第二章 插值法.ppt

1、计算方法、2次插值方法、主要知识点、拉格朗日插值(包括线性插值、抛物线插值、N阶拉格朗日插值公式)；牛顿插值与余数和差商的定义和性质：埃尔米特插值公式和余项：等距节点多项式插值、分段低阶多项式插值和三次样条插值。插值问题描述，让某个离散点上某个函数关系的函数值已知：插值问题：根据这些已知数据构造一个函数的简单近似表达式，从而计算出一个点的函数值或一个函数的一阶和二阶导数。多项式插值定义在许多函数中，多项式是最简单和最容易计算的，并且函数不同点的函数值是已知的。为了得到近似表达式，自然选择多项式的次数，使得多项式对于满足以下条件的N阶插值是唯一的：插值的几何意义，插值多项式的几何意义，插值唯一性

2、定理，定理：(唯一性)。摘要：存在唯一性定理证明了要构造的插值多项式是：并且通过插值条件得到了以下线性代数方程：存在唯一性定理证明(续)，并且该方程的系数行列式是，范德蒙行列式！因此，Pn(x)由a0、a1、an和an唯一确定。插值方法：1 .解方程：类似于证明插值唯一性定理的过程，让插值多项式函数为，将(n 1)个节点的函数值代入多项式得到(n 1)个方程，得到多项式中系数的线性方程组。通过求解这个线性方程组，可以得到所需的插值多项式。其次，下面将详细介绍基函数法：一种可以避免求解方程并适合于计算机求解的方法。拉格朗日插值公式的基本思想是将pn(x)的构造转化为(n 1)个插值基函数Li (

3、x) (I=0，1，n)的构造。线性插值函数、x0、x1、(x0，y0)、(x1，y1)、P1(x)、f(x)可以看作是通过两点的直线。抛物线插值函数、x0、x1、x2、p2(x) f(x)、f(x)、被称为抛物线插值，因为通过三个点的二次曲线是抛物线。n次插值函数，让连续函数取给定的n 1个不同节点的函数值：在a和b上，并尝试构造一个不超过n次的插值多项式来满足条件，i=0，1，2，n，一次拉格朗日插值多项式(1)，并且已知该点的函数值为，这需要多项式。它的几何意义是通过两点的直线，如图所示。一阶拉格朗日插值多项式(2)，一阶插值多项式，一阶拉格朗日插值多项式(3)。从直线两点公式，它可以转

4、化为线性插值基函数，显然有：一阶拉格朗日插值多项式(4)。请记住，可以看到系数分别是、和节点。请注意，它们的特性对于以下概括非常重要。一阶拉格朗日插值多项式(6)，称为点的一阶插值基函数，是点的一阶插值基函数。它们在相应的插值点取值1，在其他插值点取值0。插值函数是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数是对应点的函数值。这种插值形式称为拉格朗日插值。二次拉格朗日插值多项式1，线性插值只使用两对数值和得到的近似值，而且误差很大。P2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。通过三个点的插值称为二次插值或抛物线插值。二次拉格朗日插值多项式2，通过节点的二次函数作为插值函数。其中，让插值节点处的插值

5、函数的函数值为第n个插值函数1。我们可以看到，第一个插值多项式可以通过两个插值点得到，t当插值点数增加到N 1时，我们可以用拉格朗日插值方法写出N次插值多项式，如下：(2)给定N 1个节点上的函数值，求出满足N 3次插值多项式的N次插值函数，并在每个插值节点上构造满足以下条件的基函数：N 4次插值多项式，求出N次多项式，k=0，1，N，然后I=0，1，2，N，即满足插值条件。根据的表达式，除了之外的所有节点都是第n次插值多项式5的根，并且从第n次插值多项式6开始，研究截断误差。罗尔定理：如果它是连续的和足够光滑的，插值n次多项式8，注：x(a，b)是估计的，而不是X，这将是误差估计的上限。当f

6、(x)为任意n次多项式时，可以知道插值多项式精确到n次多项式。例分析1，例：已知特定角度的正弦函数值，即求正弦函数的一次和二次插值多项式，用插值函数近似计算，并估计误差。解决方案：主要插值函数是，示例分析2，误差是，所需点的函数值是，误差是已知的，示例分析3，示例分析4，误差是，右图中的红色曲线。牛顿插值，找到n次多项式使得计算拉格朗日插值变得容易，但是如果你想增加一个节点，所有的基函数li(x)需要重新计算。巨人，“自然和自然法则藏在夜里上帝说，让牛顿去吧！一切都很轻。”亚历山大波普，牛顿插值的继承，牛顿插值，具有继承性的插值公式，线性插值公式可以写成如下：其中，抛物线插值公式可以通过修正其

