D9-2正项级数(1)

1、1,级数的基本概念,级数收敛(发散),存在(不存在),复习,几个重要级数的敛散情况,1.等比级数,2.调和级数,是发散的.,收敛的必要条件:,2,基本审敛法,对收敛级数而言.性质2，性质4,对一般级数而言.性质1，性质3,1.由定义：,存在(不存在),级数收敛(发散);,3.按基本性质,(1)若,发散(收敛)，,则 发散(收敛).,(2)若,发散，,则 发散.,收敛，,(3)若,发散，,则去括弧后的级数发散.,注意：以上方法对任意项级数都适用.,如：,3,二、比值判别法,三、根值判别法,第二节,一、比较判别法,正项级数,第九章,4,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2

2、.正项级数收敛的充要条件:,定理1,所以,部分和数列 为单调增加数列.,特点：,正项级数收敛,若,收敛 ,故有界.,则 收敛，,5,2.正项级数收敛的充要条件:,定理1,正项级数收敛,部分和数列,有界,故,从而,又已知,单调递增,收敛 ,也收敛.,推论：正项级数,发散,证:,6,例1.,解：,由于该级数为正项级数，且其部分和为：,由定理1知原级数收敛.,即部分和数列 有界.,7,3.定理2(比较审敛法),且,，则,发散.,证明（1）,即部分和数列有界,定理证毕.,（2）是（1）的逆否命题,8,设,和,均为正项级数，,且,收敛；,若,收敛,发散.,(常数 k 0 ),则有,9,设,和,均为正项级

3、数，,且,收敛；,若,收敛,发散.,大的0的速度够快了，小的0的速度更快了,小的0的速度够慢了，大的0的速度更慢了,记忆方法：,10,证明：,例2.,证明级数,是发散的.,而级数,发散，,对一切正整数成立.,11,解：,由图可知,例3.,的速度比,速度快,12,由此知:,推论：若存在,对一切,发散,收敛.,13,实际上:,收敛.,通项为两个多项式的商或无理函数的商时，,若分母最高次方数减去分子最高次方数1,则级数收敛；,若分母最高次方数减去分子最高次方数1,则级数发散；,发散；,14,重要参考级数：,几何级数,使用比较审敛法：,须找参考级数.,（经验：猜敛，找敛;,猜散，找散）,调和级数,是发

4、散级数.,几何级数,P-级数,调和级数.,15,例4.,解：,试判定级数,的敛散性.,而级数,是几何级数，,公比,收敛，,所以级数,由比较审敛法知：,级数,是收敛的.,是正项级数吗？,16,例4.,解：,试判定级数,的敛散性.,而级数,是几何级数，,公比,收敛，,由比较审敛法知：,是正项级数吗？,级数,能用此法判断吗,？,17,例5.,解：,试判定级数,的敛散性.,而级数,是P-级数，,收敛，,所以级数,18,例6.,解：,试判定级数,的敛散性.,收敛，,是收敛的.,19,例7：判断下列级数,的敛散性,解,分母n的最高次方数减去分子n的最高次方数大于1， 猜想级数收敛；反之小于1，猜想级数发散

5、，,20,例7：判断下列级数,的敛散性,解,收敛；,故原级数收敛.,21,4.比较审敛法的极限形式:,则,二级数有相同的敛散性；,如果,设,与,都是正项级数,所以级数发散.,如,而,发散，,定理3,22,证: 据极限定义,由比较审敛法知：,同时收敛或同时发散 ;,(1) 当0 l +时,(2) 当l = 0时,由比较审敛法知：,收敛 ,若,(3) 当l = +时,即,由比较审敛法知：,当 时,当 时,23,特别取,可得如下结论 :,对正项级数,注:,定理6,是两个正项级数,(1) 当 时,两个级数同时收敛或发散 ;同阶,(2) 当 且 收敛时,(3) 当 且 发散时,也收敛 ;,也发散 .,2

6、4,注:,l的值反映了,(1)当 un ,vn均为无穷小时,它们不同阶的比较.,(2)寻找un的比较对象时，可以找un的等价无穷小,或同阶无穷小.,25,例6. 判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数收敛.,的敛散性.,例7. 判别级数,解:,故原级数收敛.,收敛，,26,例7. 判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数收敛.,收敛，,27,例8. 判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数收敛.,收敛，,的敛散性.,例7. 判别级数,解:,故原级数发散.,发散，,28,例9. 判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数发散,的敛散性.,例10. 判别级数,解:,故原级数收敛,收敛，,发散，,29,比值

7、审敛法 ( Dalembert 判别法),为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,证:,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,5.定理4,当 时,所以级数 收敛.,30,因此,所以级数发散.,说明: 1.当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,从而,2.条件是充分的，而非必要条件.,(2),当 时,31,例8.,解：,32,例8.,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,解：,33,例9. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据比值法可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,当 时,当 时,当 时,级数变为：,故发散.,说明：,（1）比值法主要适应于通项

8、中含 之积的级数.,（2） 时比值法失效，应改用其它审敛法.,34,根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,数, 且,5.定理5,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,说明：,（1）根值法主要适应于通项中含 的级数.,（2） 时根值法失效，应改用其它审敛法.,例如 , p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,35,所以原级数级数收敛.,例10. 判断下列级数的敛散性：,解:,所以原级数收敛.,原级数收敛.,36,例5 判定级数,故原级数收敛.,的敛散性.,37,2.,证明:,利用比值判别法，因为,（利用等价无穷小代换）,试证明级数,收敛.,故该级

9、数收敛.,38,判断下列正项级数的敛散性:,例6,解,39,例9,解 利用比值判别法，因为,40,级数的后项总是大于前项,41,1.正项级数的定义:,2.正项级数的审敛法,定理1,正项级数收敛,小结,(2)比较审敛法,42,(3)比较审敛法的极限形式:,(2)比较审敛法,43,(4)比值审敛法(达朗贝尔DAlembert 判别法):,(5)根值审敛法 (柯西判别法)：,44,正项级数审敛法小结,1.定义法：,3.性质法.,4.利用重要级数.,5.充要条件.,6.比较法（有不等式与极限形式）.,7.比值法.,8.根值法.,适用于任意项级数,只适用于正项级数,45,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不确定,比较审敛法,用其它法判别,性质法,定义法,判别正项级数敛散性的方法与步骤：,46,1.设正项级数,收敛,证明,收敛 .,证明:,由比较判敛法可