数学概念及其逻辑结构.ppt

1、中学数学的逻辑基础,数学概念 数学命题 数学推理 数学证明,“初等数学，即常数的数学，是指形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样。”（恩格斯） 中学数学的逻辑基础，主要指形式逻辑，部分地涉及辩证逻辑。 形式逻辑是关于思维形式及其规律的科学。概念、判断、推理是思维的三种基本形式。 辩证逻辑是关于思维的辩证发展规律的科学，是唯物辩证法在思维领域中的应用。,目标： 理解概念的内涵和外延、概念间的关系; 掌握概念定义的方法以及概念划分的方法。,课题1 数学概念及其逻辑结构,一、概念与数学概念的含义与发展途径 （一）含义 概念是反映事物本质属性的思维形式。 所谓“本质属性”,就是指可以用来从其他事物

2、中区分这个事物的特征性质。它构成某种事物的基本特征, 只为这类事物所具有,是一种事物区别于另一种事物的根本依据。 数学概念是反映思考对象在空间形式和数量关系及其模式方面的本质属性的思维形式。 （二）产生与发展途径 概念是通过概括以及与概括紧密相联系的抽象而形成的。 数学概念的产生和发展有各种不同的途径： 1）从现实模型中直接反映得来，如初等数学中的点、线、面、体、自然数等； 2）在原有数学概念的基础上，经过多级抽象和概括而形成，如近代数学中的群、环、域、空间等；,3）从数学内部的需要产生出来，例如为了把正整数幂的运算法则扩充到有理数幂、无理数幂、实数幂，产生了零指数、负整数指数、分数指数、无理

3、数指数等概念；为了使所有的代数方程都有解，产生了虚数、复数的概念； 4）根据理论上有存在的可能而提出来，例如自然数集、无穷远点、无穷小、圆周率等； 5）从一定的数学对象结构中产生出来的，例如多边形的顶点、对角线、内角、外角等。 注意： 1.数学概念区别于其他领域概念的一个重要特征是：理想化、多级抽象； 2. 在人的意识中形成概念，同表达它的语言、书写和符号分不开，称表达数学概念的语词为数学概念的名称或术语。 ,概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由一系列的概念及其体系组成的。如果把人的思维比作一个有机体，那么概念就是这个有机体上的细胞。 每个概念都是以下两者的统一： 1）对象或关系的集合

4、这个概念的外延。 2）这个集合所固有的并且只有这个集合才具备的特征性质这个概念的内涵。 逻辑思维对概念的要求是：概念必须明确，即弄清一个概念的内涵是什么，外延有哪些。从质和量两个方面明确概念所反映的对象。,二、概念的内涵与外延 （一） 内涵与外延的含义 概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和,概念的外延就是概念所反映的事物的总和(或范围).,二、概念的内涵与外延,（二）内涵与外延之间的关系 概念的内涵严格确定了概念的外延；反过来，概念的外延完全确定了概念的内涵。因此，对概念的内涵所作的改变一定导致概念外延的改变。具体来说即：这两个方面是相互联系、互相制约的:当概念的内涵扩大时,则概念的

5、外延就缩小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。反过来也一样。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。例如,在四边形的内涵中,增加“两组对边分别平行”这个性质,那就得到平行四边形的概念,而平行四边形的外延比四边形的外延小。 在等腰三角形的内涵中减少“有两边相等”这个性质,就得到三角形的概念,而三角形的外延比等腰三角形的外延大。 注意,只有在改变内涵的过程中一个概念的外延是另一个概念外延的子集的情况下，概念的内涵和外延间才会出现反变关系。,（三）内涵和外延的发展变化 概念不是一成不变的，随着事物的发展变化和人类实践的不断深入,概念的内涵和外延也会不断地发展变化。 例如：角的概念、三角函数的概

6、念、数的概念等。,在数学教学中，认识概念的内涵与外延必须放在教材和一定的数学学科体系中。 例如，角（平面几何 / 平面三角）,三、概念间的关系 我们只研究可比较概念间的关系. 所谓可比较概念,就是指的在外延上具有某种可比较关系的概念. 例如，“正数”和“整数”就是可比较的概念， 而“正数”和“多边形”就是不可比较的概念. 在可比较的概念间，有相容关系和不相容关系.,（一）相容关系 （Compatible relation ） 外延有公共部分的两个概念之间的关系称为相容关系,这两个概念称为相容概念。 在相容关系里,又分为同一关系、交叉关系和从属关系。 1.同一关系（Identity） 外延完全重

