二重积分的概念及计算PPT课件.ppt

1、1,第10章 重积分,10.1 二重积分,一、引例,二、二重积分的定义及可积性,三、二重积分的性质,四、曲顶柱体体积的计算,五、利用直角坐标计算二重积分,六、利用极坐标计算二重积分,七、二重积分换元法,Page 2,解法: 类似定积分解决问题的思想:,一、引例,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”,Page 3,1)“大化小”,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体分为 n 个,2)“常代变”,在每个,3)“近似和”,则,

2、中任取一点,小曲顶柱体,Page 4,4)“取极限”,令,Page 5,2. 平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度为,设D 的面积为 ,则,若,非常数 ,仍可用,其面密,“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”,解决.,1)“大化小”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域 .,Page 6,2)“常代变”,中任取一点,3)“近似和”,4)“取极限”,则第 k 小块的质量,Page 7,两个问题的共性：,(1) 解决问题的步骤相同,(2) 所求量的结构式相同,“大化小, 常代变, 近似和,取极限”,曲顶柱体体积:,

3、平面薄片的质量:,Page 8,二、二重积分的定义及可积性,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,Page 9,引例1中曲顶柱体体积:,引例2中平面薄板的质量:,如果 在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D ,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,Page 10,二重积分存在定理:,若函数,定理2.,(证明略),定理1.,在D上可积.,限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.,在有界闭区域 D上连续,则,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,例如,在D :,上二重

4、积分存在 ;,在D 上,二重积分不存在 .,Page 11,三、二重积分的性质,( k 为常数), 为D 的面积, 则,Page 12,特别, 由于,则,5. 若在D上,6. 设,D 的面积为 ,则有,Page 13,7.(二重积分的中值定理),证: 由性质6 可知,由连续函数介值定理, 至少有一点,在闭区域D上, 为D 的面积 ,则至少存在一点,使,使,连续,因此,Page 14,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上方, 故在 D 上,Page 15,例2. 判断积分,的正负号.,解: 分积分域为

5、,则,原式 =,猜想结果为负但不好估计 .,舍去此项,Page 16,例3. 判断,的正负.,解：,当,时，,故,又当,时，,于是,Page 17,例4. 估计下列积分之值,解: D 的面积为,由于,积分性质5,即: 1.96 I 2,Page 18,例5.,估计,的值, 其中 D 为,解: 被积函数,D 的面积,的最大值,的最小值,Page 19,8. 设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分, 则有,Page 20,四、曲顶柱体体积的计算,

6、设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,Page 21,同样, 曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,Page 22,例6. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,Page 23,内容小结,1. 二重积分的定义,2. 二重积分的性质,(与定积分性质相似),3. 曲顶柱体体积的计算,二次积分法,Page 24,被积函数相同, 且非负,思考与练习,解:,由它们的积分域范围可知,1. 比较下列积分值的大小关系:,Page 25,2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且

7、 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,Page 26,3. 计算,解:,Page 27,4. 证明:,其中D 为,解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有,又 D 的面积为 1 ,故结论成立 .,Page 28,五、利用直角坐标计算二重积分,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域,则,若D为Y 型区域,则,Page 29,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,Page 30,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.

8、,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域 ,则,Page 31,例7. 计算,其中D 是直线 y1, x2, 及,yx 所围的闭区域.,解法1. 将D看作X型区域, 则,解法2. 将D看作Y型区域, 则,Page 32,例8. 计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,Page 33,例9. 计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解: 由被积函数可知,因此取D 为X 型域 :,先对 x 积分不行,说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.,Page 34,例10. 交换下列积分顺序,解: 积分域由

9、两部分组成:,视为Y型区域 , 则,Page 35,例11. 计算,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,Page 36,解：,原式,例12.,给定,改变积分的次序.,Page 37,对应有,六、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,Page 38,即,Page 39,设,则,特别, 对,Page 40,若 f 1 则可求得D 的面积,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),Page 41,例13. 计

10、算,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,Page 42,注:,利用例13可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例7的结果, 得,故式成立 .,Page 43,例14. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,Page 44,例15. 计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,Page 45,定积分换元法,七、二重积分换元法,满足,一阶偏导数连续;,雅可比行列式,(3) 变换,则,定理:,变换:,是一一对应的 ,Page

11、46,证: 根据定理条件(2)(3)可知变换 T 可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形, 其顶点为,通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,Page 47,同理得,当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四,边形,故其面积近似为,Page 48,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如, 直角坐标转化为极坐标时,Page 49,例16. 计算,其中D 是 x 轴 y 轴和直线,所围成的闭域.,解: 令,则,Page 50,例17. 计算由,所围成的闭区域 D 的面积 S .,解: 令,则,Page 51,例18. 试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D 的原象为,的体积V.,Page 52,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,Page 53,则,(2) 一般换元公式,且,则,极坐标系情形: 若积分区域为,在变换,下,Page 54,(3) 计算步骤及注意事项, 画出积分域,