湖南省长郡中学2015届高三第五次月考数学（理）试题（PDF版）

1、书书书 炎德?英才大联考理科数学? 长郡版? ? 题 ? 答 ? 要 ? 不 ? 内 ? 线 ? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 密 ? 号 ? 学 ? 名 ? 姓 ? 级 ? 班 ? 校 ? 学 炎德?英才大联考长郡中学? ? ? ?届高三月考试卷?五? 数?学? 理科? 长郡中学高三数学命题组组稿 得分? ? ?本试题卷包括选择题? 填空题和解答题三部分? 共?页?时量? ? ?分

2、钟? 满分? ? ?分? 一? 选择题? 本大题共? ?小题? 每小题?分? 共? ?分?在每小题给出的四个选 项中? 只有一项是符合题目要求的? ? ?复数 ? ? ? ? ? 所对应的点位于复平面内 ?第一象限? ?第二象限 ?第三象限?第四象限 ? ?已知离散型随机变量?的分布列为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则?的数学期望? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知? 是定义在?上的奇函数? 当?时? ? ? 则函数 ? ?的零点的集合为 ? ? ? ? ?槡? ? ?槡? ? ? ? ? ?在? ? ? ? ? ?的展开式中? 记? ? ?项的系数为? ?

3、? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知命题? 则非?是 ?不属于? ?不属于?或?不属于? ?不属于?且?不属于? ? ?若执行如图所示的程序框图? 输出?的值为? 则判断框中 应填入的条件是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 炎德?英才大联考理科数学? 长郡版? ? ? ?已知三棱锥的底面是边长为?的正三角形? 其正视图与俯视图如图所示? 则其侧视图的面积为 ? 槡? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ?已知函数? ? ? ? ? ? ? ? ?的图象分别与直线? 交于? ? 两点? 则? ?的最小值为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、? ? ? ? ? ? ? ? ?设函数?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且其图象关于直线 ? ?对称? 则 ? 的最小正周期为? 且在? ? ? ? 上为增函数 ? ? 的最小正周期为? ? 且在 ? ? ? ? 上为增函数 ? 的最小正周期为? 且在? ? ? ? 上为减函数 ? 的最小正周期为? ? 且在 ? ? ? ? 上为减函数 ? ? ?对于三次函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 给出定义? 设 ? ? ? ? 是函 数? ? 的导数? ? ? ? ? 是 ? ? ? ? 的导数? 若方程 ? ? ? ?有实数解 ? 则称点? ? 为函数? 的? 拐点?某

5、同学经过探究发现? 任何一个三次函数都有? 拐点? ? 任何一个三次函数都有对称中心? 且? 拐 点? 就是对称中心?设函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 选择题答题卡 题?号 ? ? 得分 答?案 炎德?英才大联考理科数学? 长郡版? ? 二? 填空题? 本大题共?小题? 考生作答?小题? 每小题?分? 共? ?分?把答案 填在答题卡中对应题号后的横线上? ? 一? 选做题? 请考生在第? ? ? ? ?三题中任选两题作答? 如果全

6、做? 则按前 两题记分? ? ? ?如图? ?是半圆?的直径? 点?在半圆上? ? ? 垂足为? 且? ? ? ? 设? ? ? 则? ? ?的值为? ? ? ?已知在平面直角坐标系? ? ?中? 圆?的参数方程为 ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为参数? ? 以? ?为 极 轴 建 立 极 坐 标 系? 直 线?的 极 坐 标 方 程 为 ? ? ? ? ? ? 则圆?截直线?所得的弦长为? ? ? ?不等式? ? ? ? ? ? ? ? ? ?对一切非零实数?均成立? 则实数? 的取值范围为? ? 二? 必做题? ? ? ? ? ?题? ? ?

