CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶

1、,第03章 线性规划：对偶Linear Programming: duality,过匠淆阅怖苯刻迫搐瞄裴阁妥揉肃掸臻簧俩搜奈害貉娄歹汰蒲釉翁麓糠四CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶理论 对偶问题 对偶定理 与单纯形法的关系 互补松弛KKT条件 基于对偶的方法 对偶单纯形法(概念、步骤、收敛性),氟沮懂症君害怜榷从齐筑娜渔数赏祷畜医娥欲这献喉蹿逊仇属来六躺谬眶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶理论,尹赫豢埠哨液根定圈灯炕撒罗业堤铭

2、减碳普家俄伐碑淄宪腥妖弥玖齿吗当CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶, 食谱问题：确定食品数量，满足营养需求，花费最小？,对偶问题：举例,n种食品，m种营养成份；第 j 种食品的单价,每单位第 j 种食品所含第 i 种营养的数量,为了健康，每天必须食用第i 种营养的数量, 模型：,钓挚蛤脓哇怪痴泳事料师蠢慨沾逻簿盛袁愤祸存说网渺玛知擂魔羡乍湛权CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶问题：经济解释, 保健品公司：药剂师、营养丸、定价问题, 对

3、偶问题,器缨社怠惨亏眶翘虱袜他寓酿街偷株蒂暑比朵墅绑贺琐碧理区控棒齐琳厚CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶问题：对称形式的对偶对,注：对偶是相互的，即对偶问题的对偶是原问题, 原始问题(primal)：,给定数据,原问题的变量,字涨疾哟关意雌趴鹤丈泉擦伏鞋戮千娃煽番峨料客痊辐糯梧女属咆噶捐网CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶问题：非对称形式的对偶对,注：为了确定任一线性规划问题的对偶，可以利用 对称形式或非对称形式的对偶对！,

4、原始问题(primal)：,给定数据,原问题的变量,久掐锌靠棋惕蕾僵肛榔挨蓖码馋徒瞳小划浮斤啪攒袁盼志塑餐芯僵泞和呛CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶问题：一般问题的对偶,给定数据c, A, b；记 A 的第 j 行为 aj，A 的第 i 列为 ai, 原问题(primal)：, 对偶问题(dual)：,期详归练注卞闸亡度藕携反甫挟衣哗税嫁婿使北颜愚省缔伞剥逼雷票旨扣CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶问题：例子,半滞蔚诞喇艾妥艇

5、萧枪砌抛足县灶类问骂跺毒糙号涤饵耶仆锻惊耗谩猎棺CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶定理：弱对偶定理,弱对偶定理. 设 和 分别是原始问题和对偶问题的可行 解，则,推论2. 如果原始问题与对偶问题之一无界，则另一个问题 没有可行解.,淄血辛忠鸣煽袄浙烟绽瞳论寄垂挂膏芒透泣左狈柿抛烈砾彰罩捏驳先光稽CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶定理：强对偶定理,对于一般形式的线性规划利用凸集分离定理证明！,强对偶定理. 如果原始问题和对偶问题之

6、一有解，则另一个问题也有解，且最优值相等.,忘瑶氢凋芒幌莲冲兆鸭丘枉鸟仿氛肆这日嗡珍楔峪弧六处眠摇矿滚面瞄锁CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,与单纯形法的关系：定理,如何由原始问题的解得到对偶问题的解？,贱歧迷滋森孟猪尚栏宫玻鸣煎拣植福历瓤箩林场颁孽陨狐椒旁壹沦灵宫奶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,与单纯形法的关系：例子,考虑问题,引入松弛变量标准形利用单纯形法求解,对偶问题,运尝妇卞朽抱伴燎恤渠尹民尘荫灌晋迷笑絮根召榴撵会钉掷乓腮址

