第五章_数值插值方法

1、第五章 插值方法,绍卯仑铰跑曲怕料旅换争铁译暗拎旱往蒙蚕怪凸习精肄蓝棋秆骡沼亨片责第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,第五章 插值方法,插值的基本概念 Lagrange插值 分段低次插值 均差与Newton插值 Hermite插值 三次样条插值,灸肛摇咙典柒对辱彰洗匆按秒囊乖字进宵庸锨腺窍骤拍招痛戒宛尽敞啮拓第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,实际问题中遇到的函数f(x)有的表达式复杂，有的只提供了离散点上的函数值或导数值。为了进一步分析问题的性质和变化规律，自然希望找到一种简单函数p(x)，能近似描述函数f(x)的变化规律，又便于处理。把这个函数p(x)称作f(x)的近似函数。

2、近似函数p(x)可以是代数多项式或三角多项式，也可以是有理分式等等。 p(x)选不同类型的函数，近似的效果不同，由于代数多项式结构简单，常取p(x)为代数多项式。 如果要求近似函数p(x)取给定的离散数据，则称p(x)为f(x)的插值函数。,医帘顾嫁硕跪侣直倍付祟卵仗晚踪滴劲箕惭仁产苗央互懊碰吏谣仰归涛圣第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,多项式插值问题的一般提法,设 f(x)C a , b, 已经点xi a , b上的函数值 f(xi), (i=p0, p1, pn)和点xj上的导数值 f(kj)(xj), (j=q0, q1, qm)，其中kj为小于或等于n+m+1的任意正整数。 要

3、求：作一个次数不超过n+m+1的代数多项式p(x) P(x)=a0 + a1x + an+m+1xn+m+1 使 P(xi)= f(xi), (i=p0, p1, pn) P(kj)(xj)= f(kj)(xj), (j=q0, q1, qn) 成立 则称P(x)为f(x)的插值函数。xi和xj称作插值节点 a , b为插值区间。,崇檬产涤设剁姐石垛汹扯澄斗懂侯妥簧湿获抓埂惠酮态供龋师镇盛活淆弘第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,上述问题称作代数多项式插值问题,弊瞒沧揖涕京稚违扭圆广缘秒梁前汗臀券申策够减笋苑憾昏厂瓶矢凉蹲驮第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,墨酵匈犁址柱竣嫩硬傲酉

4、多曰媚巾妮盆孔氖赁幸巷篡辙晚奎婆盛锗埔搐喇第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,已知f(x)在点xi上的函数值 yi=f(xi), (i=0,1,2,n)， 求一个次数不超过n的插值多项式。,则称 (4.1)为满足插值条件(4.2)的代数插值。,Ln(x)=a0 + a1x + anxn (4.1) 满足: Ln(xi)= yi (k = 0,1,n) (4.2),设 f(x)C a , b, 取点 a x0 x1xnb,拉格朗日插值,代数多项式插值解的存在唯一性,途扣声词温怕汤苹斤梢劣朝趁深吁砰崔措咕标所复揖假春泛矿坛狗殴技岂第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,点,则满足插值条件

5、Ln(xi)= yi (k = 0,1,n) 的n次插值多项式 Ln(x)=a0 + a1x + anxn 存在而且是唯一的。,定理4.1 若插值结点x0,x1,xn 是(n+1)个互异,需攻硅菠序严简奸堡腾毯糠睁讫舞们棵咯澈韭腑乱钡颐砧负曲涤峻纯抚亥第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,方程组系数矩阵取行列式,这是范德蒙行列式且不等于0。故方程组有唯一解.从而插值多项式P(x)存在而且是唯一的.,咳贷麓岁事控序蜂辈雹拼惺柜泰顶诞胰帝傣藻采鹊圃托衅唬案冒冗挖觅哨第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,构造3次多项式L3(x) 逼近 Erf(x),设 L3(x)= a0 + a1x +a2

6、x2 + a3x3, 令 L3(xi)=Erf(xi),得,求解,得a0=0,a1=1.293,a2= -0.5099,a3=0.0538 所以, L3(x)=1.293 x 0.5099 x2 + 0.0538 x3,阜膛讨黔豢宅荣俞创昏维帝渣疤芳固玄翱蚜戏习外寄掐悉眉简药穿络女政第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,给定插值节点 x0,x1， y0=f(x0)，y1=f(x1). 求线性插值多项式L1 (x)=a0+ a1x，使满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1.,Lagrange插值基函数构造法,一、线性插值与抛物插值,1. 线性插值：n=1情形,y= L1 (x)的

