数字图像处理第3章幻灯片.ppt

1、数 字 图 像 处 理第三章 常用数学变换,主要内容,线性系统和卷积运算 傅立叶变换及其性质 离散图象变换的一般形式 离散余弦变换 沃尔什变换和哈达玛变换 K-L变换 小波变换,（1）线性系统和卷积运算,线性系统的定义： 对于某系统有 y(t) = x(t) 该系统是线性的当且仅当 ax1(t) + bx2(t) = ax1(t) +b x2(t) =a y1(t)+b y2(t) （叠加原理）,（1）线性系统和卷积运算,线性空不变（移不变）系统 定义： 定义 二维冲激响应函数 h(x,y,) = (x- ,y-) (x,y)为二维Dirac函数 若 h(x,y,) = h(x- ,y-)，则

2、系统为“空不变”系统。,冲激响应h的傅立叶变换称为传递函数。,（1）线性系统和卷积运算,卷积定义： 已知线性空不变系统的冲激响应函数 h(x,y) , 设输入 f (x,y)， 则输出 y(x,y)=f(x,y) = f(, ) (x- ,y-)dd = f(, ) (x- ,y-)dd = f(, ) h(x- ,y-) dd 即 y(x,y) = f(, ) h(x- ,y-)dd = f(x-, y- ) h( ,)dd 一般表示为 y(x,y) = f(x,y) h(x ,y),（1）线性系统和卷积运算,离散形式卷积：,y(i, j) = f(m, n) h(i-m, j-n),卷积性

3、质 交换性 加法的分配率 结合率 求导的性质,（2）傅立叶变换及其性质,正交变换 一个实函数或复函数若用 x(t) 表示，其定义域为(t0,t0+T)，在此区间可展开为：,m 变换核,（2）傅立叶变换及其性质,则m称为正交函数，当c =1时称为归一化（标准）正交函数。 图像处理中用到的变换核均为正交函数。 变换是工具，一个域特征不突出到变换域则突出。信号处理中常把空域信号变换到变换域进行处理。 (例如：傅立叶变换后的零频分量，正比于图像的平均亮度，而高频分量代表图像中边缘幅度和方向；可用于图像的变换编码以压缩频带，如对幅度小的变换系数或者丢弃，或者粗量化。),（2）傅立叶变换及其性质,一维连续

4、傅立叶变换,（2）傅立叶变换及其性质,一维离散傅立叶变换(DCT),N,（2）傅立叶变换及其性质,二维连续傅立叶变换,（2）傅立叶变换及其性质,二维离散傅立叶变换,（2）傅立叶变换及其性质,二维离散傅立叶变换性质,线性,可分离性,一个二维离散傅立叶变换可以先后两次运用一维傅立叶变换来实现。,（2）傅立叶变换及其性质,平移性,傅立叶变换的幅值不变 ：,周期性和共轭对称性,（2）傅立叶变换及其性质,旋转不变性,比例性,（2）傅立叶变换及其性质,平均值性质,微分性质,变换,（2）傅立叶变换及其性质,卷积定理,对离散傅立叶变换，应用卷积定理时，需要对f (x,y) 和 g (x,y)的变量域重新定义，

5、即增补0为扩充函数形式（避免交叠误差）。,快速傅立叶变换（FFT）（略）,（2）傅立叶变换及其性质,（2）傅立叶变换及其性质,（2）傅立叶变换及其性质,频域图像（幅度谱）,原图像,（3）离散图像变换的一般形式,（1）基本概念,离散线性变换、酉变换、正交变换,（3）离散图像变换的一般形式,正交变换T 的每一行称为该正交变换的正交基，或基函数。,（3）离散图像变换的一般形式,M,M,M,M,M,M,图像,图像,矩阵形式中，F (x, y) 可以表示为 MN 维的矢量（“拉直”运算）。,图像,0u M-1; 0v N-1;,对应二维变换核函数的核矩阵其每一行也可视为一个MN 图像的“拉直”运算构成，

6、因此，核函数可以视为由一组基图像组成。,MNMN,有,（3）离散图像变换的一般形式,“基图像”示例,（3）离散图像变换的一般形式,上述代数表达式可以表示为矩阵形式：,其中Tr， Tc满足正交变换。,（3）离散图像变换的一般形式,离散变换可表示如下：,将图像 f 表示为,为MM ;,为NN,P,P,p和Q 为非奇异的。,P,（3）离散图像变换的一般形式,对离散付氏变换：变换核 p=WMM ，Q=WNN,其代数形式即：,WMM的元素为：,wmu=,WNN的元素为：,P,（4）离散余弦变换,二维离散余弦变换DCT,反变换,（4）离散余弦变换,离散余弦变换实际上是利用了傅立叶变换的实数部分构成的变换。

