量子力学期末复习课件.ppt

1、三个实验现象经典物理的理论无法解释 黑体辐射 光电效应 氢原子光谱,从而诞生了量子力学,引入新的理论,黑体辐射、光电效应和康普顿散射 揭示了光的波粒二象性,绪 论,1,Bohr原子轨道量子化,1、玻尔的量子论,1913年，Bohr把PlanckEinstein的概念运用来解决原子 结构和光谱的问题，提出了原子的量子论，其中极为重要的两个 概念（假定）：定态假设与量子跃迁,（1）定态假定,假设电子围绕原子核做圆周运动时， 只能处在一些分立的稳定状态，简称 定态。假设在定态时，电子的轨道角 动量也是量子化的，只能取约化普朗 克常数的整数倍，这些轨道才是稳定的。,定态概念是为了解决电子绕原子核转动时

2、稳定存在而不辐射的 问题而提出的,2,（2）量子跃迁,电子从一个定态到另一个定态是跳跃式的，称为跃迁。当原子 从高能级定态 向低能级定态跃迁时，发出一个光子。反之， 则吸收一个光子。发射或吸收的光子频率是唯一确定的， 由频率条件给出：,3,微粒的粒子性与波动性的关系：,4,第二章： 波函数和 Schrodinger 方程,5,2.1 波函数的统计解释 2.2 态叠加原理 2.3 波函数随时间的变化Schrodinger 方程 2.4 粒子流密度和粒子数（量子力学）守 恒定律 2.5 定态Schrodinger方程 2.6一维无限深方势阱,6,2.1 波函数的统计解释,7,2.1 波函数的统计解

3、释,波函数是描述微观粒子的状态,由于微观粒子具有波粒二象性，坐标和动量不能同时确定， 当粒子处于某一状态时，坐标和动量一般具有许多可能值， 这些可能值各自以一定的概率出现，这些概率可以由一个 函数得出波函数 只要系统的波函数已知，系统的其它性质也可以知道：,由波函数可以得到体系的各种性质，因此我们说波函数描述体系的量子状态（简称状态或者态）,8,概率波：,波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在改点找 到粒子的概率成正比例。 按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波,假设波函数,描写粒子的状态，在空间一点（x, y, z）和时间t，波的强度是,概率密度,强度与在该时刻改点找到粒子的概率成

4、正比,9,波函数归一化条件,根据波函数的统计诠释，在任何时刻，对于一个粒子而言， 一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事 件。粒子在整个空间出现的概率为“一”,假如波函数的概率有限，但不等于“一”，则可以将波函 数乘以一个常数，使概率等于“一”。这个常数就是归一 化因子,10,11,12,13,小 结,：描写微观粒子的量子状态,：表示几率密度，描述微观粒子在该点出现的概率,概率密度对整个空间求积分为“1”,14,2 态叠加原理,15,如果 是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加 也是 这个体系的一个可能状态，这就是量子力学中的态叠加原理,态叠加原理,16,已知：= C11 + C2

5、2 那么空间找到电子的几率则是： |2 = |C11+ C22|2 = (C1*1*+ C2*2*) (C11+ C22) = |C1 1|2+ |C22|2 + C1*C21*2 + C1C2*12*,电子穿过上狭缝出现在点的几率密度,电子穿过下狭缝出现在点的几率密度,相干项 正是由于相干项的出现， 才产生了衍射花纹。,量子力学遵从态叠加原理，概率密度是否遵从叠加原理？,这表明粒子穿过双狭缝后在P点出现的概率密度一般不等于 穿过上狭缝到达P点的概率密度与穿过下狭缝到达P点的概 率密度之和，而需要加上干涉项！,17,以上是表示为两个态1和2 的线性叠加，推广到一般的情况，态可以表示为许多态1

6、、2 、3 、n的线性叠加 = C11 + C22 、+ Cnn 这就是量子力学的态叠加原理。 强调：态叠加原理指的是波函数，不是指概率叠加,2.2 态叠加原理,18,2.3 波函数随时间的变化Schrodinger 方程,19,量子力学能量算符,量子力学动量算符,量子力学的两个算符,20,2.4粒子流密度和粒子数（量子力学）守恒定律,21,波函数是用来描述粒子在某一时间某一位置粒子出现的概率（概率密度）是：,几率守恒定律,几率流密度,22,质量守恒定律,质量密度，为质量与概率乘积,质量流密度，为质量与概率流密度乘积,质量守恒定律,23,电荷守恒定律,电荷密度，为电荷与概率乘积,电流密度，为电

