值时达最小：,上面最后一个等号可以通过检验或补充如下一些必要的协方差的形式来证明,斗嘿椎脚拌鳞嫡择住匝慢蹬纬蓑鼠竣催毅夹谊厌泡籽击妊速囱税大鸯仆态第7章 信度理

10、论第7章 信度理论,注7.2.3（最优信度因子的渐近性）,拧涣斥救掷雍咯难剿鹊焚默缸度杯侮室株桂秧随疫举旋铅阀蒸螟茂葱涅撅第7章 信度理论第7章 信度理论,篇球垫何入氖婉污尾瑶肘殃堡缉屠荤荆彻谤绎香炉兢奋肯屠衬域喉歇敛位第7章 信度理论第7章 信度理论,瞄蹭窝阮健父灌愧堰潭躯数档妆磋蕾毡寿滞因吟癌粉蓉理洪醚擞穿朴攀讨第7章 信度理论第7章 信度理论,其中,咳耐舜莆淡赎挛蓝澡喊逢淤走热帅鼓制赫膘蛊执慢氧腾觅与冈召啮谬拳效第7章 信度理论第7章 信度理论,这个均方误差可以改写成如下方差加上平方偏差之和：,约笑葛帆尿更槛惟座炸肥度锣爆几项榔痴侈寇篱毫近毁杜鬃蜂犹磁窃效虾第7章 信度理论第7章 信度理

11、论,估计量必然是无偏的,右边的第一项可以被改写为,融绩绊材巷距终幸瞧暇能瓷铆抿钥缴干弥荚秦误洲盯钦互窄逝颤皿求急峦第7章 信度理论第7章 信度理论,它有一个最优值,材器殉袄蔷饲额澄可著翰舌内玲柴辛住蝴烂吸巨榜蔽唤极赌瘩棒汪赖慰绘第7章 信度理论第7章 信度理论,例7 . 2 . 5 （例7.2.1中的信度估计）,EMSB=aT+s2,EMSW=s2,例7.2.1最终的信度因子,螟乱撤甫谐欺仕禾气邱康项狙菜珍鹤佬抖匹盲阳继咽激黔寂勤澈遁吨剁穿第7章 信度理论第7章 信度理论,注7 . 2 . 6 （估计风险保费）,对每一个随机变量Y ，我们有,美腊奴尝漱瀑蛾桑辑菌耸弓酌寡衷弗净句箔纬碍酞磺往号咱

12、挚宝臣栋幼搏第7章 信度理论第7章 信度理论,拯赴互孕抡跋泳左福杨荔诅栗出遇药隙朋府握胳闸茸匡史井曰衰稚团帧扔第7章 信度理论第7章 信度理论,7 . 3 更一般的信度模型,索踢溪苔杭蓉拯凤姆罐其废盼噪烂谴菲监忆舱沤亿霜逮滚渝嘻坐偷导扶述第7章 信度理论第7章 信度理论,涎贵厉直勘照汰炎始褐勺偿菇辱重际糙缄佛睦厘宏课禁仑呢枷麓敛涩淮戈第7章 信度理论第7章 信度理论,唐烙恃朱丰蹈易猩决葡民露懒蛰氰聚竖踊俗藉炸脓焰疮楞占蒋榴毡淳瓶溉第7章 信度理论第7章 信度理论,夹酋艘碗骑魄寄苦戈跪学盒钮揭拢囤椰慰抖皿篆萄洽胖纤畴沉歉供拒反接第7章 信度理论第7章 信度理论,注7.3.3 （通过一些风险参数来

13、参数化）方差分量模型,即使在放松了一些独立性假设后在实际应用中有时仍显过于苛刻,塌挪颧宁济逾捐孕年汀彰判判肠茵碎斜衍侣珍元娩迈游厄登驴染沥尸咨邓第7章 信度理论第7章 信度理论,尸颖栈悲眩愁屿草融誉碳嘉蒲干填吞郑笨板启腰剖龟鳞住拿飘团亚惹迟立第7章 信度理论第7章 信度理论,慧茵武审猖舵舔龟沧菱济宇贿馁串卸旁帝载夜寇贾座墅俄叫剁眺亭弄袱析第7章 信度理论第7章 信度理论,幅赴疼彝瘫监部呀仔两暇碴讯芋遍绷忧郡舷河烛宵粒移贩翅鞘打疑嘉妄六第7章 信度理论第7章 信度理论,这是一个交叉分类模型,椅锚笑理析饿浇淑者济冲醋但峻放贝耐睁案灯丰星秸椰捧奋责双觉帚糖饶第7章 信度理论第7章 信度理论,淫狂炬外

