Bezier曲线B样条曲线.ppt

1、第五章曲线和曲面的生成与计算，5.1曲线的参数表示，5.2贝塞尔曲线，5.3样条曲线的生成，5.4贝塞尔曲面的参数表示，B样条曲线和曲面的生成是计算机图形学的重要研究内容之一，在实际工作中有着广泛的应用。例如，如何用曲线表示实验和统计数据。如何用曲线和曲面表达设计、分析和优化的结果。如何设计具有曲面的产品，如汽车和飞机，可以使它们变得美观，并具有最佳的物理性能。由于实际问题中对曲线曲面有许多新的要求，近二十年来，关于曲线曲面的研究文章和专著层出不穷。在实际工作中，人们经常使用贝塞尔曲线、B样条、Nurbs、二次曲线、等距线、过渡线等。常用的曲面有贝塞尔曲面、B样条曲面、库恩曲面等等。在本章中，

2、我们将主要介绍曲线和曲面的参数化表示，贝塞尔曲线和B样条曲线以及贝塞尔曲面和B样条曲面的概念和特点。在详细描述上述知识之前，有必要了解以下概念的区别和联系。1曲线绘制：这类问题归结为已知的曲线方程，它需要绘制一条曲线2曲线插值：由几个离散点组成的一系列点是通过实验、观察或计算得到的，这就需要用光滑的曲线连接这些离散点。3.曲线逼近：在曲线形状设计中，给定折线的轮廓，需要用曲线逼近该轮廓。这种问题叫做曲线逼近。(注：曲线插值与曲线逼近的区别：逼近不需要曲线通过数据点)4曲线拟合：在曲线曲面的设计过程中，插值或逼近方法用来生成满足一定设计要求的曲线曲面。在曲线和曲面的生成和计算中，曲线和曲面可以用

3、显式、隐式和参数化的方法来表示，但从计算机图形学和计算几何的角度来看，最好用参数化的方法来表示曲线和曲面，因为采用参数化的方法来表示曲线和曲面，可以使它们的形状摆脱对特定坐标系的依赖，而这种依赖很容易用计算机来实现。一个运动点的轨迹可以用一个位置向量P来描述，如下图所示：X，Y，Z，0，u1，u2，u，6.1曲线的参数表示如下。注意：这里讨论的运动点的轨迹是三维空间表示的曲线，平面轨迹曲线只是一个特例。向量P与时间T相关：P=坐标表示为：如果参数T被普通意义上的参数U代替，则曲线的参数形式为：例如，它是空间曲线的参数形式。注意：这是一条以点(0，1，3)为起点，以点(3，2，5)为终点的线段。

4、曲线5.1的参数表示参数的含义：时间、距离、角度、比例等。规范参数间隔0，1:规范化；向量表示：切向量(导数函数):例如，如果一条直线段的端点坐标已知，则该直线段的参数表达式为：对应的x和y坐标分量为：切向量为：直线斜率：5.1曲线、贝塞尔曲线和B样条曲线的参数表示均为自由曲线。自由曲线是不能用标准代数方程描述的曲线。在实践中，自包含曲线被广泛使用，如在设定船体形状时的样条曲线，汽车、飞机和各种产品的形状曲线都可以视为自由曲线。用计算机生成这类曲线通常有两种方法：(1)插值法：要求生成的曲线经过每个数据点，即类型值点。曲线插值方法包括多项式插值、分段多项式插值和样条函数插值。(2)拟合方法：生

5、成的曲线需要靠近每个数据点(类型值点)，但不一定要经过每个点。拟合方法一般包括最小二乘法、贝塞尔方法和B样条方法。下面主要介绍工程中常用的贝塞尔曲线和B样条曲线。贝塞尔曲线和b样条曲线的生成以及5.2贝塞尔曲线和b样条曲线的生成。贝塞尔曲线是雷诺汽车公司的贝兹尔在20世纪70年代初为解决汽车外观设计问题而提出的一种新的参数表示法。这种方法的特点是控制点输入和曲线输出之间的关系清晰，使设计者能够直观地估计给定条件和设计曲线之间的关系。当设计者(用户)使用交互手段改变输入控制点时，他们可以很容易地改变拟合曲线的形状和在屏幕上表示它的多项式的次数，以满足设计要求。贝塞尔曲线是指由光滑的参数曲线段近似