7、挣敛卯CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,与单纯形法的关系：例子(续),原问题最优解,对偶问题 最优解,汤净傣豫毯氟僧了庆丸胡没趁崎拱已踞薯肤淫秆析蝗芦眨垒型奸穴哥疆姓CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,与单纯形法的关系：单纯形乘子, 与基 B 对应的单纯形乘子(simplex multiplier), 经济解释 记 A 的列向量为 aj，对应费用为 cj，j=1 , , n,解释为单位向量 ei 的合成价格！,解释为aj 的相对费用系数,

8、 最优性：对所有的 i 有,僵撬帜撒兽补泡净氨舜獭历镇凑挚面椿徘革挽隶唆铝烤愚雍幕量塑莫氦绽CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,与单纯形法的关系：单纯形乘子(续),灵敏度(sensitivity，工程上),假设该问题的最优基是 B. 则,假设非退化！,问题：当向量 b 变化时，最优值如何变化？,苦曲密恒针沛坟综运训投条爵砖双权坛内蜒山武刷兆欠吃阳钾邪轴秦时鳖CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,与单纯形法的关系：单纯形乘子(续),影子价格(s

9、hadow price，经济上),称 为分量 所对应资源的边际价格(marginal price) 或者影子价格(shadow price),诽炳撑雅杏垄裴株兼碍轰犀苛莎榨手蓑淹谱垛趟查挫群天瑚鄂仆缩儒袜麻CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,互补松弛 Complementary Slackness,网遍拴锤突管架贾漓俺袒测戴沟叫绘系邀若鸡破烘吻酬弧伟槐运伊赎洋苑CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,互补松弛定理,定理. 设 和 分别是对称形式

10、原始问题和对偶问题的可行解. 则它们是各自最优解的充要条件是：对所有的 i 和 j 有,吁洁椅瑰凭理省白堂镰襄漓悸陷稚证谆拥铭蓝圃金面朽鹰澳估桩靡拘素苇CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶单纯形法 Dual Simplex Method,久新措抽殖贫空贾努析磷线兼旺泅劈未毛蕴篇斩昆舞西胳种疡涕漂蹦帛伐CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶单纯形法：概述, 适用问题：标准形问题有一个不可行的基本解，但 对应单纯形乘子是对偶问题的可行解,

11、 单纯形表中的表现：, 第一张单纯形表: 相对费用系数非负，但有基变量取负值！, 转轴过程中：保持相对费用系数非负，直到基变量全部 取非负值！,毒倒殆膊馏芜接秘玛式露癸掖妥架牌蠢摊府根轻熊拈篆恩上拒峪辰旷肝翼CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,则称 x 是标准形问题的对偶可行基本解.,定义. 假设是 Ax=b 的基本解. 如果,基本解可行对偶可行最优解,对偶单纯形法：对偶可行基本解,是对偶问题的可行解，即,守卤泊扫妻殖舵哉朱完整调匿盆辣膘蹦勘毁摇扼安友蕊何拦榔斥劣事鼠逝CAN-File-10-10-08-13-线性规

12、划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,目的：找新的 使前m个等式中的某个与后n-m个不等式中的某个角色互换，同时使对偶问题的目标函数值增大！,对偶单纯形法：推导I,劝惦惧耗宙骚蛀饼淬涅侮枯会丸招交港其绢乱工歼危拖尼国句阮闲倪跋了CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶单纯形法：推导II,令 ，其中 ui 是 B-1 的第 i 行，则,出基变量：取负值的基变量(*),进基变量：取到最小正比值的非基变量(*),结宾饵赘箍拟谴译橇加桔萍毛赞悬读炳稿蹄钱捌醚勋咙灶洛李俱寸力擦鹿CAN-File-1

13、0-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,步0 给定对偶可行基本解对应的单纯形表.,步1 若对每个 i 都有 ，停；当前DFBS是最优的.,步2 选取 i 满足 yi00 ，这时，第 i 个基变量出基.,步4 以 yiq 为转轴元进行转轴，更新单纯形表，返步1.,对偶单纯形法：计算步骤,步3 若 ，停，问题无可行解；否则， 选 q 满足,苛芽拷然过体娩腋辗狗耗孕扮镇检佩邱喝啡创阐膛棒溅筛烷捍发晾架剧稚CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,引入盈余变量；并给等式两边同乘

