1.2数列的函数特性

1、数列中an与sn的关系,普通高中课程标准实验教科书数学 必修五 第二章数列,【课前回顾 夯实基础】,我们前面已经学过等差数列、等比数列,（1）可以由 an=f（n），求出Sn,（2）可以由 Sn=f（n）， 求出an,例如: 等差数列中有 等比数列中有,例如: 已知Sn=n2+4n ,可以求an,若含有an与Sn的关系式，如何求出an或Sn呢？,问题？,清华大学准备拿出一定的经费m万元，奖励参与科研获奖的学生，奖励方式如下： 第一名得全部奖金的一半多一万元， 第二名得剩下的一半多一万元， 以名次类推都得到剩下的一半多一万元， 假设获得第n名的同学获得奖金数为an元，其中n=1，2，3 ， 前n

2、名次的同学获得奖金总和为Sn元。 你能利用数列知识建立一个数学模型，来解决你可以拿多少奖金这个问题吗？,【问题引入 数学建模】,清华大学校方准备拿出一定的经费m万元，奖励参与科研获奖的学生，奖励方式如下： 第一名得全部奖金的一半多一万元， 第二名得剩下的一半多一万元， 以名次类推都得到剩下的一半多一万元， 假设获得第n名的同学获得奖金数为an元，其中n=1，2，3 ， 前n名次的同学获得奖金总和为Sn元。 你能利用数列知识建立一个数学模型，来解决你可以拿多少奖金这个问题吗？,【问题引入 数学建模】,数学建模 就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。,或

3、,【知识总结 夯实基础】,一、项式 an 与和式sn的关系,探究问题： 已知an与Sn的关系式，求an或Sn。,例1、若数列an的前n项和 ， 求该数列的通项an。,（一）已知an与sn的关系，求an,【典型例题 问题探究】,例1、若数列an的前n项和 ， 求该数列的通项an。,（一）已知an与sn的关系，求an,【典型例题 问题探究】,? 这是一个什么类型的问题？,?如何实现从条件到结论的转化？,?怎样转化？,类型,求数列通项an,已知条件为an与sn的关系式,特征,转化,Sn,an,例1、若数列an的前n项和 ， 求该数列的通项an。,解：当n=1时，,得,当n 2时，,即,则有,例1、若

4、数列an的前n项和 ， 求该数列的通项an。,解：当n=1时，,得,当n 2时，,即,则有,数列an是首项为 ，公比为 的等比数列，,首项为a1,例1、若数列an的前n项和 ， 求该数列的通项an。,【变化条件 突破难点】,变式1：若将上述条件改为 ，且 如何求该数列的通项an。,变式2：若将上述条件改为 且 你能用几种方法求该数列的通项an,请比较条件的细微不同， 对所求的结果有何影响？,变式1：若将上述条件改为 ，且 如何求该数列的通项an。,由-得：,an=,解：依题意得：,得：,即,数列an从第二项起，是首项为 a2 ，公比为4/3 的等比数列，,【变式条件 突破难点】,变式2：若将上

5、述条件改为 且 你能用几种方法求该数列的通项an,方法1：作差法： an=sn-sn-1(n 2),【变式条件 突破难点】,数列an从第二项起，是首项为 a2 ，公比为4/3 的等比数列，,变式2：若将上述条件改为 且 你能用几种方法求该数列的通项an,方法2： 作商法：,【变式条件 突破难点】,变式2：若将上述条件改为 且 你能用几种方法求该数列的通项an,方法3：迭代法： 探究下列方法，请填空：,【变式条件 突破难点】,？,？,变化 2 ：若将上述条件改为 且 你能用几种方法求该数列的通项an,【变式条件 突破难点】,方法4：递推法： 探究下列方法，请填空：,变式2 ：若将上述条件改为 且

6、 你能用几种方法求该数列的通项an,【变式条件 突破难点】,方法5：构造法：,再转求an即可。,变式2：若将上述条件改为 且 你能用几种方法求该数列的通项an,方法1：作差消Sn法： an=sn-sn-1(n 2),方法2： 作商法：,方法5： 消an法（间接构造新数列）：,【变式条件 突破难点】,方法3：恒成立的思想（迭代法）,方法4：恒成立的思想（递推法）,例2、若数列an中a1=1，前n项和 sn满足： , 求sn。,【典型例题 问题探究】,例2、若数列an中a1=1，前n项和 sn满足： ,求该数列的通项an。,解：由,得,则有,即：,【典型例题 问题探究】,数列 是首项为1 ，公差为

7、-2的等差数列，,类题演练：若数列an中a1=1，前n项和 sn满足： , 试问 是什么数列，并求sn。,例2、若数列an中a1=1，前n项和 sn满足： , 求sn。,【典型例题 问题探究】,清华大学校方准备拿出一定的经费m万元，奖励参与科研获奖的学生，奖励方式如下： 第一名得全部奖金的一半多一万元， 第二名得剩下的一半多一万元， 以名次类推都得到剩下的一半多一万元， 假设获得第n名的同学获得奖金数为an元，其中n=1，2，3 ， 前n名次的同学获得奖金总和为Sn元。 你能利用数列知识建立一个数学模型，来解决你可以拿多少奖金这个问题吗？,【数学模型 解决问题】,若到了第10名恰好资金分完了，那么清华大学校方共拿出多少万元资金进行奖励？,- ，得：,【数学模型 解决问题】,解得：m=2046,故清华大学校方共拿出2046万元资金进行奖励。,消sn法：,【数学模型 解决问题】,消an法：,【类题演练方法发散】,练习已知等差数列an的前n项和是Sn，a1=1，S3=6，正项 数列bn满足： ，求bn的通项公式。,练习2,【方法小结 类题通法】,一、项式 an 与和式sn的关