7、 傅立叶变换中，当f (x,y)为实对称时，sin项为零，只余cos项。可由四幅MN的原图拼成2M2N的实对称图像（沿原图的水平、垂直二边界拼接四幅图）定义：,四幅拼合对称点在(-1/2,-1/2)之处。,（4）离散余弦变换,DCT变换的矩阵形式,T,（4）离散余弦变换,例：求下列图像的余弦变换,（4）离散余弦变换,原图像,余弦变换,（4）离散余弦变换,将大部分信息滤掉,重构图像,(5)沃尔什变换和哈达玛变换,离散沃尔什变换（Walsh, DWT） （思想：核矩阵中只有+1和-1元素，要求N=2p，是对称的可分离的酉矩阵）,(5)沃尔什变换和哈达玛变换,N=2,4,8时的沃尔什变换核,(5)沃

8、尔什变换和哈达玛变换,N=8时变换核的行向量（基函数）,(5)沃尔什变换和哈达玛变换,二维离散沃尔什变换：,(5)沃尔什变换和哈达玛变换,例：求下列图像的DWT,(5)沃尔什变换和哈达玛变换,(5)沃尔什变换和哈达玛变换,沃尔什变换本质上将一个函数变换为取值为+1或-1的基向量构成的级数； 类似于频率函数，但又不同于频率函数； 以过零点数目替代频率的概念，称为序率；,沃尔什变换具有能量集中的作用。原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此沃尔什变换可以压缩图像信息。且变换比傅立叶变换快。 计算简单。,(5)沃尔什变换和哈达玛变换,离散哈达玛变换（Hadamard）,哈

9、达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换 其与沃尔什变换的区别是变换核矩阵行的次序不同 哈达玛变换最大优点在于变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶的变换矩阵可以用低阶转换矩阵构成。,(5)沃尔什变换和哈达玛变换,对于二维图像，其变换为 H(m,n) = H(m,x) f(x,y) H(n,y) 矩阵H同一维。,(5)沃尔什变换和哈达玛变换,例：求下列图像的哈达玛变换,（6）K-L变换,即 Karhunen-Loeve 展开，又称为Hotelling变换，或主成分分析。,基本思想寻找随机分布数据所在空间的一组正交基，使得原始数据变换到此正交基组成的空间表示后，数据样本的各个分量间的统计互相关性降

10、低到最低点。此组正交基也称为主成分（主分量）。,（6）K-L变换,特征值和特征向量：,特征向量是相互正交的,（6）K-L变换,K-L变换,协方差矩阵,fi 是一个样本，,（6）K-L变换,求协方差矩阵的特征值和特征向量, 定义变换核矩阵,T E( f ) ( f )T =T Cf ,F的协方差阵,（6）K-L变换,K-L变换的性质：,F的均值为0； F的协方差矩阵为对角阵数据各分量间无相关性； A-1=AT 在变换域中，能量集中在值大的对应的分量上。,（6）K-L变换,图像的 K-L 变换,（例）图像数据压缩多光谱图像的每个象素对应多个谱带（多通道），例有10001000的24通道多光谱图像，

11、则可以视为一百万个24分量的随机向量的集合。由于不同通道间存在很大相关性，所以经K-L变换后，24个特征值中许多很小忽略后可用较少的维数表示（降维），经传输后做反变换重构，只产生很小误差。,某些应用中，将二维图像采用行堆叠或列堆叠转换为一维处理。如人脸识别（每个特征向量对应一个“特征脸”）。,（7）小波变换,小波分析时-频局部化分析；多尺度（多分辨）分析；（犹如通过观察“镜头”的推拉和平移，聚焦到信号的任意细节）,（一）时频分析的概念,傅立叶变换是全局域变换，不能提供信号在某个时间段上的频率信息。如希望知道在某些突变时刻附近的频率成分要求局部分析。,Gabor变换（短时傅立叶变换/加窗傅立叶变

12、换） 基本思想把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。,（7）小波变换,定义：,采用高斯函数作为窗函数,可以推导,Gabor变换以窗口分解了f (t) 的频谱，当窗在整个时间轴上移动时，给出完整的频谱。,（7）小波变换,重构公式,同样，若在频域加窗（用g(t)的傅立叶变换），则可以认为，其在时域的反变换以窗口分解了f (t)，当窗在整个频域上移动时，给出完整的信号。,希望的窗口选择：变化剧烈处时窗窄（则频窗宽），以提取高频成分；变化缓慢处时窗宽（则频窗窄），以保证较高的频率分辨率。,但Gabor变换时-频窗固定，不能反映信号不同局部的细节变化

