1.2反比例函数的图象与性质（1）

1、反比例函数的图象与性质,1.2,什么是反比例函数？,k是反比例系数.,研究一个函数要从函数的图象入手， 总结函数的性质. 反比例函数的图象是什么形状的？ 它的图象又有什么规律和性质？ 带着这些疑问我们开始下面的学习.,反比例函数 (k为常数，k0)的图象是什么样子呢？,我们先将k取为6，画出反比例函数 的图象并进行观察.,想想我们为什么要取k=6？,列表,比一比,举 例,列表,比一比,你的取值和老师的取值一样吗？取值的时候应该注意什么？,比一比，你画对了吗？,下面的图象都出现了什么错误？,观察画出的 的图象，思考下列问题：,（1）每个函数的图象分别位于哪些象限？,可以发现这两个函数的图象 均由

2、两支曲线组成，且分别 位于第一、三象限.,对于y 轴右边的点， 当自变量x 逐渐增大时，函数值 y 反而减小； 对于y 轴左边的点也有这一性质.,（2）在每一象限内，函数 值 y 随自变量 x 的变化如何 变化？,一般地， 当k 0 时， 反比例函数 的图象由分别在第一、三象限内的两支曲 线组成， 它们与 x 轴、y 轴都不相交， 在每个象限内， 函数值 y 随自变量 x 的 增大而减小.,结论,我们知道反比例函数中的 k 值也可以是负数， 以 k = -6 为例，如何画反比例函数 的图象？ 的图象与 的图象有什么关系？,动脑筋,法一：列表描点作图,法二：利用对称性,当x取任一非零实数a时，

3、的函数值为 ，而 的函 数值为 ， 从而都有点P（a, ） 与点Q （a, ）关于x 轴对称， 因此 的图象与 的图象 关于x轴对称. 于是只要把 的图象沿着x 轴翻折并将图象“复制” 出来， 就得到 的图象.,从图中看出： 的图象由分别在第二、 四象限的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴 都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变 量x 的增大而增大.,类似地，当k0时， 反比例函数 的图象与 的图象关于x 轴对称 从而当 k0时， 反比例函数 的图象由分别在第二、四象限内的两支 曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交， 在每个象限内， 函数值y随自变量x的 增大而增大.,反比例函数 （k为常数

4、， k0） 的图象是由两支曲线组成的， 这两支曲线称为双曲线（hyperbola）.,反比例函数 y = （k0）有下列性质：,(1)反比例函数的图象 是由两支曲线组成的.,一,三,(3) 当 k0 时，两支曲线分别位于第_ _、_象限，在每个象限内 y 随 x 值的增大而 .,二,四,(4)反比例函数图象与坐标轴不相交.,(5)反比例函数y= (k0) 的图象关于直角坐标系的原点 成中心对称.,k,x,k,x,减小,增大,(2) 当 k0 时，两支曲线分别位于第_、_象限， 在每个象限内 y 随 x 值的增大而 .,例1.已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）. （1） 求k 的值， 并

5、写出该函数的表达式； （2） 判断点A（-2，-4）， B（3，5）是否在这个函数的图象上； （3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内， 函数值y 随自变量x 的增大如何变化？,举 例,例1. 已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）. （1） 求k 的值， 并写出该函数的表达式；,解： 因为反比例函数 的图象经过点P（2，4）， 即点P 的坐标满足这一函数表达式， 因而 4 = ，解得k = 8. 因此， 这个反比例函数的表达式为 .,举 例,例1.已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）. （2） 判断点A（-2，-4）， B（3，5）是否在这个函数的图象上；,解：把点A，

6、B 的坐标分别代入 ， 可知点A 的坐标满足函数表达式， 点B 的坐标 不满足函数表达式， 所以点A 在这个函数的图 象上， 点B 不在这个函数的图象上.,例1.已知反比例函数 的图象经过点P （2，4）. （3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限内， 函数值y 随自变量x 的增大如何变化？,解：因为k 0， 所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限， 在每个象限内， 函数值y随自变量x的增大而减小.,例2 .如图是某反比例函数 的图象. 根据图象， 回答下列问题： （1） k 的取值范围是k 0还是k 0？ 说明理由； （2） 如果点A（-3， y1）， B（-2， y2） 是该函数

7、图象上的两点， 试比较 y1， y2的大小.,举 例,例2 .如图是某反比例函数 的图象. 根据图象，回答下列问题：,解（1） 由图可知， 反比例函数 的图象的两支曲线分别位于第 一、三象限内， 在每个象限内， 函数值y随自变量x的增大而减小，因此， k 0. （2） 因为点A(-3， y1），B（-2， y2）是该图象上的两点，且-3 0，-2 0， 所以点A，B 都位于第三象限. 又因为-3 -2， 由反比例函数图象的性质可知：y1 y2 .,举 例,从反比例函数的解析式中再分析,1.为什么反比例函数 当k0时，图象经过一、三象限？ 当k0时，图象经过二、四象限？,由解析式可知： 当k0时

8、，x和 y同号， 因此图象经过一三象限. 当k0时，x和 y异号， 因此图象经过二四象限.,从反比例函数的解析式中再分析,2.为什么反比例函数 的图象不会与坐标轴相交？,由解析式可知： x不可以取数值 0， 因此图象与y轴无交点； 因 k0，所以 y0， 因此图像与 x轴无交点.,从反比例函数的解析式中再分析,3.为什么反比例函数 的图象关于原点对称？,由解析式可知： 坐标点（x，y）和 坐标点（y，x）都 在函数的图象上， 因此它关于原点对称.,从反比例函数的解析式中再分析,4. 反比例函数 的图象有何位置关系？,由解析式可知： 两个函数当x一定时， y互为相反数，因此 它们关于x轴对称.

9、又有当 y一定时，x互 为相反数，因此它们 也关于 y 轴对称.,一三象限,二四象限,在每个象限内， y随x的增大而 减小,在每个象限内， y随x的增大而 增大,习题一：简单图像性质,1.反比例函数 中比例系数k为 ， 它的图象经过 象限，当x0时， y随x的增大而 . 2.反比例函数 的图象经过 象限，在各个象限内y随x的增大而,二四,增大,一三,减小,3.若反比例函数 的图象在二四象 限，那么 ，在双曲线每一支上 y随x的增大而 .,增大,4.反比例函数 的图象，当x0时， y随x的增大而减小，则m ，图象 经过第 象限.,3,一三,5.已知函数 若它是反比例函数，且在每一支上y随 x的增大而增大，则k . 若它是正比例函数，且y随x的增大而 增大，则k .,=-2,=4,习题二 增减性,已知 上两点 ，若 ，则 ，若 则 . 练：已知 上两点 ， 若 ，则 ， 若 ，则 .,小结：,1. 请问反比例函数的图象和性质是什么？,2. 在反比例函数的图象和性质的研