高等代数教学对学生形成和发展数学品质的意义及教学策略_王玉行

1、 第 16 卷第 3 期 数 学 教 育 学 报 Vol.16, No.3 2007 年 8 月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Aug., 2007 收稿日期：20070625 基金项目：全国教育科学“十五”规划重点课题数学教学效率论（EHA030431） 作者简介：王玉行（1948） ，男，天津人，副教授，主要从事基础数学与应用数学研究 高等代数教学对学生形成和发展数学品质的高等代数教学对学生形成和发展数学品质的 意义及教学策略意义及教学策略 王玉行 （天津师范大学 数学科学学院，天津 300387） 摘要：高等代数能够发展学生抽象化、形式化的思想和运用数

2、学符号的能力，能够发展学生 3 种推理能力，能够促进学 生对数学整体认识的发展和正确的数学观的形成高等代数教学策略和对教师的要求有：做好与中学数学衔接的教学，注重 改进教学的方式方法，做到丰富和更新知识，转变陈旧观念，完善和增进技能 关键词：高等代数教学；素质教育目标；数学品质；MM 教育方式 中图分类号：G424 文献标识码：A 文章编号：10049894（2007）03009203 尽管很多的知名数学家 （如陈省身、 华罗庚、 哈尔莫斯、 苏步青、徐利治、刘绍学等）都非常注重教学方法，在教学 中有自己独到的教学风格，但大学中多数教师仍然认为， “血管里流出的是血” ，只要数学弄通了，教材吃

3、透了，怎么 教怎么对 传统的认识根深蒂固， 致使很少有高等数学教学 方法的研究，国家提出“素质教育”方针，中小学开展了系 列的数学教育改革的实验， 大专院校的许多教师参与了中小 学数学教学方法和新课程的实验研究， 但高等学校本身的数 学教学，却坚若磐石，雷打不动 然而，1995 年终于有了一个“破冰”之举这年 10 月，在襄阳师专召开的 PM（全国第三届数学方法论与 数学教育改革学术研讨会）上，提出了一个建议：在高师 开展 MM 实验， 从源头上解决中小学新型数学教师的培养 问题得到热烈反响19982001 年，濮阳教育学院和天 水师范学院，相继开展“MM 教育方式”的实验研究，尔 后的 PM

4、PM这 4 届学术会议上，每届都有这两校实 验教师宣读论文和展示他们的实验成果 数学教育学报 对此密切关注，先后发文多篇，2005 年以来，又有文1 至文6发表顺着这些研究的思路，我们着重探索高等代 数教学中的若干问题 1 高等代数的教学目标 按国家“素质教育”的方针，高等代数的教学，应具体 地瞄准什么样的目标呢？我们知道， “MM 教育方式”对数 学的素质教育功能， 进行了恰当的分解， 选择如下 4 项作为 数学教学的具体目标： 引导学生自我增进一般科学素养， 引 导学生自我提高社会文化修养， 引导学生自我提升身心健康 水平，引导学生自我形成和发展数学品质自然，这 4 项具 体目标，都是“高

5、代”教学所能承担的，也非常值得我们去 深入研究 为了更为具体和深入， 我们只着重探讨其中的第 四项 2 高等代数教学与学生数学品质的形成和发展 我们知道，数学成为科学，是从系统地使用符号开始 的 中国古代数学由于没有过好这一关， 从而迟滞了发展 在 文7中，杨世明和王雪芹老师用返璞归真的手法生动地描 述了这个过程 人类记数的高级阶段是用字母表示数， 为什么会想到用 字母表示数？请看如下 3 个问题： 一、试用等式一般地表示加法交换律； 二、能否用算式直接表示：5 加上什么数等于3； 三、已知一个变化着的圆的直径，试写出它的面积 实际问题向“表示数的数字”提出了挑战要表示任意的 数、未知（待求）

6、的数、变化的数 ，数字无能为力了（因 它们只能表示单个的数、已知的数、固定的数） ，于是人们被 迫用文字词汇、用问号“？”表示数但这样既零乱有难写， 人们希望用统一的、简单好写的符号表示这些数于是想到字 母 没想到这个小小的无奈之举，竟然是种瓜得豆，先是须研 究代数式 （从而导致代数学） ， 进而有代换、 迭代 （字母代式 ） ， 有变化、联系（函数的研究） ，有了推理和证明的必要和可能， 进一步是整个数学的符号化、抽象化、形式化，最后，再拓展 字母所代表 的事物：图形、集合、法则、谓词，直到抽象的元 素，使数学高速发展 可见，由小小的“字母代数”这个举措，及由它的发展形 成的“代数思想” ，

