数学思维活动.ppt

1、2020/8/7,介绍,张维忠，教育学博士。浙江师大教师教育学院教授，浙江省高校中青年学科带头人。兼任全国高师数学教育研究会常务理事、副秘书长，浙江省中学数学教学研究会副会长，数学教育学报编委，教育部中小学数学教材审查委员，浙江省高中新课程改革专家组成员等。 主持完成全国教育科学规划重点课题2项，出版学术专著4部，在教育研究等学术刊物发表论文100余篇。主持完成的科研课题曾获教育部第三届全国教育科学优秀成果奖以及浙江省人民政府颁发的多项奖励。,2020/8/7,基于数学思维方法的学习活动,张维忠,2020/8/7,数学的思维活动,数学是人类的一种活动，数学学习与其说是学习数学知识，倒不如说是学

2、习数学的思维活动。日本数学家米山国藏也认为，对于学生们而言，作为知识的数学，通常是出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，那些深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等(若培养了这方面的素质的话)都随时随地发生作用，让他们受益终生。,2020/8/7,基本思维方法,由于数学是一种思维科学，其基本思维方法包括观察、实验、比较、分类、分析、综合、抽象、概括、类比、归纳、演绎、联想、猜想、般化、特殊化等等，所以数学思维方法就是对数学内容的思维运动形式的认识。因此，学习数学思维，就是学习数学思维运动形式。这样，数学的思维方法就成为学生数学学习的重要方面

3、。,2020/8/7,全日制义务教育数学课程标准,课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展数学的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。 推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。,2020/8/7,普通高中数学课程标准3页,课程的基本理念：4.注重提高学生的数学思维能力。 高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、

4、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断。,2020/8/7,一、观察与实验,1.观察 观察是人们对周围世界客观事物和现象在其自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系，从而获取经验材料的种方法。数学观察则是对数学问题在客观情境下考察其数量关系及图形性质的方法。,2020/8/7,1.观察,观察是一种重要的心理活动，是感知的特殊形式，是有目的、有计划、有组织的主动知觉。在观察过程中，还包含着积极的思维活动，知觉和思维密

5、切地联系着。这样才能观察深刻，从而发现观察对象的本质和内在的联系。在学生数学学习和研究中，常常通过观察来搜集新材料、发现新事实，通过观察认识数学的本质、揭示数学的规律、探求数学的思想和方法。,2020/8/7,费马与欧拉,2020/8/7,课标第14，23页,例1 在下列横线上填上合适的数字，并说明理由： 1，1，2，1，1，2，； 例2 完成序列，并说明理由。 0.5，1.5，4.5， 。,2020/8/7,例1 已知数列1，-4，9，-16，试求出这个数列的前n项和。,观察 1=1 1+(-4)=-3 1+(-4)+9=6 1+(-4)+9+(-16)=-10 试总结出一般规律。,2020

6、/8/7,解：学生可能会观察计算出数列的前几项和看看（特殊化）: S1=1， S2=1+(-4)=-3=-(1+2)， S3=1+(-4)+9=6=1+2+3， S4=1+(-4)+9+(-16)=-10=-(1+2+3+4)， 从而归纳猜想出（一般化）： Sn=(-1)n+1(1+2+3+4+n)= (-1)n+1。,2020/8/7,例2（小学） 观察,1=1 3+5=8 7+9 +11=27 13+15+17+19=64 21+23+25+27+29=125 试总结出一般规律。,2020/8/7,例3 用小学数学方法计算,1+3+5+7+99=? 解：观察可见： 1+3=22 1+3+5

7、=32 1+3+5+7=42 1+3+5+99=502=2500,2020/8/7,观察在学生数学学习中的作用,(1)有利于数学概念的建构 在数学概念建构学习中，要依赖于对事物的观察，并通过观察得到事物的本质特征，进而形成概念。例如，学生在学习圆上弦切角概念时，可通过弦的变化的观察，形成弦切角概念。,2020/8/7,观察在学生数学学习中的作用,(2)有利于数学发现学习 数学发现学习是通过学生在数学活动中，亲自发现数学知识的一种学习形式。在发现学习过程中，重要的是从对事物的观察开始。例如学生通过对一元二次方程的两个根的关系的观察而发现根与系数的关系。,2020/8/7,观察在学生数学学习中的作