7、合的两个概念A和B之间的关系称为同一关系.,例如，“直线”与“一次函数的图像”这两个概念，虽然它们是从不同的角度来说明问题的,但是,它们的外延完全重合,是指同一类对象。 又比如,“等腰三角形底边上的中线”与 “等腰三角形底边上的高”；“等边的矩形”与“直角的菱形”；在同一个圆中“直径”与“最大的弦”等,它们之间的关系都是同一关系。 在同一个思维过程中,具有同一关系的两个概念可以相互代替使用.,2.交叉关系（Intersection） 外延只有一部分重合的两个概念A和B之间的关系，称为交叉关系. 这两个概念称为交叉概念。 例如,“等腰三角形”与“直角三角形”、“负数”与“整数”、“菱形”与“矩形

8、”等概念之间的关系都是交叉关系。具有交叉关系的两个概念是可以互相说明的,但是,必须用“有些”两字来限制,否则就错了。例如,我们可以说“有些整数是负数”，也可以说“有些负数是整数”；却不能说“整数是负数”,也不能说“负数是整数”。,3.从属关系（Inclusion） 如果A概念的外延包含B概念的外延,那么这两个概念间的关系称为从属关系. 其中，A概念叫做B概念的属概念(或上位概念). B概念叫做A概念的种概念(或下位概念).,例如,“复数”、“实数”、“有理数”、“整数”它们之间的关系是从属关系。 “复数”、“实数”、“有理数”都是“整数”的属概念. “整数”的三个属概念中，其内涵与整数概念之差

9、最小的是“有理数”，我们称“有理数”为“整数”的最邻近的属概念。 注意一：属、种概念具有相对性。 例如,对“整数”来说，“有理数”是属概念, 对“实数”来说，“有理数”是种概念; 注意二：要区分从属关系和全体与部分的关系。有的概念之间既有从属关系又有全体与部分的关系。有的却不然。 例如,“对数”与它的“首数”、“尾数”之间的关系是全体与部分的关系，但不是从属关系。,（二）不相容关系（Exclusive relation） 外延互相排斥(没有公共部分)的两个概念之间的关系称为不相容关系,这两个概念称为不相容概念。不相容关系分为对立、矛盾关系两种。 1.对立关系(反对关系Contrariety)

10、如果某一概念的两个种概念A和B,其外延是互相排斥的, 且这两个种概念外延之和小于它们最邻近的属概念的外延, 那么这两个种概念A和B之间的关系 称为对立关系， 这两个种概念称为对立概念。,例如,“正数”与“负数”是对立关系的两个概念,因为它们的外延互相排斥,其外延之和小于它们最邻近的属概念“实数”的外延。 又如,“大于”与“小于”、 “锐角三角形”与“钝角三角形”、 “质数”与“合数”、 “等腰梯形”与“直角梯形” 等概念的关系都是对立关系.,2.矛盾关系（Contradiction） 如果某一概念的两个种概念A和B,其外延是相互排斥的,且这两个种概念外延之和等于它们最邻近的属概念的外延,那么这

11、两个种概念A和B之间的关系称为矛盾关系.这两个种概念称为矛盾概念。 例如,“负数”与“非负数”、“实数”与“虚数”、“有理数”与“无理数”、“直角三角形”与“非直角三角形”、“相等”与“不相等”等概念之间的关系都是矛盾关系。,掌握了概念间的关系,有助于加深理解概念,正确地使用概念,避免出现概念或判断上的逻辑错误。 例如,“因为数a不是正数,所以数a一定是负数”,这一论断是错误的。因为“正数”与“负数”是对立的概念,不是矛盾的概念,在实数的外延中除了正负数外,还有数零。又如,“a不大于b,即ab”这是错误的。因为“不大于”与“小于”不是矛盾关系 .,四、概念的定义 （一）什么是定义 定义是揭示概

12、念内涵的逻辑方法,即列举概念的充分和必要的属性，并把它们总结成一个连贯的句子（语句或用符号表示的句子）。 定义中的每一个属性对于确定的概念来说，都应当是必要的，而所有属性加到一起应当是充分的。 定义应当揭示概念的基本内涵，它不应当有多余的词，也不应当有遗漏。例如 “正方形是”“四个角都是直角的平行四边形” / “有一个角是直角的菱形” / “各边相等而且四个都是直角的平行四边形” 在定义某概念的过程中得到的一串概念，从第二个起，每一个都是前一个的种概念，这样追到了初始概念：不定义概念。,（二）定义的构成与形式 1.定义的构成 被定义的概念+下定义的概念+联系词 被定义的概念是其内涵被揭示的概念

13、,而下定义的概念 是用以揭示被定义概念内涵的概念,联系词一般使用是、 叫做,表示被定义概念和下定义概念之间的内在联系,其 作用是把被定义概念和下定义概念联系或组织起来。 例如,“邻边相等的矩形是正方形”是正方形的一种定义, 在这个定义中,“正方形”是被定义概念,“邻边相等的矩形” 是下定义的概念,“是”是联系词。,2.定义的形式 注：定义的表达形式也有多种情况，除了上述： “DP叫做DS”，其他如：“DS就是DP”，“DS等于DP”，“DS当且仅当DP”，“DP叫做DS”，“DP称为DS”等等。例如：平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。,（二） 给数学概念下定义的方法 1.“属+种差”式定