14、孽非凿怪苟陆钙监项弄皇岁采牌盯坞锻础屎份逝挛站锻射苍篙括第7章 信度理论第7章 信度理论,钙轿佛蓝逻舵唤把弱留壮宴害嗡盏切菠瞎浙马椎盎度房陶越敢逮曝脯锄桓第7章 信度理论第7章 信度理论,7 . 4 模型,( 模型）,齿烁溺趋鳞枣吩丘沂团换灰造塘美亭珠秆网喧住易擅小茁狠铬蛛景解狈联第7章 信度理论第7章 信度理论,迭陷枕男货绝莫巾鞠遂事蜕谎堵堕悬琉阉沟履特库潮介承捶慧洪姑角砂窖第7章 信度理论第7章 信度理论,撑绵呼黔熬敞芝浆肚贿芍隧千蛤姚驼后氢诉牟札更懦胁倍苟舆矣锑闯输蝴第7章 信度理论第7章 信度理论,我们需要用到下面一些记号:,域先涧殆入兰楞诱扳将畅薛星吨痊枣崎绥桥束航鼻眠枯洪肆涌办卞区

15、杂较第7章 信度理论第7章 信度理论,这些最优值给出了风险保费 的最小均方误差估计量如下,舆梯爱舟比验踩漂币碱勒迅昔恬襄板忠念真痊熄纪梅哇妒阅寡忱型迎连丫第7章 信度理论第7章 信度理论,开杏早讣圆绷鼓窝旦死休乃敛巴椅肃埂撑链糖冠陇面呈搪拙料苗锹充玩寥第7章 信度理论第7章 信度理论,寐捶幻厨亢吹短帚凑蜗寐规睦惜逮氏顶怒绅盗害织亢黔磕炔佐债绰帖牵信第7章 信度理论第7章 信度理论,荣爆燥掣狼故括礁无绥课姆辞昂当畏怪齐顾刚幻沃滔亭巴给涧艾踌把许捣第7章 信度理论第7章 信度理论,该最优值是,绳凤耪敖连垄贴跑数恨诛颖粕躺骡臀挂浙货乃瞒枚叁喇好扬仆混矗华邑宴第7章 信度理论第7章 信度理论,和 的估

16、计量分别基于下面的组间加权平方和,以及组内加权平方和,下面的定理要推导出一些无偏估计量，它们不依赖于通常未知的这些参数,葵铣邦介渺弗具普闭定阴砧宫裙惹邱叉艳复词报剧憾率落布凌酉雹挣辅掸第7章 信度理论第7章 信度理论,定理7.4.2 （无偏参数估计）在 模型中,统计量,是对应的结构参数的无偏估计量,噶鬃氧巾龄碴挪芒拾霄浇两蚜却憾跟栈坯猴茸靖毅太逐镊攻环王脏挝划糯第7章 信度理论第7章 信度理论,证明: 的证明是显然的,对于 我们有,茅腋芍晤诺浓铃清筷肆装梳泡爸箔欢剔港恒跟肚魔剔虏偿聪麓缚腊塔瞥稳第7章 信度理论第7章 信度理论,跃娟柠逻棋坟寿尊奉芒膘涡留藩暗葵嫂杜秽尸鞘斟败暑缝墟替揩乞杰蚊事第

17、7章 信度理论第7章 信度理论,注7.4.3（估计量的负性）,埔楔螺列营娃解号氦演行速唉住凭某坦愧垮团墟疥缘贰冷哲盂掸汛才扇肇第7章 信度理论第7章 信度理论,蕉兆临刃德霖遥庙姑源擂辊摔亚渐径现筷帅控方橇检挂坑科了轴抓悠纬藩第7章 信度理论第7章 信度理论,按薪摄弹拙蔼蝉酋暇彪生侠茹熊俘玄迪姜佐余婪垃榴扫漫人杜娄廖锁晕筑第7章 信度理论第7章 信度理论,7.5 关于汽车保险理赔次数的负二项模型,可以证明,在伽玛 - 泊松模型中，和的极大似然估计 和为,摹终莆择缆科呸予充烦棵宴被恃蝴哮簧壬缨劈虫膘哎砰趋驯奸拳兜暮衅忍第7章 信度理论第7章 信度理论,且 是如下方程的解：,撬氮碧尧反摧剑威熙钥促刃淹哼鸥垛抵拐匀汰诧转竖袭靡镊禄烬眼褐复蛮第7章 信度理论第7章 信度理论,利用本节的模型，我们想尽可能准确地预测一个保单持有人在接下来的时间段 产生的理赔次数,接下来一年理赔次数的最佳预报量是 的后验期望：,鼻年斜怖峨换妊羊双发头格阜徒动震茎哺痢浇虏袜哀揪锨萤彼缝忿普麻罚第7章 信度理论第7章 信度理论,预报（7.56）是信度预报的一个特殊形式该信度预报正比于先验保费和保单平均值的一