8、用,(3)有利于获得解题方法、途径 在学生数学学习中，很重要的一项内容是解题。解题途径的获得有赖于对题目条件(结论)的深入观察。 (4)有利于培养学生的数学观察力 学生学习数学不仅要学习数学知识，更重要的是培养能力。观察能力是数学的一种能力。学生通过观察不仅得到观察方法，而且还可提高自己的观察技巧，从而提高了观察能力。,2020/8/7,2.实验,实验则是人们根据定的研究目的，利用仪器或工具对周围世界的客观事物与现象，进行人为的控制、模拟，排除干扰，突出主要因素，在最有利的条件下考察和研究它们的性质和关系，从而获取经验材料的种方法。 在实验中，人们要变革和控制被研究的对象，这使得实验法比观察能

9、更好地发挥人的主观能动性，因而实验是比观察更有力的认识手段。一般说来，观察是实验的前提，实验则是观察的证实和发展。,2020/8/7,在数学研究中，通过观察与 实验不仅可以收集新材料、 获得新知识，而且常常导致 数学的发现和理论的创新。 早在200多年前，德国数学家 哥德巴赫(GGoldbach)提出 了一个命题：“凡大于4的偶 数都可以表示成两个素数的和。” 由于这个命题至今还未能被证 明，人们称它为“哥德巴赫猜想”， 它的发现完全来源于观察。,2020/8/7,实验的作用,在数学学习与解题活动中，观察和实验也有着重要的作用。通过观察和实验，不仅可以帮助形成数学概念、探求数学命题，而且可以帮

10、助发现解题途径，从而实现解题思路的突破。,2020/8/7,例4(小学、初中) 证明三角形的三个内角之和等于180,实验1 以硬纸片为材料，剪出一个任意三角形，用量角器量它的三个角，求其和,2020/8/7,实验2,先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图-（）)，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图-（）)，最后得（图-（）所示结果，观察、猜想三角形三内角的和。,2020/8/7,实验3,设所剪出的纸片三角形为ABC，剪下A与B 把它们和C拼在一起(图-)，这时可发现CD恰为BC的延长线。 通过上述实验我们有理由确信，三角形的三内角之和等于180

11、从实验3还可以得到有关证明方法的启迪。,2020/8/7,例5 平面上条彼此相交而无三条直线共点的直线，把平面分割成多少部分?,实验等于找出了下面计算公式： S1=1+1, S2=1+1+2, S3=1+1+2+3, S4=1+1+2+3+4, 由此可获得公式： Sn=1+1+2+3+n=1+1/2n(n+1).,2020/8/7,例6 圆柱侧面展开图,提出问题：圆柱面上的椭圆在圆柱侧面展开图中是什么形状? 学生猜想：圆弧、抛物线段等二次曲线的一部分。,2020/8/7,实验观察：要学生自制长方形纸片围住水杯，按纸片接头所在母线AB的位置分三种情形(如图-8，5-9，5-10)画出截面的截口(

12、无法精确，近似即可)，其中图5-10中的A，B是半圆弧的中点。,2020/8/7,观察相应展开图的形状(如图5-11，5-12，5-13)。 学生惊讶：正弦曲线或余弦曲线! 探求论证：建立坐标系，证明展开图中的曲线方程为y=Asin(x+)+B或y=Acos(x+)+ B的形式。,2020/8/7,例7 在ABC中，若cn=an+bn(n2)，问ABC为何种三角形？,分析 最明显的是，若c2=a2+b2，则ABC为直角三角形。但现在题目中的n大于2，所以我们一下难以说出结论来。可以先取一些特殊情况考察。 比如，取n=3，a=1，b=2， 作出这个三角形的草图，得到一个锐角三角形。观察另外一些特

