数学模型-初等模型.ppt

1、李明远,内蒙古财经学院 统计与数学学院,Email:,引 论,原 型,model 指为了某个特定的目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。,Prototype 指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统（system）、过程(process)等词汇。,模 型,与,模 型,物质模型 （形象模型）,理想模型 （抽象模型）,直观模型、物 理模型,思维模型、符号模型、数学模型,数学模型,“数学模型是关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构。”更简洁地，也可以认为“数学模型是用数学术语对部分现实世界的描述。” 本德（E.A.Bender）,

2、一般地说，数学模型可以描述为： 对于现实世界地一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,数学模型,甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需要50h，问船速、水速各是多少？,解方程组,用x，y分别代表船速和水速，得方程,描述性的数学模型,解释性的数学模型,按照人们对原型的认识过程分为,按照模型的应用领域分为,按照建立模型的数学方法分为,静态模型 和 动态模型,确定性模型 和 随机模型,离散模型 和 连续性模型,线性模型 和 非线性模型,按照模型的特征分为,白箱模型,灰箱模型,黑箱模型,按照

3、对模型结构的了解程度分为,作 用,数学模型的特点,数学模型的特点,数学模型的特点,数学模型的特点,数学模型的特点,数学模型的特点,数学模型的特点,数学模型的特点,开设目的,对数学教育而言，既应该让学生掌握准确快捷的计算方法和严密的逻辑推理，也需要培养学生用数学工具分析解决实际问题的意识和能力。传统的数学教学体系和内容偏重于前者，开设数学建模课程则是加强后者的一种尝试。 另外，开设本课也是为了一年一度的“全国大学生数学建模大赛”做一些准备工作。,商人过河,建模示例之,三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳两人，由他们自己划船。随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货

4、。但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。 商人们怎么样才能安全渡河呢?,分析： 安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员（商人、随从各几人）作出决策，在保证安全的前提下（两岸的随从数都不比商人数多），在有限步内使全部人员过河。用状态（变量）表示某一岸的人员状况，决策（变量）表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。 问题转化为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目的。,模型构成,记第 次渡河前此岸的商人数 ，随从数为 .,将二维向量,定义为状态。,安全渡河条件下的状态集合成为允许状态集合，记做

5、 .,模型构成,模型构成,模型求解,在商人和随从人数不大的简单情况，用图解法比较简便。,这里讲述的是一种规格化的方法，所建立的多步决策模型可以用计算机求解，从而具有推广的意义。譬如，当商人和随从人数增加或小船的容量加大时，靠逻辑思考就困难了，而用这种模型则仍可方便的求解。 适当地设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，是有效地解决很广泛的一类问题的方法。,评注,根据建模的目的和问题的背景作出必要的简化假设,用字母表示待求的未知量,利用相应的物理和其他规律,求出数学上的解答,用这个答案解释原问题,列出数学式子,验证,合 格,某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙

6、系40名。现学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有 个席位。,初等模型之,公平的席位分配,10，6，4,现在丙系有6名学生转入甲乙两系，有3人转入甲系，3人转入乙系。,这时代表席位应该怎样分配呢？,表1 按照比例并参照惯例的席位分配,建立数量指标,讨论A,B两方公平席位分配的情况。,设两方人数分别为 和 ，占有席位分别为 和 ，则每个席位代表的人数为 和 。,公平的条件：,但是，通常情况下 ，即不公平，,并且,数值较大的一方吃亏，即对这一方不公平。,则 。,不妨假设,不公平程度可用数值 衡量。,分析：,设(1),则 ；,又设(2),

7、为了改进上述绝对标准，故采用相对标准。,若 ，则定义,为对A的相对不公平度。,若 ，则定义,为对A的相对不公平度。,原则：使 尽可能小。,不失一般性可设 ，即对A不公平。当再增加1席时，关于 的不等式有以下可能：,确定分配方案,利用 和 讨论，当增加1席时，应该分配给A还是B。,1. ，,1. ，这说明即使A方增加1席仍然对A不公平，所以这一席显然应该分给A方；,2. ，这说明A方增加一席时将变为对B不公平，参照 可计算出对B的相对不公平度为,3. ，即当B方增加一席时将对A不公平，参照 可计算出对B的相对不公平度为,所以如果 则这1席应分给A方；反之则分给B方。,由,得,记,则增加的1席应分

8、给Q值较大的一方。这种席位分配方法称为Q值法。,第20席：,记,则增加的1席应分给Q值较大的一方。这种席位分配方法称为Q值法。,第21席：,寻求公平分配席位的方法的关键，是建立衡量公平程度的既简单又简明的数量指标，本模型提出的的指标是相对不公平度，在这个前提下得到的Q值方法应该是公平的。但是如果跳出这个前提，公平席位问题还远未解决。,评注,练：学校共有1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试着用以下方法分配各宿舍的委员数： (1) Q值法。 (2) dHondt方法：将A,B,C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,相除，其商

9、数如表：,初等模型之,双层玻璃窗的功效,如图所示，两层厚度为 的玻璃夹着一层厚度为 的空气。据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失。,模型假设,1. 热量的传播只有传导，没有对流。即假定窗户密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。 2. 室内温度 和室外温度 保持不变，热传导过程处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。 3. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。,在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律： 厚度为 的均匀介质，两侧温度差为 ，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量 与 成正比，与 成反比，即 为热传导系数。,模型构成,记双层窗