7、荷与概率流密度乘积,电荷守恒定律,24,波函数标准条件,式右含有及其对坐标一阶导数的积分，由于积分区域是任意选取的， 所以S是任意闭合面。要使积分有意义，必须在变数的全部范围，即空 间任何一点都应是有限、连续且其一阶导数亦连续,总之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个 条件，该条件称为波函数的标准条件。,25,2.5 定态薛定谔方程,26,一般的薛定谔方程,针对一般的薛定谔方程 可以是时间的函数，在这种情况下，通过初态波函数 去求解末态波函数 很难,目前我们只讨论 不随时间变化的情况。薛定谔方程可以 利用分离变量法求特解，薛定谔方程性质，时间部分和空间部分 是分离的，薛定谔方程

8、的解可以表示为空间部分乘以时间部分,空间部分,时间部分,27,方程时间部分所描述的状态是具有确定能量的状态，因而， 我们称为定态， 我们称为定态波函数,波函数,称为定态薛定谔方程,28,求解定态问题的步骤,（1）列出定态 Schrodinger方程,（2）根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题，得：,（3）写出定态波函数即得到对应第n个本征值 En 的定态波函数,（4）通过归一化确定归一化系数Cn,29,例 题,一个质量为m的粒子在一维势场,中运动，其中 ，写出两种条件下的定态薛定谔方程？,30,2.6一维无限深方势阱,31,一、列出各势域上的薛定谔方程； 二、求解薛定谔方程；,三、利用

9、波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未 知数和能量本征值；,四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）,32,什么是一维无限深势阱问题？,在一维空间运动的粒子，它的势能在一定区域内（-axa）为零， 而在此区域外势能为无限大,U(x) =0 |x|a,U(x) = |x|a,由于体系的势能U(x)不随时间变化，因此一维无限深势阱在阱内 满足定态薛定谔方程,33,定态薛定谔方程,34,第一步：列出各势区域上的薛定谔方程,35,定态薛定谔方程:,36,针对区域II,由于势阱内部势能为零，此时薛定谔方程可以简写为：,37,二阶常系数齐次线性微分方程,或者,或者,三个方程是等价的,38,第二

10、步：利用波函数的标准条件（单值、有限、连续） 定未知数,39,根据波函数的连续性 代入到下面的方程,得到,由于A和B不能同时为零，因而，得到两组解,（1）,（2）,A=0,B=0,40,一维无限深粒子的能量的能级公式：,能级分布是不均匀的，能级越高， 能级之间的间距就越大,41,两组波函数,（1）,（2）,42,第三步：波函数归一化,43,再由波函数的归一化条件,于是波函数,44,于是波函数,根据定态波函数公式,本征函数,45,小结 由无限深方势阱问题的求解可以看 出，解薛定谔方程的一般步骤如下：,一、列出各势域上的薛定谔方程； 二、求解薛定谔方程；,三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续

11、）定未 知数和能量本征值；,四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。,46,2.7一维有限深势阱,47,仅讨论束缚态（0EV0）情况,按阱内与阱外三个区求解,粒子所满足的定态薛定谔方程为：,一维空间中运动的粒子，它的势能在一定区域为零（ ）,而在此区域外，势能为,48,粒子所满足的定态薛定谔方程为：,第一步：写出定态薛定谔方程,49,第二步：分区写出定态薛定谔方程,50,势阱外区：也就是第一，第三区域，定态薛定谔方程为：,得一般解为：,第三区域,51,其解为,势阱内区：第二区域，薛定谔方程为：,52,第一区域,第三区域,第二区域,53,2.8势垒贯穿,54,粒子所满足的定态薛定谔方