13、例，发现还是锐角三角形。 进而猜想: 若cn=an+bn(n2)，则ABC为锐角三角形。,2020/8/7,证明 在ABC中，因为cn=an+bn(n2)，所以c为ABC的最大边，为此只需验证C为锐角即可。 问题转化为证明: a2+b2c2，而该式等价于(a2+b2)cn-2cn，因此问题又归为证明 (a2+b2)cn-2-cn0 把已知式cn=an+bn代入上式左边，得 (a2+b2)cn-2- an- bn= a2(cn-2-an-2)+ b2(cn-2-bn-2) 0，从而cosC0，C (此题的解决过程是:取特殊情况实验、观察，作出合情推理，然后再证明。在证明过程中，又多次将问题转化，

14、以达目的。),2020/8/7,二、一般化与特殊化,1 .一般化 一般化也称普遍化，它是一种数学思维方法。波利亚在怎样解题中指出：“普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大的集合。” 一般化在学生数学学习中有以下作用。,2020/8/7,(1)可以通过一般化而发现数学的一般性原理、性质、法则、规律等,如果我们见到下列和数: 1+8+27+64=100 发现它可以表示成这样的奇特形式 13+23+33+43=102 这时，我们可以发现一般化的规律：“前n个自然数的立方和是一个自然数的平方。” 当然这只是猜想，还不知道此猜想

15、是否正确。这又引导我们去做更进一步的一般化工作。,2020/8/7,让我们观察以下一些特殊情况： 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 13+23+33+43+53=152 等号右边的各个数的底数是等号左边各数的底数之和。于是我们又可一般化为 13+23+33+n3=(1+2+3+n)2， 即,2020/8/7,(2) 一般化思维方法有助于数学解题途径的获得,波利亚指出：“雄心大的计划，成功的希望也较大”，“更普遍的问题可能更易于求解”。在数学解题过程中，我们思考一个问题，有时可以跳出它的范围而去思考比它大的范围的更一般性的问题。一般性的问题有时比特殊性问题

16、还易于解决。因此，只要解决一般性的问题，特殊性的问题则就迎刃而解了。 例8 (初中) n条直线交于一点时， 对顶角有几组？,2020/8/7,. 特殊化,与一般化的思维方法相反，特殊化是从原思维对象所在的范围转化为比它小的，且被它所包含的范围内进行思维的方法。波利亚指出：“特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一个较小集合，或仅仅一个对象。”,2020/8/7,当我们见到多边形的内角和公式为时，可以用它的一个特殊化情形三角形来检验：(3-2)180=180，于是可以初步接受多边形内角和的公式。这就是特殊化的思维方法。它简便、易行，是学习过程的好办法，是“以退求进”的思维方法。,20

17、20/8/7,特殊化方法在数学学习中起到“实验室”的作用。,例如，有一种游戏，一张圆桌上恰好可不重叠地放置若干个大小相同的硬币，由甲、乙两人轮流在桌上放置硬币，每人每次各放一枚，两枚硬币不能重叠。这样轮流放置下去，谁放置最后一个硬币，则为胜者。假设两人都是放置游戏的能手，问先放置者胜，还是后放置者胜?这是一个看起来较难的问题。,2020/8/7,特殊化在学生数学学习中作用,(1)有助于解题途径的发现 例9（初中） 求证：无论k为何值，直线 都通过一定点。,2020/8/7,分析 题目没有给出这个定点。因此，首先要探索这个定点。用特殊化方法：任取k=0和1，则得直线y=2，y=x+1.,2020

