3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义.pptx

1、3.2复数代数形式的四则运算 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义,(x1+x2，y1+y2),(x1-x2，y1-y2),主题1复数的加法 1.设向量 分别表示复数z1，z2，那么向量 表示的复数应该是什么？ 提示： 表示的复数是z1+z2.,2.设复数z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，dR)对应的 向量分别为 那么向量 的坐标分别是什么？ 提示：,结论： 1.加法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，dR)， 则z1+z2=(_)+(_)i.,a+c,b+d,2.几何意义,复数的和z1+z2与向量 的坐标对应.,3.复数加法的运算律 设z1，z2，z3C，

2、有z1+z2=_， (z1+z2)+z3=_.,z2+z1,z1+(z2+z3),【对点训练】 1.若z1=2+i，z2=3+ai(aR)，且z1+z2所对应的点在实轴上，则a的值为() A.3B.2C.1D.-1,【解析】选D.z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i= 5+(1+a)i.因为z1+z2所对应的点在实轴上，所以1+a=0，所以a=-1.,2.|(3+2i)-(4-i)|等于() A. B. C.2D.-1+3i 【解析】选B.|(3+2i)-(4-i)|=|-1+3i|=,主题2复数的减法 1.规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数 z=z1-z2，则复数z1等

3、于什么？ 提示：z1=z+z2.,2.设复数z1=a+bi(a，bR)，z2=c+di(c，dR)，z=x+yi(x，yR)，代入z1=z+z2，由复数相等的充要条件得x，y分别等于什么？ 提示：x=a-c，y=b-d.,3.类比多项式的减法想一想复数如何相减？ 提示：用文字语言描述：两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减.,用符号语言描述：z1=a+bi，z2=c+di，a，b，c，dR， 则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 用几何语言描述：设 分别与复数a+bi，c+di 对应，则 =(a，b)， =(c，d)，由平面向量的 坐标运算，得 =(a-c，b-d

4、).这说明两个向 量 与 的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.,结论： 1.减法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，dR)， 则z1-z2=_.,(a-c)+(b-d)i,2.几何意义,复数的差z1-z2与向量 的坐标对应.,【对点训练】 1.若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是() A.-2B.4C.3D.-4 【解析】选B.由复数的加减法运算知z=-2+4i，故虚部为4.,2.在复平面内的平行四边形ABCD中， 对应的复数 是6+8i， 对应的复数是-4+6i，则 对应的复数 是() A.2+14iB.1+7i C.2-14iD.-1-7i,【解析】

5、选D.依据向量的平行四边形法则可得 由 对应的复数是 6+8i， 对应的复数是-4+6i，依据复数加减法 的几何意义可得 对应的复数是-1-7i.,类型一复数代数形式的加减运算 【典例1】(1)已知复数z=(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)，则复数z在复平面内对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限,(2)计算： (6-3i)-(3i+1)+(2-2i)； (1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+ (2 017-2 018i)-(2 018-2 019i).,【解析】(1)选B.z=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i. 对应点为(

6、-2，2)，在第二象限. (2)(6-3i)-(3i+1)+(2-2i) =(6-1+2)+(-3-3-2)i=7-8i.,方法一：原式=(1-2+3-4+2 017-2 018) +(-2+3-4+5+-2 018+2 019)i =-1 009+1 009i.,方法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i， (3-4i)-(4-5i)=-1+i， (2 017-2 018i)-(2 018-2 019i)=-1+i， 将上列1 009个式子累加可得 1 009(-1+i)=-1 009+1 009i.,(2)分清实、虚数：算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后

7、把实部与实部、虚部与虚部分别相加减. (3)学生类比，复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.,【跟踪训练】若z+3-2i=4+i，则z等于() A.1+iB.1+3i C.-1-iD.-1-3i 【解析】选B.z=(4+i)-(3-2i)=1+3i.,类型二复数加减运算的几何意义 【典例2】如图所示，平行四边形OABC的顶点O， A，C分别表示0，3+2i，-2+4i.求： (1) 表示的复数. (2)对角线 表示的复数. (3)对角线 表示的复数.,【解析】(1)因为 ，所以 表示的复数为 -3-2i. (2)因为 ，所以 表示的复数为 (3

8、+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为 ，所以 表示的复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.,【方法总结】复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z=a+bi(a，bR)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变.,【跟踪训练】在平行四边形ABCD中，A，B，C三个顶点所对应的复数分别为3+3i，-5i，-2+i，求第四个顶点D对应的复数.,【解析】因为 所以 所以 所以 对应的复数为3+3i-2+i+5i=1+9i. 所以第四个顶点D对应的复数为1+9i.,类型三复数加减运算的

9、应用 【典例3】(1)如果复数z满足|z+3i|+|z-3i|=6， 那么|z+1+i|的最小值是() A.1B. C.2D. (2)若复数z满足|z+ +i|1，求|z|的最大值和 最小值.,【解题指南】(1)先由|z+3i|+|z-3i|=6确定复数z所 对应的轨迹，再依据|z+1+i|的几何意义求最小值. (2)明确满足条件|z+ +i|1的复数z的几何意义 为：圆心为(- ，-1)，半径为1的圆内区域，包括 边界，|z|则表示圆面上一点到原点的距离.,【解析】(1)选A.因为|z+3i|+|z-3i|=6表示为点Z到点A(0，-3)与到点B(0，3)的距离之和为6.所以点Z的轨迹为线段

10、AB.而|z+i+1|表示为点Z到点(-1，-1)的距离.数形结合，得最小距离为1.,(2)如图所示： 所以|z|max=2+1=3，|z|min=2-1=1.,【延伸探究】 1.若本例(2)条件改为已知|z|=1且zC， 求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.,【解析】因为|z|=1且zC，作图如图：,所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面 上的点P(2，2)的距离，所以|z-2-2i|的最小值为 |OP|-1=2 -1.,2.若本例(2)中条件不变，求|z- |2+|z-2i|2的最大值和最小值.,【解析】如图所示，在圆面上任取一点P，与复数 zA= ，zB=2i的对应点A，B相连，得向量 再以 为邻边作平行四边形.,P为圆面上任一点，zP=z， 则 (平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)， 所以,而 所以|z- |2+|z-2i|2的最大值为27+2 ， 最小值为27-2