第六章 假设检验.ppt

1、第六章 假设检验,6.1 假设检验的基本问题 一、假设检验的陈述 在自然科学和社会科学研究中，经常要提出一些假设，然后要判断或检验这些假设是否正确。例如我们在用反证法证明数学命题或题目时，需要做一个假设，然后利用已有的知识和命题的条件推导出矛盾来，从而否定所做的假设，证明了原命题的正确性。 在用统计学研究问题时，也经常根据实际问题提出假设，然后利用样本统计量判断 假设是否正确的过程，这就是假设检验。为了讲清楚这个内容，我们先介绍假设检验的有关知识。 1、小概率事件不发生原理 小概率事件（发生概率小于0.1 的事件）发生的概率很小，在一次试验中认为它不发生。例如我们知道人们乘车都有发生交通事故的

2、可能，但是人们依据小概率事件在一,次试验中不发生原理，照样乘车、乘飞机等。 2、假设检验问题的提出 在用统计学研究自然科学和社会科学问题时，有时提出一个假设，这个假设称为原假设，然后依据小概率事件在一次试验中不发生原理，检验这个假设正确与否。 例1 某超市从厂家进货，双方达成协议，如果次品率超过1% ，则超市拒收货物，今有一批货物，随机抽取200件检查，发现有次品3件，在显著性水平 下，试问超市是否要接受这批货物？ 作为超市来说，可以提出一个假设：次品率小于或等于1%，再抽取样本，检验这个假设对不对, 若假设成立，就允许这批货物进入超市，相反，若假设不成立，就拒绝这批货物进入超市。现在问题的关

3、键在于如何判断这批货物的次品率是否超过1%，有些同学可能会说可以抽一部分,货物进行检测一下，看看这部货物次品率是否超过1%，由于你抽取的货物是随机的，因此所抽查货物的次品率也是随机的。为此，我们假定前面的假设是正确的，在这基础上计算题目中的事件A：“随机抽取产品中次品率不超过1%”发生的概率。 （1） 在（1）式中，z 正好是统计量，并且其分布是标准正态,分布，计算结果及示意图是 y 0.0044 2.61 x 从（1）的计算结果可以看出，在超市提出的假设成立的情况下，随机抽取的200件产品中，有6件是次品的概率为0.0044，显然这是一个小概率事件，认为在一次抽查中不应该发生，现在它发生了，

4、我们怀疑超市提出的假设不应该成立。也就是拒绝这批产品进入超市。 在这个例子中，超市提出了假设，通过抽样获得样本数,据和统计量的分布，计算出这个假设成立的概率很小，是小概率事件，再根据小概率事件在一次试验中不发生原理，拒绝了产品进入超市。这个过程就是统计学中重要内容假设检验。 3、原假设和备择假设 原假设（null hypothesis）：指研究者想收集证据予以反驳的假设。通常用 表示。 备择假设（alternative hypothesis）：指研究者想收集证据予以支持的假设。通常用 表示。 例如 在例1中，“次品率小于或等于1%”是超市想反驳的假设，是原假设。它的对立面 “次品率大于1% ”

5、是超市想支持的假设，是备择假设。 4、两类错误和显著性水平 第一类错误： 原假设是真的，但在检验中被错误地拒绝了。 第二类错误：原假设是假时，没有拒绝而错误地被接受了。,这两类错误之间的关系是：在样本容量一定时，犯第一类错误概率较大时，犯第二类错误地概率较小；反之，犯第一类错误概率较小时，犯第二类错误概率较大。要想两类错误的概率都减小，只有增加样本容量。 5、显著性水平 显著性水平：是指人们犯第一类错误概率的最大允许值。 注意：显著性水平是人们根据自己所研究的问题来确定，在经济学和其他社会科学中，常用选择的显著性水平是5%，或者10%，在卫生和医药统计中，常用选择的显著性水平是1%。在我们经济

6、学中，除非特别声明，一般都以5% 作为显著性水平。 6、临界值和拒绝域 拒绝域：拒绝域就是由显著性水平 所围城的区域。 临界值：由给定的显著性水平确定的拒绝域的边界值，称为临界值。实际上临界值就是 分位点所对应的值。,例2 某地区小麦的一般生产水平是亩产250公斤，其标准差是6公斤。现在经过品种改良试验，从25个小区抽样，结果为小麦平均亩产比原来提高20公斤。对检验假设 ， 的问题，求 时，不犯第二类错误的概率。假设小麦亩产服从正态分布 （ ）。 解：该地区小麦的一般生产水平是亩产250公斤，标准差是6公斤，可以认为该地区小麦产量在品种改良前是服从 正态分布 。现在经过品种改良后，从25个 样

7、本数据来看，亩产比原来提高了20公斤，现在的问题是这提高了的20公斤偶然的还是必然的（如果是偶然的，意味着品种改良没有提高小麦的产量，如果是必然的意味着 品种改良的确提高了小麦的产量）。为此，我们用假设检方法来解决此问验题。,方法来解决此问验题。 根据上述分析，提出原假设和备择假设是： 构造检验统计量 在原假设成立时 ，它服从标准正态分布，其分布密度函数图形是 1.65,在原假设成立时，检验统计量z的值超过1.65概率小于或者等于0.05，这是一个小概率事件，在一次试验中不应该发生，如果发生，我们就有只够的理由否定原假设了。下面我们来计算一下检验统计量z 的值是多少。根据题意，z=270-25