18、/8/7,2020/8/7,(2)推翻某一结论的反例,特殊化作为某一结论的特殊形式，在学生数学学习中就是特例形式。一个结论的推翻，只要一个反例即可。 例10（初中） 在一个三角形中，令内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，最 长的高为H，则,2020/8/7,2020/8/7,三、类比与归纳,1类比 类比是根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，而推出它们在其他属性上也相同或相似的思维方法从某种意义上讲，类比是一种相似，可以说是较明确、较概念化的相似，它把在某些方面彼此一致的相似对象的这些一致之处归结为明确的概念，进而构建其它一致之处,2020/8/7,例如，由平面上的三角形性质，可以类比到

19、空间中四面体的性质。空间的四面体与平面上的三角形有一致之处：平面之于空间(低一维)恰似直线之于平面(低一维)，四面体是由空间中最少数目的平面围成的有限几何体，而三角形是由平面上最少数目的直线围成的有限图形故四面体在空间的位置与三角形在平面上的位置是一致的，或者说在这一点上是相似的，它们具有类比关系也因此，我们可以根据三角形的有关概念、性质类比推理出四面体的相应概念、性质。,2020/8/7,由平面上直角三角形的射影定理：RtABC中，C=90，CDAB于D，有AC2=ABAD(如图5-23(1)，可类比到空间中的四面体O-ABC，直三面角O-ABC，AOB=BOC=AOC=90，面OAB在面A

20、BC上的投影为ABD，可能有(如图5-23(2),2020/8/7,进一步作出的类比:,直角三角形三直四面体 正三角形等面四面体 三角形内切圆四面体内切球 (内心) (内心) 三角形外接圆四面体外接球 (外心) (外心) 顶点到对边中点连线顶点到对面重心连线 (重心) (重心) 正三角形三心重合等面四面体三心重合,2020/8/7,例11 勾股定理的推广1,勾股定理告诉我们:如果一个三角形ABC的三边之长是a、b、c,那么,当满足等式a2+b2=c2时,该三角形是直角三角形；反过来,如果这个三角形是直角三角形,则上述等式成立。如果我们让指数作一些变化:2n，即an+bn=cn ，你可以发现什么

21、?还有其他的问题吗?,2020/8/7,例12 勾股定理的推广2,2003年新、老课程文科试卷的第(15)题：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2 ”.拓展到空间，模拟平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直，则_”,2020/8/7,证明：设A-BCD为满足题意的直角四面体(如图6-34)，过A点的三个面角都是直角。过C引的垂线CE. 因为ACAB及AD（假设）， 所以ACADB （垂直于该平面上两相交的直线）， 于是 AECADB （含垂线的平面）， 所以， AEBD,

22、设AB=b，AD=d，AC=c， 由三角形面积公式得到： bd=2SABD=AEBD, 由此AE=bd/BD, 又, BDCE =2SBCD,2020/8/7,2020/8/7,2020/8/7,2020/8/7,类比的条件,显然，类比的基础是事物之间的相似性或某种一致性只要两个对象有某个方面的相似性，就可以类比，包括形式上的相似，结构上的相似，内容上的相似，地位上的相似等,2020/8/7,类比的一般模式为,A具有性质a，b，c，d， B具有性质a，b，c， B也可能具有性质d,2020/8/7,类比的另外模式,A具有性质a，b，c，d， B具有性质a，b，c分别与a，b，c相似， B可能具

23、有性质d，d与d相似。,2020/8/7,例13（小学）对于“图5-24中共有n条线段”这类题，可能学生通过观察，并归纳出当线段有n个点时，则所得到 线段数为,2020/8/7,而学生，只要能构建出这个较为清晰的数学模型之后，则可利用类比来解决“图5-25中有n个三角形”这类问题。原因就在于这两类题的数学模型几乎是相同的，于是学生也就能推测出其解法为： 从三角形顶点 向对边引出n 条线段，则所 得三角形的个数为：,2020/8/7,课标第82页,例14“根据下面3个等式，猜测第四个等式右边的答数。 1+3=4=22 l+3+5=9=32 l+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9+11+1