14、义 给数学概念下定义常用“属（类）+种差”的方式，即实质定义。其公式为： 属（类）+种差=被定义项 例如： “邻边相等” 的 “平行四边形” 叫做 “菱形”； “按一定顺序排列” 的 “一列数” 叫做 “数列”； “无限不循环” 的 “小数” 叫做 “无理数”； 由此可见，用属加种差下定义，需要做好两方面的工作： 一是找出被定义概念的最邻近的属； 二是确定种差，即找出被定义概念与同一属中其他种概念之间的差别。,以事物的发生和形成过程作为种差 2.发生式定义 “平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆”； “我们在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。” 发生式定义通过描述

15、被定义概念所反映对象的产生或形成过程的特征来揭示被定义概念本质属性的定义方法. 以事物间的关系作为种差 3.关系式定义 ”能被2整除的数叫做偶数“； ”经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆“。 以事物的本质结构作为种差 4.形式式定义 “形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a不等于0）的函数叫做二次函数。”,5.外延式定义 ”有理数和无理数统称实数“； ”圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线“。 6.约定式定义 ”对于非零实数a及正整数n，规定a0=1， a-n=1an，a0 ，a-n分别叫做零次幂和负整数指数幂“。 7.递归式定义 ”对一切自然数n，均有an=an-1+d（d是

16、常数）成立，这个数列称为等差数列“。 8.公理式定义 9.通过抽象（或称描述式定义）,在一个科学系统中每给一个概念下定义,都要用一些已知的概念来定义新概念,这样就构成一个概念的序列。可是概念的个数是有限的,所以在这个概念的序列中总有一些概念是不能引用别的概念来定义它的,这样的概念叫做在这个科学系统中的原始概念。例如,数学中的数、量、点、直线、平面、集合、对应、. 在科学中,原始概念是不予定义的,它们的本质属性通过公理加以规定。但在学科中,常用直观描述性的方法对原始概念加以解释,目的是使学习者心领神会,留下鲜明的印象。例如,用拉紧的细绳和由小孔射入的光线来建立直线形象;把由确定的事物组成的整体称

17、做集合,都不是下定义,而是一种帮助学习者领会的直观描述。在逻辑推理中这种描述是不起任何作用的。,（三）下定义的基本要求 1.定义应当相称 所谓定义相称就是定义概念的外延和被定义概念的外延必须相等。 例如： ”含有未知数的等式叫做方程“； （） ”带根号的数是无理数。“ （） 定义过宽，就是定义概念的外延大于被定义概念的外延。 例如: ”有一组对边平行的四边形叫作梯形“； ”不相交的两条直线叫作平行线“. 定义过窄，就是定义概念的外延小于被定义概念的外延。 例如: ”开不尽的方根叫作无理数“； ”正数的正的平方根叫作算术根“.,2.定义不能循环。 即定义概念不能直接或间接包含被定义概念。 循环定

18、义常有以下两种情况： 恶性循环。在一个科学系统中,如果把概念A作为已知的概念来定义概念B,但又用概念B来定义概念A,这种逻辑错误叫做定义恶性循环。 例如: ”乘方运算的结果叫作幂，求幂的运算叫作乘方”. 词语反复。用被定义概念的简单重复来定义被定义的概念，即用自身定义自己. 例如:”互质数就是互为质数的数”; “两条直线所成的角叫作两条直线的夹角”.,3.定义必须简明、确切 定义须简明，即在定义中不要包括多余的词语；定义应当确切，即定义概念中不能应用比喻或含混不清的词。 例如：”有一个角是直角，其他两个角是锐角的三角形叫作直角三角形”; “对边平行且相等的平面四边形是平行四边形”; “两组边相

19、等的四边形是平行四边形”; “无穷小是很小很小的数”; “像满月一样的图形叫作圆”。 定义一般不用否定形式 定义一般应揭示出被定义概念所反映的事物具有什么本质属性，而不是指出事物不具有什么本质属性。 例如： “不是有理数的数叫做无理数”; “不是直角边的边叫作直角三角形的斜边”。 但是,有些概念的特有属性正是它缺少某种属性,这时也可以用否定事物具有某种属性来定义。 例如： “同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”。,五、概念的划分 划分是揭示概念外延的逻辑方法。也就是通过把一个属概念分为若干个种概念来明确概念的逻辑方法。是从概念的外延方面明确概念的逻辑方法。 通过对概念正确的划分,可以更深刻地