7、实在是太重要了因此，有人提出把它作 为数学的“核心思想” ，以“贯串所有年级的数学课程”8这 样， 我们就可以明确 （见濮阳教育学院栾慧敏老师的 “高师 高 等代数素质教育研究高等代数字方案” ，刊于 1999 年参加第五届 PM 会议的论文集） ，高等代数的教学目的，是 使学生系统地掌握代数学的基本理论知识及研究问题的思想 方法，提高学生的思维品质及用代数方法解决问题的能力，提 高观点， 增强学生分析和处理中学教材的能力 并在此基础上， 第 3 期 王玉行：高等代数教学对学生形成和发展数学品质的意义及教学策略 93 发展如下数学品质 2.1 发展抽象化形式化的思想和运用数学符号的能力 代数符

8、号语言是典型的数学符号语言 可运算性 和可平 面排布性 是数学符号语言的基本特征如方程组、矩阵、行 列式，还有数阵 ： = ? ? ? ? ? mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 等等（数阵不仅有平面排布，还可排布到 n 维空间） ，这里 的运算（变换） ，大多是平面排布的条件下进行的 2.2 发展学生三种推理能力 在中小学的数学中，学生初步地学习了合情与演绎推 理，在高等代数中，由于大量存在性、唯一性和结构与表述 复杂的命题、 法则的登场， 使探索发现过程的合情推理及论 证过程的演绎推理，变得异常地复杂；许多的推理过程，还 往往需要辨证地思考 因此，

9、高代的学习， 将大大促进合情、 演绎、辨证推理能力的提高和思维的发展 2.3 促进对数学整体认识的发展和正确的数学观的形成 在中学，数学是分成代数、几何、三角、概率若干分支 进行学习的， 从而学生对数学缺乏整体的认识 （所谓数形结 合往往只看作一种技巧） 在高等代数中，则完全作为统一 的处理许以超老师在文9中，以矩阵为工具，在群论观 点下展开讨论，做得是非常成功的因此，通过高等代数的 学习， 应当引导学生逐渐从整体上认识数学 （作一点哲学思 考） ：它的对象、它的特点、它的价值、它的真理性、它发 展的动力和选择的标准（数学美） ，从而长见识，逐步树立 正确的、科学的数学观 3 高等代数教学策略

10、和对教师的要求 怎样实现高代教学的素质教育目标？MM 教育方式及 其发展（TEC 教学方式和 GH 教育方式，见文3和文6） 为我们提供了可行的“原则”和“变量” ，如“以人为本的 原则，既教证明，又教猜想的原则，教学、研究、学习同步 协调原则” ； “数学的返璞归真教育， 数学发现法教育， 合情、 演绎及辨证推理的教学、 数学语言的教学， 一般解题方法的 教学” ，等等这里我们着重指出如下几点 3.1 做好与中学数学衔接的教学 高等数学中的大多数的概念、 方法， 往往都是以中小学 数学中的“初等数学”为胞芽，生长、发展起来的侯维民 老师参与 MM（HT）实验，非常执着教学实践和理论研究， 成

11、果都非常丰富，他在为 PM提供的论文“从数学方法论 看高等代数与中学数学的多种联系” （见天水师范学院 MM 课题组为 PM会议提供的论文集）中分析了高等代数与中 学数学 4 个方面的联系： 一是知识方面， 如由中学的多项式 到多项式理论，由一元一次、二次方程到 n 次方程，由二元 一次、 三元一次方程组求解到一般线性方程组， 进而是行列 式、矩阵，由实数、复数到群、环、域，由平面向量到向量 空间，由平几、立几到高维欧氏空间等；二是思想方面的联 系，如抽象化思想、化归思想、分类思想、结构化思想等， 由浅入深、由零散到系统，由隐而显，由自发到自觉的运用 和发展；三是数学方法方面，如逻辑推理进一步

12、严格化，公 理方法、坐标方法、变化方法、构造性方法等，都在中学的 胞芽上成长起来；四是观点方面，如价值观、数学本质、无 穷观等方面 3.2 注重改进教学的方式方法 现在高等学校的数学教学方式， 多是 “讲授法” ， “教授” 之名由此而来，其中，少数人用启发式讲授，多数人则是 “灌” ，优点是上课密度大现在高等数学（包括高等代数） ， 大多数学科课时严重不足，非用此法难以完成“任务” 在 学生中流行这样的歌谣： “上课记笔记，下课对笔记，考试 背笔记 ” 有的学生说， 下课消化一节课老师讲过的 “讲义” ， 每页都和钢板一样，难得翻过去应当说，除了一些名师、 名教授的讲课精彩异常，学生爱听、效