8、0/6=3.331.65，因此我们要拒绝原假设：小麦改良后亩产仍然是250公斤。也就是说，认为小麦经过改良后亩产已经超过250公斤。0.05就称为显著性水平。 Z1.65的区域称为拒绝域。Z=1.65称为临界值。 下面我们来计算不犯第二类错误的概率，为此 先算出犯第二错误的概率。根据第二类错误的定义，原假设是错误的，备择假设是对的，但是我们错误地 接受了原假设（错误地没有拒绝原假设）。备择假设是 ，有无数多个，为计算犯第二类错误，必须选择其中一个，本例选择的是 ，其计算过程及有关图形如下：,在上图中， 是在检验时，检验统计量临界值所对应的在原分布中的值，其计算过程是：,所以有 因此犯第二类错误

9、的概率是 所以不犯第二类错误的概率是 10.0465=0.9535,7、单边检验和双边检验 （1）单边检验 在假设检验中，如果拒绝域在检验统计量分布密度函数一侧的检验，称为 单边检验。例如 1）,2）,注意：在单边检验中，若原假设是 形式 拒绝域在右侧；反之，若原假设是 形式 拒绝域在左侧。 （2）双边检验 拒绝域在两边的假设检验，称为双边检验。 例如 检验,例3 在20世纪60年代，美国货币主义学派代表人物著名 经济学家弗理德曼提出了一种“负收入税” ,对低收入者进行补助，而不是向他们收税。这项福利计划造成受益人不工作吗？在新泽西州的三个城市做了一项实验来寻求答 案。总体是由这些城市一万个低

10、收入家庭组成。从中选出 225个家庭实施负收入税，400个家庭作为对照。假定这400个家庭不会因为别人获得补助而对自身产生影响。对这625个家庭跟踪3年。 （1）对照家庭在3年平均受雇工作7000小时，标准差是 3900小时，获益家庭平均受雇工作6200小时，标准差是 3400小时。问获益家庭平均工作时间是否少于对照家庭？ （2）对照家庭中，有88%的户主受雇，而实施负收入税的家庭，有82%的户主受雇。问实施负收入税的家庭户主受雇率是否低于对照组家庭的户主？,解：假设 分别表示获益家庭和对照家庭在3年内 的平均工作时间。 根据题意，作如下检验： 设 ， 分别表示获益家庭和对照家庭 样本的平均工

11、作时间和户数， 分别是两组家 庭工作时间的方差。构造检验统计量,在原假设成立的情况下，检验统计量 服从标准正态分布。 1.65,所以，我们不能拒绝原假设，也就是说接受原假设。即认 为实施负收入税的家庭工作时间比没有实施负收入税的家 庭的平均工作时间要少些。 2）设 表示实施负收入税家庭和没有实施负收 入税家庭的户主受雇比例， 分别表示这两类 样本家庭受雇的比例。检验如下： 构造如下检验统计量：,在原假设成立时，上述检验统计量服从标准正态分布。其 检验如下： 1.65,从上式可以看出，检验统计量的值小于临界值，我们不能 拒绝原假设，即接受原假设，认为实施负收入税，会影响 户主受雇率。 综上所述，

12、可以看出，实施负收入税确实会导致一部分家庭或个人不愿意工作。正因为如此，美国也没有实施负收入税。 二、用P值进行检验 P值是指在假设检验中，当原假设成立时，检验统计量取 样本数据的值时的概率。例如 在下列检验中，其P值是,p值= 当P值小于显著性水平时，表明检验统计量的值落在拒接 域，我们拒绝原假设；反之，当P值大于显著性水平时， 表明 检验统计量的值落在接受域 内，我们应该接受原假 设。,值,案例分析题 ： 新饲料养牛计划的有效性检验 一家饲料开发公司研究出一种新饲料，据称该饲料能有效增加牛的体重，同时还能有助于牲畜抵抗某些疾病。 饲料开发公司在一家养牛厂的协作下，对新饲料的功效进行了检测。

13、这家养牛厂的主人从2月1日到5月20日（含首尾两日）使用新饲料喂养一群牛。该群牛的有关数据如下表所示。 饲料开发公司还得到了这家养牛厂去年一月15日到五月5日（含首尾两日）一群牛的喂养数据。这群牛使用的是该饲料公司生产的标准饲料。这批数据记录如下： 1、初期平均体重=178公斤；标准差=25公斤（N=43） 2、期末平均体重=251公斤；标准差=61公斤（N=41） 3、平均每天体重增加0.91公斤；标准差=0.2公斤（N=41） 4、病牛头数（含两头 已死亡的）=12头,初始体重/公斤,期末体重/ 公斤,是否染病,77 64 89 71 68 76 89 90 93 62 85 91 74

14、90 93 72 80 83 78 92 65 74 76 73 67 70 78 62,114 103 149 93 101 115 145 119 153 89 133 142 124 142 152 135 151 127 102 149 127 123 132 132 122 126 147,1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1,讨论题 1、检验食用新饲料和标准饲料的两群牛的初期体重均值没 有显著差异。 2、检验这两群牛的日平均增重相同。 3、检验这两群牛的患病率相同。 4、讨论检验中所使用的显著性水平对检验结果的影响。 5、给出检验的P值，并指出它的实际意义。 解：1）设 分别表示食用新饲料和标准饲料的两 群牛的初期体重，根据题意，检验的假设是 因此，我们构造的检验统计量是：,（1）,计算出使用新饲料喂养的牛群的均值和方差是 所以，在原假