24、3+15+l?+19=?”,2020/8/7,分析学生可先看看下面一个图形(图5-26)，先观察黑色或白色的 “”形图形的面积：如果每个小正方形为1个平方单位，则从左上角开始，每个黑白相间的小正方形面积为： 1+3=22 l+3+5=32 l+3+5+7=42 在这里，等式左边是正方形 中所含小正方形的个数，而 右边是正方形边长平方。利用 它可以猜测： l+3+5+7+9=52，并在图中利用直观方式可得证明。并进一步推测到：,2020/8/7,类比在数学学习中的作用,（1）通过类比联想而发现新的数学知识 在数学发展的历史上，通过类比而发现数学的例子很多。例如，罗巴切夫斯基通过欧氏几何中的第五公

25、设，类比出罗氏公理：“在平面上，过一条直线外的一点，可以画两条不同的平行线。”黎曼也通过欧氏几何中的第五公设，类比出黎氏公理：“同一平面上的任何两条直线一定相交；直线可以无限延长，但总长度是有限制的。”他们通过类比，分别发现了罗氏几何与黎氏几何。,2020/8/7,（1）通过类比联想而发现新的数学知识,数学学习中，通过类比可以得到一些新的结论。例如，由“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”，类比联想到“正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值”。,2020/8/7,(2)类比是学习知识、系统地掌握知识和巩固知识的有效方法,类比的客观基础就是事物系统之间的各要素的普遍联系以及这些联系之间存在

26、的相似性和可比较性，所以，利用原有认知结构，借助类比，可以有效地学习新知、掌握新知，对已有知识进一步作恰当类比，又可以将这些知识有机地系统起来,2020/8/7,一元二次方程与一元二次不等式,2020/8/7,（3）通过类比联想可以寻求到数学解题的方法与途径,例如，上述的类比联想：由“正三角形中任一点到三边的距离之和为定值”，而得“正四面体中任一点到四个面的距离之和为定值”。如何证明类比到的结论是正确的呢?仍可以通过类比而得到证明方法。 在对“正三角形中任一点到三边的距离之和为定值”的证明中，用的是面积割补法。自然地，可以类比到证明“正四面体中任一点到四个面的距离之和为定值”也要用体积割补法。

27、,2020/8/7,一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0求根公式 解：可先求出x3+px+q=0的根，令x=u+v,2020/8/7,2归纳,所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律。波利亚指出，归纳过程的典型步骤为：首先，我们注意到了某些相似性；然后是一个推广的步骤，即把所说的相似性推广为一个明确表述的一般命题；最后，我们又应对所得出的一般命题进行检验，即应进一步考察其他的特例，如果在所有考察过的例子里，这一猜测都是正确的，我们对它的信心就增强了，而如果出现了不正确的情况，我们就应对原来的猜测进行改进。,2020/8/7,完全归纳与不完全归纳,归纳是对同类事物中的各种特殊事物所

28、蕴含的同一性或相似性而得出此类事物的一般性结论的思维过程。归纳有完全归纳与不完全归纳。完全归纳而得到的猜想，一般地说是可靠的；而不完全归纳所得到的猜想，一般地说不一定可靠。归纳猜想与类比联想一样，可以导致数学的发现。,2020/8/7,例15（小学）在下面的横线上填数，使这列数具有某种规律，并说明有怎样的规律。3，5，7，, , . (标准第65页),学生可能会猜测归纳出下面一些答案： （1）在横线上依次填入9，11，13，形成奇数列。 （2）在横线上依次填入11，17，27，使这列数从第三个数开始，每个数都是前两个的和减1。 (3)在横线上依次填入27，181，4897，使这列数从第三个数开始，每个数都是前两个的积减8。,2020/8/7,2020/8/7,例17将正整数排列如表1,试探索：正整数81所在的行和列分别为 。 （本题着重考查阅读、观察、分析、归纳等能力，是名符其实的一道能力考查题。）,2020/8/7,解 从各行观察1、4、5、10、；4、8、10、12、难以发现各数据之间的联系。从各列观察1、4、9、16、；4、8