7、 ?已知点?是不等式组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所表示的平面区域内的一个动点? 点? ? ? ?为坐标原点? 则 ? ? ? ? ? ? ? ?的取值范围是? ? ? ?如图? 已知过椭圆? ? ? ? ? ? ? 的左顶点 ? 作直线?交?轴于点? 交椭圆于点? 若 ? ? ?是等腰三角形? 且 ? ? ? ? ? ? ? ? 则椭圆的离心率 为? ? ? ?等边? ? ?的边长为? 取各边的三等分点并连线? 可以将? ? ?分成 如图所示的?个全等的小正三角形? 记这?个小正三角形的重心分别为 ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

8、 ? ? ? ? ? ? 炎德?英才大联考理科数学? 长郡版? ? 三? 解答题? 本大题共?小题? 共? ?分?解答应写出文字说明? 证明过程或演 算步骤? ? ? ? 本小题满分? ?分? 某车间甲组有? ?名工人? 其中有?名女工人? 乙组有?名工人? 其中有? 名女工人? 现采用分层抽样方法? 层内采用不放回简单随机抽样? 从甲? 乙两组中共抽取?名工人进行技术考核? ? ? 求从甲? 乙两组各抽取的人数? ? ? 记?表示抽取的?名工人中男工人数? 求?的分布列及数学期望? ? ? ? 本小题满分? ?分? 在? ? ?中? 角? ?的对边分别是? 若槡? ? ? ? ? ? ? 求

9、角?的大小? ? ? 若? ? ? ?的面积为 槡? ? ? ? 求 ? ? ? ? ? ? ? ?的值? 炎德?英才大联考理科数学? 长郡版? ? ? ? ? 本小题满分? ?分? 如图? 在四棱锥? ? ? ?中? 底面? ? ? ?为矩形? ? ?平面? ? ? ? ? ? ? ?槡? ?是? ?中 点? ?为? ?上一点? ? ? 求证? ?平面? ? ? ? ? 当? ?为何值时? 二面角? ?为? ? ? ? 炎德?英才大联考理科数学? 长郡版? ? ? ? ? 本小题满分? ?分? 已知数列? ? 的前?项和为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 求证? 数列 ? ? ?

10、? 是等比数列? ? ? 设数列? ? ? 的前?项和为? ? ? ? ? ? ? ? ? 试比较 ?与 ? ? ?的大小? 炎德?英才大联考理科数学? 长郡版? ? ? ? ? 本小题满分? ?分? 如图? ?为坐标原点? 点?为抛物线? ? ? ? ? 的焦点? 且抛物线?上点?处的 切线与圆? ? ? ? ? ?相切于点? ? ? 当直线? ?的方程为?槡? ?时? 求 抛物线? ?的方程? ? ? 当正数?变化时? 记?分别为? ? ? ? ?的面积? 求 ? ?的最 小值? 炎德?英才大联考理科数学? 长郡版? ? ? ? ? 本小题满分? ?分? 已知函数? ? ? ? ? ? ?

11、 ? ? ? 当? ?时? 讨论函数? 在 ? ? ? ? 上的单调性? ? ? 如果?是函数? 的两个零点? 且? ? ? ? ? 是函数 ? 的导函数? 用?表示?并证明? ? ? ? ? ? ? ? ? 书书书 炎德?英才大联考理科数学参考答案? 长郡版? ? 炎德?英才大联考长郡中学? ? ? ?届高三月考试卷? 五? 数学? 理科? 参考答案 一? 选择题 题?号 ? ? 答?案 ? 二? 填空题 ? ? ? 槡 ? ? 解析? 令圆? 的半径为? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由相交弦定理可得? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ?

