Mason公式.ppt

1、2008年3月,第 1 页,第六节 信号流图和梅逊(Mason)公式的应用,通过前面的讲解大家都知道，框图及等效变换是分析控制系统的一种很奏效、很直观的图示方法，但对于较为复杂的控制系统来说，框图的简化过程是很繁杂费时的，也特别易于出错。如采用信号流图，则可利用梅逊(Mason)公式，不需作变换而直接得出系统中任何两个变量之间的数学关系。由于它具有使用方便的特点而在控制工程中广泛地应用。 信号流图和框图类似，都可用来表示系统结构和信号传送过程中的数学关系。因而信号流图也是一种数学模型。,2008年3月,第 2 页,x1、 x2分别为输入、输出变量。二者间线性关系用这样一个图形来表示：,这就是信

2、号流图最简单的形式。,例：线性系统的方程表示为：,一、信号流图及其等效变换 （）基本概念 什么是信号流图？ 是线性方程组中变量间关系的一种图示方法。,2008年3月,第 3 页,其基本组成单元有两个：节点和支路。节点在信号流图中用“O”表示，代表系统中的变量；两变量之间的因果关系用一被称为支路的有向线段来表示，支路的方向用箭头标明，信号只能沿箭头指向单向传递。两变量之间的因果关系叫做增益（权），又名传输系数，标明在相应的支路旁。,上图中，有两个节点：节点x1代表输入量；节点x2代表输出量。 一条支路： x1到x2的有向线段。 增益： a12,输出量x2等于输入量x1与增益a12的乘积。,200

3、8年3月,第 4 页,例如：方程组,将之写成因果关系式,绘制因果关系图：,例如 线性方程组表示为下式：,x1输入变量 x5输出变量,如何绘制其信号流图呢？,2008年3月,第 5 页,原始方程式：,绘图步骤：,2008年3月,第 6 页,（二）常用术语； 信号流图中除有节点和支路外，还常用到下述术语。以刚举过的例子( f 图)来说明。,代表系统中的变量，等于所有流入该节点的信号之和，自节点流出的信号不影响该节点变量的值。,（1）输入节点 （源点）： 只有输出支路的节点，对应于自变量或外部输入，如x1节点。 （2）输出节点（阱点）：又称汇节点 只有输入支路的节点，对应于因变量。 x5节点。 （3

4、）混合节点：既有入支路，又有出支路的节点。,2008年3月,第 7 页,通路（通道）：又称为路径，是指从一个节点出发，沿着支路的箭号方向相继经过多个节点间的支路，一个信号流图可以有多条通道。 (1) 开通路：如果通路从某个节点出发，终止于另一个节点上，并且通路中每个节点只经过一次，则称这样的通路为开通路。,2008年3月,第 8 页,（2）闭通路：如果通路的终点就是通路的起始点，且通路中每个节点只经过一次，则该通路称为闭通路或回路、回环等。如果一个通路从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点，则称这样的通道为自回环。闭通路又称为回路（重要概念）。 （3）前向通路：如果从输入节点到输出节点的通

5、路上，通过任何节点不多于一次，则称该通路为前向通路。,2008年3月,第 9 页,回路：就是闭通路。 （1）不接触回路（互不接触回环） 如果一些回路没有任何公共节点，就称它们为 不接触回路。（最重要概念！）,2008年3月,第 10 页,(1)前向通道增益：指在前向通路中，各支路增益的乘积。 (2)回路增益：又称为回环增益（传输），指闭通道中各支路增益的乘积。,4、增益,又称为传输。,只有弄懂这些基本术语，才能深入理解梅逊（Mason）公式。,2008年3月,第 11 页,输入节点（源节点） x0； 输出节点（汇节点） x6 ； 混合节点 x1、x2、x3、x4和x5 ； 前向通路x0 x1

6、x2 x3 x4 x5 x6 ； 图中共有四个回路 x1 x2 x1 ； x2 x3 x2 ； x3 x4 x3 ； x4 x5 x4 ； 两个互不接触的回环有三种组合，即和 ， 和 ， 和 。本系统没有三个及三个以上互不接触的回环。,例：,x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,2008年3月,第 12 页,基于上述的讨论，对信号流图的性质作如下的概述： 1) 信号流图只适用于线性系统； 2) 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号只能沿着支路上的箭头指向传递； 3) 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号传送到所有的输出支路； 4) 具有输入和输出支路的混合节点，通