7、修正项的系数进一步得到。以上讨论表明，为了建立具有继承性的插值公式，有必要引入差商的概念并研究其性质。差商的概念，1差商的定义，定义1:具有函数f (x)和自变量的x0，x1，xn(即当i j，x i xj)的值f (xi)在xi点和x i点被称为f(x)的一阶差商，并被记录为f xi，Xi。差商形式的插值公式，然后考虑拉格朗日插值问题：该问题作为一次多项式来求解，这样通过使用差商，该解可以表示为以下形式：这种差商形式的插值公式称为牛顿插值公式。牛顿插值，很容易证明牛顿插值多项式满足插值条件。根据插值多项式的唯一性，牛顿插值多项式的误差估计，牛顿插值(续)，牛顿插值公式的优点是：当增加一个节点

8、时，只需增加一项，即递推公式：实例分析，埃尔米特插值公式，牛顿插值和拉格朗日插值构造简单，但插值多项式的导数不同于插值函数在节点处的导数。为了确保插值多项式能够更好地逼近，增加了一些约束，例如，要求它与一些节点相切，即具有相同的导数值。首先，对于埃尔米特插值问题，找到一个代数多项式的次数不大于n r 1，满足：(-1)，48，并调用上述插值问题埃尔米特插值问题。注：公式(1)因此，有可能确定不大于n1的代数多项式。2.埃尔米特插值公式的推导，让，-(2)，其中所有的待定多项式的次数n r 1，他们满足以下条件：49，-(3)，-(4)，显然，并满足插值条件(1)。1。为了求解，从条件(3)可知

9、它是一个双零。50，并且从条件(3)也知道它是零。其中a和b是待定系数，即(5)，51，由上述两个公式求解：52，-(8)，55，其中，2。求解、合成(1)、(2)得到公式(6)、(8)，它们被称为双零点。条件(4)为56，条件(4)为0。由公式(2)、(6)、(8)和(10)表示的多项式称为埃尔米特插值多项式，其中由公式(6)、(8)和(10)表示的多项式称为埃尔米特插值基函数。证明了：58，从上面推导出了存在性，下面证明了唯一性。相反，让插值问题公式(1)有两个不同的解-(12)，63，例1。解：64，作为多项式插值，三次次数是较高的次数，如果次数较高，可能会出现龙格现象。因此，对于具有n

10、 1个节点的插值问题，我们可以采用分段两点三次埃尔米特插值，65阶龙格现象的高阶插值，而对于代数插值，插值多项式次数非常高。例如，考虑该函数，假设区间被分成相等的部分，并且相等的部分被作为节点的插值多项式。如下图所示，当它增加时，两端会发生强烈的振荡，这就是所谓的龙格现象。66，分段插值的概念，所谓分段插值，就是多项式分段插值函数。一般来说，分段插值法的处理过程分为两个步骤：首先对所研究的区间进行划分，在每一个子区间上构造插值多项式，然后在整个区间上将其组合成插值函数，称为分段多项式。如果一个函数是划分的每个子部分中的子形式，它就叫做带划分的子形式。1.分段线性插值；2.分段抛物线插值；3.分

11、段低阶多项式插值；原因：高阶插值会出现龙格现象，逼近效果不是很好！67，分段线性插值，满足条件的分段线性公式在每个分段上有以下表达式：68，分段三次埃尔米特插值，问题作为分段三次公式进行求解，这使得解成立，因为每个分段上的三次公式满足埃尔米特插值条件：所以有：69，样条函数的概念，所谓的样条函数，从数学上讲，它是一个分段多项式，根据一定的光滑性要求“组装”。具体来说，如果分段二次型在每个内部节点都有连续的导数，那么它被称为次样条函数。点被称为样条函数的节点。特别地，第零样条是众所周知的阶跃函数，而第一样条是折线函数。70、样条函数插值，插值曲线应该简单，而且在曲线的接合处应该平滑。这种分段插值函数在分段时需要较低的多项式次数，但它不仅在节点处是连续的，而且具有连续的低阶导数。我们把满足这些条