10、内玻璃的外侧温度是 ，外层玻璃的内侧温度是 ，玻璃的热传导系数为 ，空气的热传导系数为 ，由 式单位时间单位面积的热量传导(即热量流失)为,从上式中消去 ， 可得,墙,墙,对于厚度为 的单层玻璃窗，容易写出其热量传导为,那么，二者之比为,取 ，由 ， 式可得,模型应用,这个模型具有一定应用价值。制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建筑规范要求 。 按照这个模型， 3 ，即双层窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97左右。不难发现，之所以有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数 ，而这要求空气是干燥、不流通的，这当然不能完全满足，所以

11、功效实际上会差一些。,另外，房间热量的散失，通过玻璃窗的实际上只占一小部分。,初等模型之,划艇比赛的成绩,赛艇是一种靠桨手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon比较了各种赛艇19641970年四次2000m比赛的最好成绩(包括64年和68年的两次奥运会和两次世界锦标赛)，发现他们之间有相当一致的差别，他认为比赛成绩与桨手数量之间存在着某种联系，于是建立了一个模型来解释这种关系。,各种艇的比赛成绩和规格,问题分析,赛艇前进时受到的阻力主要是艇浸没部分与水之间的摩擦力。艇靠桨手的力量克服阻力保持一定的速度前进。,桨手越多划艇前进的

12、动力越大。但是艇和桨手总重量的增加会使艇浸没面积加大，于是阻力便会加大，增加的阻力将抵消一部分增加的动力。,建模目的是寻求桨手数量与比赛成绩的关系之间的数量规律。如果假设艇速在整个赛程中保持不变，那么只需要构造一个静态模型，使问题简化为建立桨手数量与艇速之间的关系。,为了分析所受阻力的情况，调查各种艇的几何尺寸和重量，可以看出，桨手数 增加时， 及艇重 都随之增加，但是比值 和 变化不大。 若假定 是常数，即各种艇的形状一样，则可得艇浸没面积与排水体积之间的关系。 若假定 是常数，则可得到艇与桨手总重量与桨手数之间的关系。,此外还需对桨手体重、划桨功率、阻力与艇速的关系等方面作出简化且合理的假

13、定，才能用合适的物理定律建立需要的模型。,模型假设,1. 各种艇的几何形状相同， 为常数；艇重 桨手数 成正比。这是艇的静态特性。 2. 艇速 是常数，前进时受的阻力 与 成正比(其中 是艇浸没部分的面积)。这是艇的动态特性。 3. 所有桨手的体重都相同，记作 ；在比赛中每个桨手的划桨功率 保持不变，且 与 成正比。,由假设1，各种艇几何形状相同。若艇浸没面积 与某特征尺寸 的平方成正比 ，则艇排水体积 必与 的立方成正比,其中 ，,代入 得,模型构成,有 名桨手的艇的总功率 与阻力 和速度 的乘积成正比，即,由假设1，各种艇几何形状相同,而由阿基米德定律，艇排水体积 与总重量 成正比，即,又

14、根据艇重 与桨手数 成正比，所以艇和桨手数的总重量 也与 成正比，即,式代入 式，当 是常数时得到,初等模型之,动物的身长和体重,四足动物的躯干长度(不含头尾)与它的体重有什么关系，这个问题有一定实际意义。比如，在生猪收购站或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出它的体重。 动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入对生物学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的的有使用价值的模型。,把四足动物的躯干看作圆柱体，长度 、直径 、断面面积 。将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁。,设动物在自身体重 作用下躯干的最大下垂度为 (即梁的最大弯曲),根据对弹性梁的研究,因为 ，所以,

15、类比法是建模中常用的一种方法。在这个模型中将动物躯干类比作弹性梁实属一个大胆的假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细检验。但是这种充分发挥想象力，把动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题转化为已经有确切成果的弹性梁在自重下挠曲问题的作法，是值得借鉴的。,评注,初等模型之,实物交换,甲有面包一斤，乙有香肠若干。二人共进午餐时希望相互交换一部分，达到双方满意的结果。这种实物交换模型问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上。显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度，而偏爱程度很难给出确切的定量模型。,我们用作图的方法对双方将如何交换实物建立的模型。,设交换前甲占有物品

16、 的数量为 ，乙占有物品的数量为 ，交换后甲占有物品 和 的数量分别为 和 。于是乙占有 和 的数量为 和 。,无差别曲线,甲对物品的偏爱程度,乙对物品的偏爱程度,初等模型之,核军备竞赛,在20世纪六七十年代的冷战时期，美苏两个核大国都声称为了保卫自己的安全，而实行所谓核威慑战略，核军备竞赛不断升级。随着前苏联的解体核冷战的结束，双方通过了一系列的核裁军协议，2001年7月美俄两国总统同意进一步裁减武器，俄罗斯总统普京建议两国各自再裁减1500枚核战略武器(据估计这时美俄各有7000枚核6500枚)。,在什么情况下双方的核军备竞赛才不会无限扩张而存在暂时的平衡状态？,以双方的核导弹数量为对象，描述双方核军备的大小，假定双方同样采取如下的核威慑战略：,模型假