12、? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ? ?槡 ? ? 故答案为 槡 ? ? ? ? ?槡? ? 解析? 由 ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 两式平方相加得? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? 由? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即槡 ? ? 如图圆心? 槡 ? 到直线槡 ? ?的距离为 ? 槡槡? ? ? ? ? 槡 ? ? ? ?槡 ? ? ? 所以直线?被圆?所截得的弦长为? ? ? ? ? ? ? 槡 ? 槡

13、? ? ? 故答案为 槡? ? ? ? ? 解析? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其最小值为? 又? ? ? ?的最大值为? 故不等式? ? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立时? 有? ? ? ? ? 解得? ? 故答 案为? ? ? ? ? ? 解析? 作出不等式组对应的平面区域如图? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由? 得?表示斜率为?纵截距为?的一组平行直线? 平移直线? 当直线?经过点?时? 直线?的截距最 小? 此时?最小? 当直线?经过点?时? 直线?的截距最大? 此时?最大? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ? ? ? ? 即? ? ?

14、 此时? ? ? ? ? ? ? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ? ? ? ? 即? ? 此时? ? ? ? ? ? ? ? ? 故? ? ? ? 故答案为? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 解析? ? ?是等腰三角形? ? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 炎德?英才大联考理科数学参考答案? 长郡版? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 代入椭圆方程得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 化为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? 槡? ?

15、 ? ?故答案为 槡? ? ? ? ? ? ?槡? ? 解析? ? ?为等边三角形? 边长为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? 且 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? 故答案为 槡? ? 三? 解答题 ? ? ?解? ? 因为甲组有? ?名工人? 乙组有?名工人? 从甲? 乙两组中共抽取?名工人进行技术考核? 根

16、据分层抽 样的原理可直接得到? 在甲中抽取?名? 乙中抽取?名? ?分? ? ? ? ?的可能取值为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的分布列为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故? ? ? ? ? ?

17、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ?解? ?槡? ? ? ? ? ? 由正弦定理得? 槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ?槡? ? 又? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ?的面积为 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? ? 由余弦定理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? 槡? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? 槡? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ?

18、? ? ? ? ? ?槡? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ?解? ? 证明? 以?为原点? ?为?轴? ?为?轴? ?为?轴? 建立空间直角坐标系? ? ? ? ? ?槡? ?是? ?中点? ? ? ?槡 ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?平面? ? ? ? ?分? ? ? 设? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? 设平面? ? ?的法

19、向量? ? ? 则 ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? 取? ? 得? ?槡 ?槡 ? ? 炎德?英才大联考理科数学参考答案? 长郡版? ? 平面? ? ?的法向量为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?二面角? ?为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡 ? ? ? 槡 ? ? ? ? 槡? ? ?槡? ? ?槡 ? ? 解得? ? 槡? ? ? ? ?当? ? 槡? ? ? 时? 二面角? ?为? ? ? ? ? ?分? ? ? ?解? ? 由? ? ? ?得? ? 由? ? ? ? ? ? ? ?得? ? ? ? ? ? ? ? ?

20、 ? 于是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 整理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以数列 ? ? ? ? 是首项及公比均为? ?的等比数列? ? ?分? ? ? ? 由? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 于是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 问题转化为比较? ? ? ? ? 与 ? ?

21、? 的大小? 即? ? ? ?与 ? ? ? 的大小? 设? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当? ?时? ? ? ? ?当? ?时? 单调递增? ?当? ?时? ? 而? ?当? ?时? ? 经检验? ? ?时? 仍有? ? 因此? 对任意正整数? 都有? ? ? 即? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ?解? ? 设点? ? ? ? ? ? ? ? ? 由? ? ? ? ? ? 得? ? ? 求导 ? ? ? ? ? 因为直线? ?的斜率为? 所以? ? ? ?且? ? ? ? ? 槡? ? ? 解得?槡? ? ? 所以抛物线?

22、的方程为? ? 槡? ? ? ? ?分? ? ? ? 因为点?处的切线方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? 根据切线与圆切? 得? 即 ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? 化简得? ? ? ? ? ? ? ? 由方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 点? ? ? ? 到切线? ?的距离是? ? ? ? ? ? ? ? ?

23、?槡 ? ? ? ? ? ?槡 ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 炎德?英才大联考理科数学参考答案? 长郡版? ? 而由? ? ? ? ? ? ? ?知? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? ? 当且仅当? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 时取? 号?