13、果极佳以外，多数的 注入式讲授，学生听着乏味（往往有这种情况：学生很容易 懂的，他絮絮叨叨，讲个没完，而大家不懂的，大张耳朵想 听懂， 他往往是一翻而过原因嘛， 很可能是大家不明白 的，他也不明白！ ） ，因此“效果”极差，全靠下去自己钻研， 与学生讨论：可是， “大好时光他全占去了” ！ 我们高等数学教学的方式方法，再也不能“老子天下 第一” 、 “以不变应万变”了应当听听学生的声音，以人 （学生的学习、发展）为本至于如何改，我想，可以向名 师（华罗庚、哈尔莫斯，原北京师范大学校长傅种孙，据 我了解，还有北京师范大学的王世强、刘绍学、严士健， 院士王梓坤，武汉大学的齐民友，南京师大的单墫，等

14、等， 都既是数学家，又是教学有方的名教授）学习也可以借 鉴 MM 方式的成功经验 如濮阳教育学院 MM 课题组的教 师们，按“教学、学习、研究”同步协调原则，把研究生 的上课方式，引入了本科生的课堂，效果非常地好学生 们自己还成立了“MM（HT）课题组” 该校常瑞玲老师 运用这种方法，加上用数学方法论思想进行的良好的教学 设计，一节课就突破极限教学的-语言难关，通过测试表 明，几乎所有同学都基本掌握了相关内容这在一个时间 内， “极限难”的叫喊声四起，很多人在计划“革除它” 、 “取代它”的情况下，是十分难能可贵的，同时也说明，数 学中许多“传统难点”是人为的，是教法不当所致，是可 以突破的突

15、破了，就成为珍贵的数学思想资源 总而言之，MM 方式（以及它的发展 TEC 和 GH） ，是 中国数学家、数学教育工作者（包括王梓坤、徐利治、林夏 水、刘绍学、钟善基等数学家、教育家在内）组成的全国 MM 课题组近 20 年实验研究（在傅种孙、波利亚研究的基 础上）的成果，是具有中国特色的教育方式，我们要克服种 94 数 学 教 育 学 报 第 16 卷 种（特别是那种对自己同胞的东西不以为然的）思想障碍， 不妨去研究研究，用一用事实上， “她们”还很不成熟， 等着我们（包括阁下）去帮助、完善 3.3 高校数学教师也有三项更新的任务 我们高校的数学教师， 也有个三项更新 （丰富和更新知 识，转

16、变陈旧观念，完善和增进技能）的任务，如学点数学 哲学和数学方法论，树立正确的数学观（对数学对象、数学 特点、数学本质、数学价值等的认识） 据我们了解，我国 广大数学教师，多持有潜无穷观，而用这种无穷观对待“数 学分析” 、集合论等，往往不能自圆其说建议读一读徐利 治先生的 徐利治论数学方法学 ， “双相无穷观” 很值得我 们研究又大多数人的“教学观” 、 “学生观”不正确，不承 认学生是学习的主体，不相信他们有自学、研究的能力我 们很多人，至今还抱住“线性思维”不放，不承认学习系统 是个复杂性适应系统，须进行混沌控制还有，我们的研究 能力， 特别是数学研究的能力如何？有没有研究和发现 （哪 些

17、是再发现）的经历？我们的文章写得怎么样？ 肯于深入地反思，就会产生自知之明 参 考 文 献 1 运怀立，杨之MM 教育方式与当代数学教育J数学教育学报，2005，14（4） ：7477 2 魏立平谈谈数学教师专业化培养的改革J数学教育学报，2006，15（2） ：9799 3 林夏水从 MM 教育方式到 TEC 教学方式J数学教育学报，2007，16（1） ：13 4 吴勤文，杨世明对“TEC 教学”基础的反思J数学教育学报，2007，16（1） ：2124 5 郑兆顺 “MM（HT） ”实验是高师数学教育改革的成功尝试J数学教育学报，2007，16（2） ：4244 6 魏芙蓉GH 数学教育

18、方式MM 教育方式的新发展J数学教育学报，2007，16（2） ：4547 7 杨世明，王雪芹数学发现的艺术M青岛：中国海洋大学出版社，1998 8 曹一鸣，王竹婷数学“核心思想”代数思维教学研究J数学教育学报，2007，16（1） ：811 9 许以超代数学引论M上海：上海科学技术出版社，1966 Meaning of Forming and Developing Mathematics Quality of Advanced Algebra and Teaching Strategy WANG Yu-hang (Mathematical Science College, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China) Abstract: Advanced algebra was able to develop students not only abstracted thought but also formalized thought, to