高等数学第五章定积分及其应用

1、一 定积分的概念 二 定积分的简单性质 三 定积分的计算 四 定积分的应用 五 广义积分和函数,第五章 定积分及其应用,定积分的演示,背景来源面积的计算,！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积,？一般图形的面积是什么,我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转）,“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分,5.1.1两个实际问题,1. 曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成 ,求其面积 A .,矩形面积,梯形面积,5.1.1 定积分的概念,解决步骤 :,1) 分割.,在区间 a , b 中

2、任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2) 近似.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底 ,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3) 求和.,4) 取极限.,令,则曲边梯形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分的演示,1、分割 将a，b分割为n个小区间,2、取介点 在每个小区间上任取一点i,3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(i)代替,4、作和：S=,y,x,定积分的演示,1、分割 将a，b分割为n个小区间,2、取介点 在每个小区间上任取一点i,3、局部以直

3、代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(i)代替,4、作和：S=,5、取极限,a b,y,x,2. 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,解决步骤:,1) 分割.,将它分成,在每个小段上物体经,2) 近似.,得,已知速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,n 个小段,过的路程为,3) 求和.,4) 取极限 .,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同 :,“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.1.2 定积分概念,任一种分法,任取,总趋于确定的极

4、限 I ,则称此极限 I 为函数,在区间,上的定积分,即,此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积 .,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分,变量用什么字母表示无关 ,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,可积的充分条件:,例1. 利用定义计算定积分,解:,将 0,1 n 等分, 分点为,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注 目录 上页 下页 返回 结束,注 利用,得,两端分别相加, 得,即,例2. 用定积分表示下列极限:,解:,机

5、动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,根据定积,分定义可得如下近似计算方法:,将 a , b 分成 n 等份:,(左矩形公式),(右矩形公式),(梯形公式),为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森,机动 目录 上页 下页 返回 结束,公式, 复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.,性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。,5.2 定积分的简单性质,性质3 若在区间 a , b 上 f (x)K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 a , b 内的任一点，则,当 a , b , c 的相对位

6、置任意时, 例如,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质5 如果在区间 a , b 上 ，f (x) g (x)，则 性质6 设在区间 a , b 上 （ab），函数 f (x) 的最大值 和最小值分别是 M 和 m，则,性质7 积分中值定理 定理：设函数 f (x)在闭区间 a , b 上连续， 则在 a , b 上至少存在一点 使 或可写作,称为函数 f (x) 在 a , b 上的平均值,例1. 试证:,证: 设,即,故,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解: 已知自由落体速度为,故所求平均速度,机动 目录

7、上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 定积分的定义, 乘积和式的极限,2. 定积分的性质,3. 积分中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续函数在区间上的平均值公式,一、引例,在变速直线运动中, 已知位置函数,与速度函数,之间有关系:,物体在时间间隔,内经过的路程为,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,5.3 定积分的计算,则积分上限函数,证:,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1. 若,5.3.1 牛顿 莱布尼兹公式,说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,机动 目录 上

8、页 下页 返回 结束,例1. 求,解:,原式,说明 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,确定常数 a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,例3.,证明,在,内为单调递增函数 .,证:,只要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,( 牛顿 - 莱布尼兹公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,根据定理 1,故,因此,得,定理2.,函数 ,则,例1. 计算,解:,例2. 计算正弦曲线,的面积 .,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解: 设开始刹车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶

9、 , 其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需要减,设汽车以等加速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,车到停车走了多少距离?,内容小结,则有,1. 微积分基本公式,积分中值定理,微分中值定理,牛顿 莱布尼兹公式,2. 变限积分求导公式,公式 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.,设,求,二、定积分的分部积分法,不定积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,5.3.2 定积分的换元法和,分部积分法,第五章,定理2 （定积分的换元公式） 设函数 f (x)在区间

10、a , b 上连续；函数 在 上单值且有连续导数；当 时，有 ，且 则,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,例3.,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3 （定积分的分部积分公式） 设函数 u (x) , v (x) 在 a , b 上有连续导数，则,例4. 计算,解:,原式 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 设,求,解:,(分部积分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,2.,右端,试证,分部积分积分,再次分