7、过增加一个具有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理； 5) 对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的，这是由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。,（三）信号流图的基本性质,2008年3月,第 13 页,（四）信号流图的简化 简化规则如下： （l）串联支路的总增益等于各支路增益的乘积； （2）并联支路的总增益等于各支路增益之和； （3）混合节点可以用移动支路的方法消去； （4）回环可以用方框图中反馈连接化为等效支路。,2008年3月,第 14 页,表：信号流图的等效变换规则:,2008年3月,第 15 页,a,b,1,c,xr,xc,xm,xc,信号流图的等效变换规则中回路的消除：

8、,2008年3月,第 16 页,例: 试将图(a)所示的系统方框图化为信号流图并进行简化，求出系统的闭环传递函数。,解：图(a)所示的框图可化为图(b)所示的信号流图，注意：框图中比较环节的正负号在信号流图中表现在支路传输的符号上。图(c)表示了信号流图的简化过程。 求出系统的闭环传递函数（总增益）为：,2008年3月,第 17 页,2008年3月,第 18 页,(b),2008年3月,第 19 页,R(s),C(s),C(s),1,1,1,-H2/ G1,R(s),C(s),C(s),1,1,-1,-1,2008年3月,第 20 页,二、梅逊(Mason)增益公式及其应用 信号流图上从输入节

9、点（源节点）输出节点到(汇节点)的总增益公式，即梅逊公式(Mason)，表达式为：,一定要记住的公式！,式中： TG(s)从输入节点到输出节点之间的总增益(即传递函数)； n为从输入节点到输出节点之间前向通路的总数； P k为第K条前向通路的增益； 信号流图特征式，是信号流图所表示的代数方程组的系数 行列式；,2008年3月,第 21 页,式中： L1信号流图中所有不同回环的增益之和； L2所有两个互不接触回环增益的乘积之和； L3所有三个互不接触回环增益的乘积之和； Lm所有m个互不接触回环增益的乘积之和。,2008年3月,第 22 页,k第K条前向通路的信号流图特征式的余子式，即从中除去与

10、第K条前向通路相接触的闭环回路后余下的部分(又称为因子)。,这个公式看起来是不是很难呢？实际上它很容易掌握的，我们来做几个例题吧,！,2008年3月,第 23 页,例 试用梅逊公式计算图示系统的总增益。,解：输入节点R(s)和输出节点C(s)之间只有一条前向通路。 n=1，通路增益为： P1=G1G2G3G4 三个回路： L1 =G2G3G6 L2 =G3G4G5 L3 =G1G2G3G7 L1 = - G2G3G6 - G3G4G5 - G1G2G3G7,2008年3月,第 24 页,三个回环之间都有公共节点，流图特征式为 ： =1- L1- L2-. =1+ G2G3G6+G3G4G5+G

11、1G2G3G7 三个回环均与前向通路P1接触，所以1=1 根据梅逊公式，系统总增益为：,2008年3月,第 25 页,2008年3月,第 26 页,2008年3月,第 27 页,例：求系统的总增益。,2008年3月,第 28 页,解：两条前向通路: P1 = G1G2G3G4 P2 = G1G6 闭环回路三条: L1 = -G3G5 L2 = -G1G2G3G4G7 L3 = -G1G6G7,互不接触回路为: L1和L3 =1- Li + Li Lj =1+G3G5+G1G2G3G4G7+ G1G6G7+ G1G3G5G6G7 1=1 2= 1+G3G5,2008年3月,第 29 页,解： 首

12、先确定信号流图中由输入节点到输出节点间的前向通路数,由图可知：,例: 试利用梅逊公式求下图所示信号流的总增益。,n= 2，且有： P1=acegi P2=kgi L1=abcdef ghij kfdb L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij L3=abefij,2008年3月,第 30 页,=1-L1+L2-L3 =1- （ abcdef ghij kfdb ）+ （ abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij ）- abefij 第一条前向通路与所有回路均有接触，所以1=1 第二条前向通路与回路cd不接触，所以2=1-cd

13、,2008年3月,第 31 页,教材P56例题2-5分析：求C(s)/R(s)与E(s)/R(s),2008年3月,第 32 页,C(s)/R(s),前向通道：,反馈回路：,2008年3月,第 33 页,2008年3月,第 34 页,R(s),1,G1,G2,G3,-H2,-H1,1,-1,G4, , E(s)/R(s),1,前向通道：,反馈回路：,2008年3月,第 35 页,前向通道：,2008年3月,第 36 页,本章小结,本章重点,通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型的基本知识，熟练掌握建立线性定常系统微分方程的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控制系统的传递函数、信号流图的基本概念