6、的折线多边形，它不需要给出导数，但可以通过给出数据点来构造，而曲线的次数严格取决于确定曲线段的数据点的数量。生成贝塞尔曲线、5.2贝塞尔曲线和B样条曲线，曲线的形状取决于多边形的形状，也就是说，它是由一组多边形多段线(称为要素多边形)的顶点唯一定义的，并且只有多边形的第一个顶点和最后一个顶点在曲线上。贝塞尔曲线及其特征多边形如下图所示，三次贝塞尔曲线和特征多边形。注意：上图是由四个控制点组成的三次贝塞尔曲线，曲线的形状取决于特征多边形的形状。特征多边形的第一条边和最后一条边分别代表曲线在第一个顶点和最后一个顶点的切线方向。5.2贝塞尔曲线和B样条曲线的生成，贝塞尔曲线可以分为开放和封闭两种类型

7、：第一个和最后一个控制点不想开放，但第一个和最后一个控制点想封闭。如下图所示：5.2贝塞尔曲线和B样条曲线的生成，(1)贝塞尔曲线的定义贝塞尔曲线由一组折线定义，曲线上的第一点和最后一点，第一条折线和最后一条折线分别表示曲线在起点和终点的切线方向。贝塞尔曲线通常定义一个特征多边形的nn个顶点的n次多项式，即给定空间中n 1个点的位置向量Pi(i=0，1，2，n)，贝塞尔参数曲线上每个点坐标的参数方程(插值公式)为：其中参数t的取值范围为0，1，I是有序集合0n中的整数值，表示顶点序号。n是多项式次数和曲线次数。5.2贝塞尔曲线和B样条曲线的生成。通常，由n 1个顶点决定的曲线是N度曲线.在上面

8、的公式中，是特征多边形的第一个顶点的坐标(xi，yi)，这是一个伯恩斯坦多项式，称为第n个伯恩斯坦基函数，定义如下，其中：5.2贝塞尔曲线和B样条曲线的生成，属性1:正，(2)Betenstein基函数的属性2:端点属性，属性3:根据二项式定理，Pr :显示贝塞尔曲线和B样条曲线的生成，属性4:对称，属性5:递归，即更高的Betenstein，5.2贝塞尔曲线，B样条曲线生成，属性6:导数函数，因为参数T将被导出以获得：5.2贝塞尔曲线，B样条曲线生成，属性7:最大值，在该处达到最大值，属性8:积分，5.2贝塞尔曲线，B样条曲线生成，(3)贝塞尔曲线两端的值可以从公式中获得，这表明贝塞尔曲线必

9、须经过特征多边形的起点和终点， 5.2贝塞尔曲线和b样条曲线的生成，2 .贝塞尔曲线在起点和终点的切线是特征多边形的第一条边和最后一条边，切线向量的模长是相应边长的n倍。根据贝塞尔基函数的导数函数性质，我们可以得到：所以在起点，所有其他项都是0，所以有5.2条贝塞尔曲线和B样条曲线，而在终点，所有其他项都是0，所以有，例如，如下图所示，对于四次贝塞尔曲线，n=4存在，1。贝塞尔曲线的起点和终点分别是特征多边形。2.2的切线。起点和终点的贝塞尔曲线分别是特征多边形的第一条边和最后一条边，切向量的模长是相应边长的n倍。5.2贝塞尔曲线和B样条曲线的生成，属性2:对称性如果N阶贝塞尔曲线的顶点位置保

10、持不变，并且顺序相反，即下标为1的点变为下标为N-1的点，那么此时曲线将保持不变，只有曲线的方向相反，如下图所示。5.2贝塞尔曲线和b样条曲线的生成，这个性质证明如下。从伯恩斯坦多项式可以得出，如果逆序后的顶点是，那么就有。此时，通过控制顶点来构造新的贝塞尔曲线，然后，该属性显示贝塞尔曲线在起点和终点具有相同的几何属性。5.2贝塞尔曲线和b样条曲线的生成，性质3:通过贝塞尔基函数的权重性质可以知道凸性，并且这个结果表明当t在区间0，1中变化时，对于t的某个值，P(t)是特征多边形的所有顶点Pi的加权平均值，并且权重因子依次是。在几何学上，它意味着贝塞尔曲线P(t)中的每一个点，其中t属于0和1

11、，是控制点Pi的凸线性组合，也就是说，曲线落入由Pi形成的凸包中，如下图所示。(1)贝塞尔曲线的凸性，注意：也就是说，当特征多边行为是凸的时，贝塞尔曲线也是凸的；当特征多边形是凸的和凹的时，其曲线的凸凹形状对应于它并且在其凸包内。5.2贝塞尔曲线和b样条曲线的生成，属性4:几何不变性，这意味着一些几何特征不会随着坐标变换而改变。根据Bezier曲线的定义，曲线的形状和位置是由其特征多边形的顶点Pi (i=0，1，n)唯一确定的，与坐标系的选择无关，即几何不变性。也就是说，5.2贝塞尔曲线和B样条曲线是由贝塞尔曲线的定义生成的，(4)几条低阶贝塞尔曲线，(1)当n=1时，一条主贝塞尔曲线是一条主