20、理解概念，更系统地掌握概念。,（一）划分的要素 一个正确的划分,通常由三个要素构成,即母项、子项和划分的依据。母项是划分的属概念,子项就是划分所得的种概念,划分的依据就是划分时所依据的标准。 例如，按角的性质，”三角形”可以划分为： 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. （或者：直角三角形、斜三角形） 按边的相等关系，”三角形”可以划分为： 等腰三角形、非等腰三角形.,（二）划分的类别 划分有一次划分、连续划分和二分法等基本形式. 1.一次划分 只包括母项和子项两个层次的划分称为一次划分。例如，根据奇偶性,“整数”划分为“奇数”和“偶数”. 在划分一次以后已达到划分的目的,不需要再继续划分,这

21、时就用一次划分。 2.连续划分 包括母项和子项三个层次以上 的划分,即把一次划分得出的 子项作为母项,继续划分子项, 直到满足需要为止。 例如:,3.二分法 它是每次划分后所得的子项总是两个矛盾概念的划分法。例如,用二分法对“复数”划分：,二分法常用于以下两种场合: 一是不需要了解被划分概念的全部外延性质时; 二是被划分的概念的外延尚未完全弄清时。 二分法是一种简便易行、不易发生错误的划分方法,这又是它的优点; 但是，这种划分方法总有一部分外延不能明确地显示出来,这是它的缺点.,（三）划分的规则 1.划分应是相称的 即划分后各个子项外延的总和应当与母项的外延相等，而且各个子项之间互不相容。违反

22、这一规则会犯“多出子项”或“不完全划分”的逻辑错误。例如: A.“自然数”划分为“质数”与“合数”。 B.“梯形”划分为“等腰梯形”、“不等腰梯形”和“平行四边形”。 以上两例的划分都是不相称的。A中划分后的质数与合数的外延之和小于自然数的外延,因为自然数还包括“1”,而“1”既不是质数也不是合数。犯了“不完全划分”的逻辑错误。 B中划分后各个概念的外延之和大于被划分的概念的外延。因为平行四边形不是梯形,犯了“多出子项”的逻辑错误。,2.每一次划分只能用一个根据 由于实际的需要不同,划分的根据也就不同。但每次划分不能交叉地使用几个不同的根据,只能用同一个根据，遵循相同的标准进行划分。否则划分的

23、结果就会混乱不清,达不到划分的目的。 例如,把“三角形”划分为“等边三角形”、“等腰三角形”、“钝角三角形”,这个划分是不正确的,因为这个划分中用了边、角大小的两个不同的根据。这就犯“标准不同一”的逻辑错误。,3.划分的子项必须互相排斥 划分后所得的子项的外延不允许交叉、重叠，否则,就会对概念的认识更加模糊。 上例中,把“三角形”按边、角的大小划分为三类,就犯了“子项相容”的逻辑错误。 又如,“平行四边形”划分为“正方形”、“菱形”、“邻边不等的矩形”。 因为正方形是菱形,这个划分也犯了“子项相容”的错误,而且还漏掉了“邻边不相等的平行四边形”。,4.划分不能越级 在每次划分中,被划分的概念与

24、划分出来的概念必须具有最邻近的属种关系,不能越级或跳跃式的划分。划分应当按照被划分概念所反映的对象具有的内在层次逐一地进行。 例如:“把实数”划分为”整数“、”分数“、”无理数” 就犯了“越级划分”的逻辑错误。 因为整数和分数与实数不是最邻近的各类关系。,问题与思考 1.何谓数学概念?数学概念的作用是什么? 2.什么是数学概念的内涵和外延?指出下列数 学概念的内涵和外延 (1)函数 (2)根式 (3)无理式 (4)圆 (5)方程 (6)菱形 (7)绝对值 3.举例说明概念的内涵和外延间的“反变关系”. 4.举例说明种概念和类概念之间具有相对性,问题与思考 5.概念之间的关系可分为几种?指出下列

25、每对概念之间的关系. (1)有理式和无理式;(2)无理式和根式;(3)质数和合数; (4)分数和循环小数(5)正数和整数(6)有限小数和有理数 (7)无限小数和无理数;(8)有理数和无理数; (9)自然数中最小的质数和最小的偶数; (10)直角三角形和等腰三角形; (11)对角线相等的菱形和对角线垂直的矩形； (12)直角三角形的外心和斜边上的中点; (13)方程和恒等式;(14)幂和乘方; (15)三角函数和周期函数。,问题与思考 6.数学中常用的定义方式有哪些?正确的定义要符合哪些要求? 7.下列定义符合要求吗?为什么? (1)大于90的角叫做钝角; (2)最简单的根式叫最简根式; (3)有理数开不尽的方根叫做无理数; (4)不能表示成分数的数叫做无理数; 8.用