13、。,（7）小波变换,Gabor变换的特点,变换核,（7）小波变换,考虑Gabor变换的变换核具有振荡衰减的性质希望窗口尺度可调, 小波函数(wavelet)的提出。,小波概念：定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。 “小”是指在时域具有紧支集或近似紧支集，“波”是指具有正负交替的波动性。小波应是一个具有振荡性和迅速衰减的波。,（7）小波变换,小波变换的定义： 设函数 f (t)L2(R)，则小波变换的定义如下：,核函数(t)中，a0为尺度参数（伸缩参数）,b为定位参数（平移参数），该函数称为小波。若a1 函数(t)具有伸展作用，若a1函数(t)具有收缩作用。伸缩参数 a 对(t)的影响如下

14、图：,（7）小波变换,（7）小波变换,小波函数满足的条件,(1)紧支撑性（Compact support），即在一个很小的区域之外函数均为零，函数具有速降特性。 (2)平均值为零，即：,而且其高阶矩也为零：,（7）小波变换,容许条件：,此时称,称为一个“基小波”或“母小波”。,把基小波的函数作位移后，再在不同尺度下与待分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。,要求,（7）小波变换,（二）多分辨分析的概念,多分辨分析（多尺度分析）是小波分析中最重要的概念之一，它将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分，并且多分辨分析能提供一种构造小波的统一框架，提供函数分解与重构的快速算法。,图像的

15、塔式表示,设原始图像为10241024，减小分辨率（间隔采样）512512256256 11。 若依次提取图像边缘得到: 细边缘较粗边缘更粗边缘 在不同分辨率下，可以检测到不同尺度的特征。,（7）小波变换,对原始图像（J级）进行滤波亚采样（间隔采样）得到第（J-1)级近似图像。由（J-1)级近似图像进行过采样（内插） 得到对第J级的预测图像（与J级同分辨率）。将J级图像与预测图像的差作为第（J-1)级的误差图像。从（J-1)级开始重复此过程塔式表示。一般截止在（J-P）级。（滤波可以是高斯低通，或直接22邻域平均）,由误差图像和最终的（J-P）级近似图像，可以反向重构原始图像。 （塔式编码）,

16、（7）小波变换,（三）多分辨表示,1、级数展开,将函数展开为,k展开系数；,k(x)基函数族；,所有k(x)形成一个函数空间，表示为,若f (x)V，则 f (x)可以表示为（3.7.1）,（3.7.1）,要求：对所有,存在,满足,（7）小波变换,2、尺度函数,考虑上述基函数族由(x)的平移和伸缩构成：,（j, k为整数）,其中 k平移；j(x)的伸缩。 称 (x) 为尺度（化）函数。,若选择合适的(x)，则j,k(x)可以展开任意的 f (x)L2(R),（3.7.2）,若固定j =j0,则j0,k(x)为j,k(x)的子集。对任意j，其对应的子空间为,（j为参量）,（7）小波变换,要求尺度

17、函数必须满足（Mallat,1989),尺度函数与它的整数平移是正交的； 较大尺度的子空间包含在较小尺度的子空间内； 只有f (x)=0是包含在所有子空间内的； 任何函数可以被表示成任意精度；,某个尺度的子空间对应某个分辨率的表示小尺度（j大）对应高分辨率，包含了大尺度（低分辨率）的信息。表示为： V- V-1V0V1V2 V V-表示没有任何可用信息；f (x)=0 可以用最粗糙的V-来表示。,（7）小波变换,根据上述条件， VjVj+1，则应有,将（3.7.2）代入，得,多分辨分析（MRA）方程（膨胀方程）,子空间的展开函数可以由二倍分辨率空间的函数自身复制而来（参考子空间的选择是任意的）

18、。,（3.7.3）,（7）小波变换,3、小波函数,小波函数(x) 用于把两个相邻的不同尺度的子空间Vj 和 Vj+1的“差”展开。,定义小波函数集 j,k(x)为,（3.7.4）,尺度函数空间与小波函数空间的关系,Vj+1=VjWj,小波函数子空间为,（ 联合，张量积）,（7）小波变换,Wj为Vj+1空间中Vj 的正交补集。即, j,k(x), j,l(x)= 0 （对所有的 j,k,l）,所有可测、平方可积函数可表示为,L2(R)=V0W0 W1,（3.7.5）,（7）小波变换,由于小波空间包含在较高分辨率的尺度空间，则任意小波函数可以象膨胀方程一样表示为：, 尺度函数可用来构造小波函数。,例Haar函数,（3.7.6）,（7）小波变换,（7）小波变换,由尺度函数构造的小波函数,即,（7）小波变换,4、一维小波变换,小波级数展开,根据（3.7.5）,有,（j0任意初始尺度）,（3.7.7）,（7