12、贝塞尔曲线，P(t)是一个带有两个控制点的主多项式，所以我们可以推导出主、次、三次贝塞尔曲线的数学表达式。下面依次讨论：5.2贝塞尔曲线和B样条曲线的生成。注意：这表明主贝塞尔曲线是连接起点P0和终点P1的直线段。这表明二次贝塞尔曲线是抛物线，其矩阵形式是：2)当n=2时，二次贝塞尔曲线是二次贝塞尔曲线，P(t)是具有三个控制点的二次多项式，然后生成5.2贝塞尔曲线和B样条曲线，以及3)当n=3时，三次贝塞尔曲线是三次贝塞尔曲线。此时，有四个控制点。由于三次贝塞尔曲线是由三条虚线定义的三阶曲线，因此有：5.2贝塞尔曲线和B样条曲线，用矩阵表示为：5.2贝塞尔曲线和B样条曲线。在上式中，可以看出

13、：4-2被称为三次贝塞尔曲线的调和函数，它构成如下图所示的四条曲线。5.2贝塞尔曲线和B样条曲线的生成，它们都是三次曲线，形成一组贝塞尔曲线的基础。任何三次贝塞尔曲线都是这四条曲线的线性组合。5.2贝塞尔曲线和B样条曲线的生成，例如，10度贝塞尔曲线的调和函数如下，它构成如下图所示的11条曲线。5.2贝塞尔曲线和b样条曲线的生成。一般来说，对于n次贝塞尔曲线，它们可以用矩阵形式表示如下：其中T是(n 1)X(n 1)的方阵，第I列中的元素是根据T的幂减排列的基函数的系数.5.2贝塞尔曲线和b样条曲线的生成，解决方案：在步骤1:中，通过公式计算对应于不同t值的值，如下表所示。示例1:假设它是贝塞

14、尔曲线特征多边形的顶点位置，并绘制一条三次贝塞尔曲线。(5)贝塞尔曲线计算示例，5.2生成贝塞尔曲线和B样条曲线，通过步骤2:计算不同T值下的P(T):5.2生成贝塞尔曲线和B样条曲线，可以根据这些点的坐标绘制三次贝塞尔曲线，如下图所示。注意：上述值和数字不是唯一的。注意：5.2贝塞尔曲线和B样条曲线的生成注意：要根据曲线方程绘制曲线，通常先计算曲线上的一系列点或适当接近的点，然后依次用直线连接这些点，得到一条用虚线表示的近似曲线。只要这些点足够近，看起来就像一条足够平滑的曲线。5.2贝塞尔曲线和B样条曲线的生成，2。参考程序：示例2:通过计算机编程绘制三次贝塞尔曲线段，1。要通过编程绘制一条

15、贝塞尔曲线段，将其矢量形式改为分量形式：浮动I，dt，t；char msg80，typedef结构Vpoints float x；浮动y；VERpoints顶点4=50，50，150，150，300，130，350，50；浮动n；5.2贝塞尔曲线和b样条曲线的生成，dt=1/(浮点)n；对于(I=0；I=n；I)t=I * dt；x=椎骨x0.x*(1-t)*(1-t)*(1-t)椎骨x1.x*3*t*(1-t)* (1-t)椎骨x2.x*3*t*t*(1-t)椎骨x 3 . x * t * t * t；y=椎骨x0.y*(1-t)*(1-t)*(1-t)椎骨x1.y*3*t*(1-t)* (

16、1-t)椎骨x2.y*3*t*t*(1-t)椎骨x 3 . y * t * t * t；if(i=0) moveto(x，y)；lineto(x，y)；5.2生成贝塞尔曲线和b样条曲线、直线(顶点0.x、顶点0.y、顶点1.x、顶点1 . y)；线(顶点1.x，顶点1.y，顶点2.x，顶点2 . y)；线(顶点2.x，顶点2.y，顶点3.x，顶点3 . y)；sprintf(消息，%s%d%s%d，%d%s，P，0，(，50，50，)；outextxy(x0，y0，msg)；sprintf(消息，%s%d%s%d，%d%s，P，1，(，150，150，)；outextxy(x1，y1，msg)；