2、垂径定理.ppt

1、,24.1.2 垂直于弦的直径(1),问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,O,A,B,C,D,E,不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗? 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,活动一,可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,A,B,C,D,思考： 1、图中有哪些相等的量？,O,思考： 1、图中有哪些相等的量？,C,D,A,B,O,A,B,C,思考： 1、图中有哪些相等

2、的量？,D,O,O,A,B,C,D,思考： 1、图中有哪些相等的量？,O,A,B,C,D,思考： 1、图中有哪些相等的量？,O,A,B,C,D,思考： 1、图中有哪些相等的量？,C,D,A,B,思考： 1、图中有哪些相等的量？,O,3、将弦AB进行平移时，以上结论是否仍成立？,C,D,1.图中有哪些相等的量？,？,O,3.将弦AB进行平移时， 以上结论是否仍成立？,A,B,思 考,演 示,?,E,探索发现,已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。 求证：AEBE，ACBC， AD BD 。,叠合法,O,A,B,C,D,E,A,B,C,D,O,P,AP = BP，,求证：,在O中

3、，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为P。,已知：,连接OA,OB,则OA=OB.,OA=OB，OP，,AP=BP.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,证:,垂径定理三种语言,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,CDAB,如图 CD是直径,AM=BM,A,B,C,D,E,A,B,D,C,AC=BC,AD=BD,CDAB,CDAB,AE=BE,平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,（不是直径）,垂径定理的推论1:,CDAB吗？,(E),O,A,B,C,D,E,CDAB,AE=BE,AC=BC,CD过圆心,垂径定理的推

4、论2:,AD=BD,已知AB如图，你能平分这条弧？,E,第一步：连接AB,第二步：作AB的垂直平分线,F,.,CD过圆心吗?,弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧.,几何语言表达,垂径定理：,推论1：,由 中任意两个作为题设，都可以推出剩下的三个结论。,推论3 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧。,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,火眼金睛,不是,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦( ),平分弦的直线必垂直弦 ( ),垂直于弦的直径平分这条弦( ),平分弦的直径垂直于这条弦( ),弦的垂直平分线是圆的直径 ( ),平分弦所对的

5、一条弧的直径必垂直这条弦( ),在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ( ),辨别是非,借你慧眼,垂径定理的几个基本图形。,CD过圆心,CDAB于E,AE=BE,夯实基础,我思考，我快乐,例 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。 若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？,若下面的弓形高为h，则r、d、h之间有怎样的关系?,r=d+h,即右图中的OE叫弦心距.,Ramming foundation,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦

6、，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,夯实基础,学会作辅助线,如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,Ramming foundation,你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?,大显身手,37.4m,7.2m,A,B,O,C,E,解得：R279（m）,解决求赵州桥拱半径的问题,在RtOAD中，由勾股定理，得,

7、即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,解：,例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。,D,C,10,8,8,解:作OCAB于C, 由垂径定理得: AC=BC= AB= 16=8 由勾股定理得: 答:截面圆心O到水面的距离为6.,1 2,1 2,排水管中水最深是多少?,6,CD=ODOC,=106=4,变式一：,若已知排水管的半径OB=10，,截面圆心O到水面的距离OC=6，,求水面宽AB。,变式二：,若已知排水管的水AB=16。,截面圆心O到水面的距OC=6，,求排水管的

8、半OB。,D,C,10,8,8,6,例1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径 OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。,若弦心距为d，半径为R，弦长为a,则这三者之间有怎样的关系？,d,R,a 2,d2+( )2=R2,2,a,（2005，天津）如图，已知AB是O 的弦，P是AB上一点AB=10cm,PB=4cm, PO=5 cm则O的半径等于 cm,活动二：名题引路,C,7,解：连AO，过O点作OCAB于C AC=BC=1/2AB=5cm BP=4cm CP=1 cm 在RtOPC中，PO=5 cm， CP=1 cm OC2=52-12=24 在RtOAC中，AO2=

9、 AC2+ OC2 =25+24=49 AO=7 cm,5,1,5,2、如图，点P是半径为5 cm的O内一点， 且OP=3cm, 则过P点的弦中， （1）最长的弦= cm （2）最短的弦= cm,活动四：顺利闯二关,A,B,C,D,10,8,5,4,3,如图，O的直径AB=16cm，M是OB 的中点，弦CD经过点M，CMA=30， 则CD= cm,活动三：轻松过一关,E,2,4,8,4,1、（2007，定西）如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是 。,活动五：快乐冲三关,c,3cmOP 5cm,4,5,3,2、（2007，江西）如图，点A、B是O上两点，

10、AB=8,点P是O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OEAP于E,OFBP于F,EF= 。,活动五：快乐冲三关,4,1、（1）O的半径为5 cm，弦ABCD, AB=6 cm, CD=8 cm, 请画出图形 根据图形，求出AB与CD之间的距离 是 。 (2)你能直接写出此题的答案么： O的半径为5 cm，弦ABCD, AB=6 cm, CD=8 cm,则以A、B、C、D为顶点的四边形的面积等于 cm,活动四：顺利闯二关,49cm或7cm,7cm或1cm,夯实基础,我成功，我快乐,变式2：ACBD依然成立吗？,变式3：EA_, EC=_。,Ramming foundation,两条辅助线： 半径 弦心距,活动六：畅谈体会,一个Rt：半径 半弦 弦心距,1、在半径为6 cm的圆中，已知两条互相垂直的弦，其中一条被另一条分成3 cm和7 cm的两条线段，求圆心到两弦的距离。 2、如图，已知AB是的直径，CD是弦，若AB=10 cm，CD=8 cm，求A、B两点到直线CD的距离之和。,活动七：布置作业,某地