12、程为：,第一步：写出定态薛定谔方程,55,第二步：分区写出定态薛定谔方程,56,势阱外区： 也就是第一，第三区域，定态薛定谔方程为：,得一般解为：,第一区域,第三区域,57,势阱内区： 也就是第二区域，定态薛定谔方程为：,58,第三步：利用波函数的标准条件（单值、有限、连续） 定未知数,59,1. 波函数连续,综合 整理 记之,2. 波函数导数连续,60,习题1波函数归一化,由归一化条件：,61,习题2概率,62,习题2概率流密度,63,习题3一维势阱,一维有限深势阱,一维无限深势阱,64,粒子所满足的定态薛定谔方程为：,习题3一维有限深势阱,65,势阱外区：也就是第一，第三区域，定态薛定谔方

13、程为：,得一般解为,第三区域,按阱内与阱外三个区求解,66,其解为,势阱内区：第二区域，薛定谔方程为：,67,边界条件：,68,69,第三章量子力学中的力学量,70,（1）单位算符 （2）逆算符 （3）复共轭算符 （4）转置算符 （5）厄米算符 （6）角动量算符,算符的复共轭算符（ * ）,71,对易式所满足的等式,72,对易式所满足的等式,73,算符对易关系,若 ，则称 与 不对易 若 = ， 则称 与 对易 若 = -， 则称 与 反对易,为了表述简洁，人们定义了对易括号： , ,若, 0，则称 与 不对易 若, = 0， 则称 与 对易,74,注意： 当 与 对易， 与 对易，不能推知

14、与 对易与否。例如：,75,76,77,78,79,80,81,82,本征值,本征值,算符的本征函数与本征值,83,本征函数之间的关系,课本3.2.4,这代表着动量算符不同本征值的两个本征函数在整个空间区域 可以归一为 函数，如果本征值相同，则为1，不同则为0,对于本征函数积分为零的式子,我们称之为这两个本征函数正交性,这是厄米算符本征函数所特有的性质,84,什么是厄米算符？,如何证明厄米算符具有不同本征值的本征函数具有正交性？,85,算符和它表示的力学量之间的关系,量子力学的一个基本假定：算符是作用在本征态上的，并可以得到一个 具体数值本征值 如果体系不处于算符的本征态，而处于任意一个态 这

15、时算符和它表示的 力学量之间的关系如何？,假设 是算符 的本征函数，对应的本征值为 ，则任意 波函数 可以按照本征函数 展开为级数,本征函数 的这种性质称为完全性，其中系数 可以由 本征函数 和任意波函数 求得,86,如何求 ？由于本征函数具有正交归一性，于是对于：,两边同时乘以 ，并对x的整个区域积分,所以：,87,被称为概率振幅， 代表概率，它表示在任意 态中，测量 力学量F得到的结果是算符 的本征值 的概率,假设 已经归一化了，则,88,量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组 成完全系； 即：对于任意波函数都可以表示为体系本征函数的级数展开,当体系处于本征态时，算符与本

16、征函数相互作用，可以得到一个 确定的力学量值 当体系处于任意波函数所描述的状态时，算符作用在任意波函数 上没有确定值，而只有一系列可能值，这些可能值是表示这个力 学量算符的本征值之一 ，并且可能值也都是以确定的概率 出现,总结,89,例,氢原子基态波函数 按动量算符的本征函数 展开,概率振幅,概率密度,二、力学量的平均值,90,1.一般平均值公式,二、力学量的平均值,力学量平均值就是指多次测量的平均结果。如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：,2. 平均值公式,91,（一）两力学量同时有确定值的条件,体系处于任意状态 （x）时，力学量

17、F一般没有确定值,如果力学量F有确定值，（x）必为F的本征态，即,如果有另一个力学量G在态中也有确定值，则必也是G的一个本征态，即,结论：当在 态中测量力学量 F 和 G 时，如果同时具有确定 值，那么 必是二力学量共同本征函数。,92,（二）两算符对易算的物理意义,证：,若两个力学量算符 有一组共同的本征函数系 ，而且 组成完全系，则二算符 对易。,则,93,（三）逆定理,如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同 的本征函数,94,不确定关系（测不准关系）,（1）两力学量算符对易则同时有确定值； （2）若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。,、测不准关系的严格推导,95,下面我们要讨论的是两个算符不对易的情况，也就是说它们不能 同时有确定值,这就是坐标和动量的测不准关系：坐