11、部积分,= 左端,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 f (x)在区间-1, 2上不连续。利用定积分性质4，把在区间-1, 2上的积分分成两个区间-1, 0和0, 2上的积分。,3 计算 其中,注意 在积分 中，相当于定义 f (0) = 1，而题,中 f (0) = 0 ，这并不会改变定积分的值。实际上可以证明，改变被积函 数在有限个点上的值都不会改变定积分的值。,解 方程 x22x3 = 0有两个实根1和 3 ，根据一元二次不等式的判别，函数 x22x3 = 0在-2, 3上分为两部分，在-2, -1取正值，在-1, 3上取负值，所以,4 计算,于是,5 设 求,解,解 我们有,根据定

12、积分的分部积分法，可得,6 已知 f()2， 求 f(0).,根据已知条件，得 2 f(0)5,所以,所以 f(0)3,用定积分概念解决实际问题的四个步骤：,5.3 定积分的应用,定积分应用的微元法：,微元法中微元的两点说明：,直角坐标情形,一、平面图形的面积,A,用微元法建立曲边梯形面积A的计算公式：,仿此可得（图1）的面积：,A,y,x=f(y),（图2）的面积：,（图1）,（图2）,（图3）的面积：,x,y=f(x),（图3）,另解,选 为积分变量,例1. 计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,5.4.1平面图形的面积 1 直角坐标系中平面图形的面积,例2

13、. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,先求两曲线的交点。,例3. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲边扇形面积元素,曲边扇形的面积公式,3. 极坐标方程的情形,解,由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。,对应 从 0 变,例4. 计算阿基米德螺线,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到 2 所围图形面积 .,例5. 计算心形线,所围图形的,面积 .,

14、解:,(利用对称性),心形线 目录 上页 下页 返回 结束,心形线(外摆线的一种),即,尖点:,面积:,弧长:,参数的几何意义,例6. 计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解: 利用对称性 ,所求面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 求双纽线,所围图形面积 .,解: 利用对称性 ,则所求面积为,思考: 用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,旋转体由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体这条直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,1. 旋转体的体积,5.4.2旋转体的体积,旋转体的体积公式,解,另解,例7. 计算

15、由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.4.3 变力作功,二、无界函数的广义积分,常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的广义积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,广义积分,5.6 广义积分和函数,第五章,5.6.1 广义积分,引例. 曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,1 连续函数在无限区间上的积分,定义1. 设,若,存在 ,则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,记作,这时称广义积分,收敛 ;,如果上述极限不存在,就称广义积

16、分,发散 .,类似地 , 若,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定义,( c 为任意取定的常数 ),只要有一个极限不存在 , 就称,发散 .,并非不定型 ,说明: 上述定义中若出现,机动 目录 上页 下页 返回 结束,它表明该广义积分发散 .,引入记号,则有类似牛 莱公式的计算表达式 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算广义积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,分析:,原积分发散 !,注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .,例2. 证明第一类 p 积分,证:当 p =1 时有,当 p 1 时有,当

17、 p 1 时收敛 ; p1,时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为,当 p1 时, 反常积分发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算广义积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、暇积分无界函数的积分,引例:曲线,所围成的,与 x 轴, y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2. 设,而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称暇积分,收敛 ;,如果上述极限不存在,就称暇积分,发散 .,类似地 , 若,而在 b 的左邻域内无界,若极限,数 f (x) 在 （a , b 上的暇积分, 记作

18、,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称此极限为函,而在点 c 的,无界点常称,邻域内无界 ,为瑕点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定义,下述解法是否正确:, 积分收敛,例3. 计算暇积分,解: 显然瑕点为 a , 所以,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 讨论暇积分,的收敛性 .,解:,所以暇积分,发散 .,备用题 试证, 并求其值 .,解:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.6.2、 函数,1. 定义,2. 性质,(1) 递推公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,(分部积分),注意到:,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课,一、与定积分概念有关的问题的解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、有关定积分计算和证明的方法,定积分及其相关问题,第五章,一、与定积分概念有关的问题的解法,1. 用定积分概念与性质求极限,2. 用定积分性质估值,3.