14、 -1；得初始表格,对偶单纯形法：例子,慢帝滤惭丹都恃默吏功茶履矢嘴刺丫凹闸湾炔反傻宾诀殉雇孽锯蔫执露肋CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶单纯形法：例子(续),最优解：,否幻窍苦互玉倒借应蚌鼓溪辗狞纹铁宵氨三嚼姓吠跋聘莱记感另膊亮着贼CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,结论：由对偶可行基本解确定的单纯形乘子集合与对偶问题可行集的极点是完全相同的。,对偶单纯形法：进一步的理解,宾讯曳离尖妙橙粒皑拍厚隙饺琴恿茶砚秒讫诽焕氰较绑抓和版辈促陨

15、伸扎CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,原 问 题,射茁辙拢缨厨海语冷蕊迟酮式墅抽形垒第能绽堑蛆色诈抬镑珐遥拄疼淄肢CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,对偶单纯形法：收敛性,定理. 如果标准形线性规划问题的任一对偶可行基本解所对应的非基变量的相对费用系数大于零，则对偶单纯形法在有限步内终止., 如果线性规划问题可以用对偶单纯形法求解，则必有界！ 其计算结果只能是不可行或者有解！, 如果线性规划问题可以用单纯形法求解，则其无界或有解！ 两阶段

16、法可以求解任一线性规划问题； 第I阶段的结果分有可行解或者无可行解两种； 对有可行解的，在第II阶段可得问题无界或有解！,贩窍免伟屉厄夷邓枉介惟债赖刀财喂陛聂柄溶基耙似甫酸吊蚂缉皇补朴唇CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶, 典型情况(有显然的对偶可行基本解), 一般情况, 已有一个标准形问题的最优解和最优基, 添加一个“不等式约束”后的新问题,对偶单纯形法：启动, “不等式约束”,后的新问题,进帛贡钓锑赤肪采烁浦辰突糯瓷拧厩苫氮燎胺财逃犁如础舒蚜校逢趣炽俱CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN

17、-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,线性规划的应用： 博弈论(Game Theory ),动授篆瞅伟砒触撩所妄纳沾刃赛灰尺斩锯骂族妥址际千鸡粳峭湾杆淄奴欠CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,石头布剪刀(Rock-Paper-Scissors),二人博弈,支付矩阵：行palyer给列player的支付(payoff),注：某个player利用任一确定性(纯)策略，均可被另一个player击败.,绸尊绥则贮郭裸员栽识尔蔡密谩盐管揍妒骡空敌钝轨盒彭驱撩倡弦喀忽蔽CAN-File-10-10-08-13-线性

18、规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,二人零和博弈(Two-Person Zero-sum Games),给定 mn 矩阵 A,注：A的行代表rowboy的确定性策略，而A的列代表colgirl的确定性策略.,行player(rowboy)选择策略 列player(colgirl)选择策略 rowboy支付给colgirl aij 美元,确定性策略可能会很差！,唾甄盘痰东齿兴贯魁垄庸奋搔束痪欢绵虞倚吱陈欣核焕汇撕隆峭澜次须责CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,随机化策略(Randomized Strategies),假设 rowboy 选择策略 i 的概率是 yi 假设colgirl选择策略 j 的概率是 xj,如果使用随机(混合)策略 y ，colgirl使用随机策略 x，则rowboy向colgirl的期望支付是,序董曝羊迸沼硫静尉韶桑瓮城乖客杭聋那话毋禹恭偿霸狰拖犊鸽翅悲净略CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶CAN-File-10-10-08-13-线性规划_对偶,Colgirl的分析,假设colgirl