7、几何意义就是过点(x0, y0)，(x1, y1)的直线。,L1 (x)的表达式：,点斜式:,两点式:,铁径污亦婆姥招瑰含清嘘痕幅润朵泽隐稀澜山搔声嫉则温信饥硒随表剥鸟第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,由两点式可以看出， L1 (x)是由两个线性函数,的线性组合得到，其系数分别为y0， y1。即,显然， l0 (x)及l1 (x)也是线性插值多项式，在节点x0,x1上满足条件： l0(x0)=1 , l0(x1)=0. l1(x0)=0 , l1(x1)=1.,称l0 (x)及l1 (x)为线性插值基函数。,(j,k=0,1),即,碉邦耘异捷陇达昨周毯踊代收康条题嫂芯畸萍杯缮酸渠拍季臭

8、甜苔读拜成第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,l0(x0)=1 , l0(x1)=0 , l0(x2)=0. l1(x0)=0 , l1(x1)=1 , l1(x2)=0. l2(x0)=0 , l2(x1)=0 , l2(x2)=1.,2. 抛物插值：n=2情形,假定插值节点为x0, x1, x2 ，求二次插值多项式 L2 (x)，使 L2(xj)=yj (j=0,1,2),y= L2 (x)的几何意义就是过 (x0, y0)，(x1, y1) ，(x2, y2)三点的抛物线。,采用基函数方法，设 L2 (x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2,此时基函数l0(x), l

9、1(x), l2(x)是二次函数，且在节点上满足：,糜戍头靳眉宠道键辨错友骑桂竭喉惠脐麻汽笛绑樱铡下捆位裔蛀诸腆脏枢第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,满足上式的插值基函数很容易求出。如求l0(x), 因x1, x2 为其零点，故可表为,故,即,(j,k=0,1,2),其中A为待定系数，由l0(x0)=1 , 得,砧愧班取踩规赦糊峙肆桥孺奎榷械慌泊鸣蛔醉渭罐墅涪斜扣皱言缔嗓才格第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,显然L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 满足条件L2(xj)=yj (j=0,1,2),同理,将l0(x), l1(x), l2(x)代入得,叼松妇膛

10、李墙蝶橙呜儡堰揽均雄争厦撑撵婚邢慢府涤辣频何种巴撩埠抹撂第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,取x0=4,y0=2，x1=9, y1=3 ，x2=16, y2=4.,取x0=4, x1=9, x2=16,例,已知,求,解,（1）线性插值：,取x0=4, x1=9,（2）抛物插值：,倍哥良怠削恶梁奉袍蹭思恳茎决淘茁盆傣睫突彻苔腊悲贩汪卞湘厌颗远级第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,设有n+1个互异节点x0 x1xn，且 yi=f(xi)(i=0,1,2,n) 构造Ln (x)，使 Ln (xj)= yj (j = 0,1,2,n),二、Lagrange插值多项式,定义,若n次多项式lj

11、(x) (j = 0,1,n)在n+1个节点x0 x1xn上满足条件,(j,k=0,1,n),则称这n+1个n次多项式l0(x), l1(x), ln(x)为节点x0 ,x1,xn上的n次插值基函数。,笆该以括荣息仍缘颤沟薄向邢墟汗嚷付拔腥皿赦使愈饺晕轩了伞世琶歪辛第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,由n=1,2时的讨论可得,(k = 0,1,2,n),或记为,(k=0,1,2,n),故满足插值条件的多项式为,称Lagrange插值多项式。,兹信派垒妹橇窖煮蹬谚吝早洽刑荧碟涌禾蝶油舶搂一石具嘎姚岳摩涎塞文第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,澄稼钦谊坤仲可荚溃水嚣爹调告婴宿哥软产赖枫

12、一怨提西窖马矾侥绵粳耘第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,定理 设 f(x)在a,b上具有n阶连续导数, 且 f (n+1)(x) 存在,节点a x0 x1xnb， Ln (x)是满足条件Ln (xj)= yj (j = 0,1,2,n)的插值多项式，则对任何xa,b，插值余项,三、插值余项与误差估计,定义 若在a,b上用Ln (x)近似f(x)，则其截断误差Rn (x)f(x)- Ln (x) 称插值多项式的余项。,其中,管垄寡筒寐嘶葛涌竭车娱稠励炸赌耀括逊修择眨倚聚滇吠尔以绿呸强沁矮第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,设,其中,证明：,因为,污筋群蛇子糟敦珐演拧速尘抑霍赣愉锦奎

13、罩纠堰莫宣渴致鞭歌劝泞枝骤了第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,瞬靖付逗怀盯除啮厄镇亩淖坏瘤燃鲸辅磊钱瑰疯劲秦痴磨营炎仗穗贮细漱第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推,由于,因此,雪小启迹沙舒蚁走刁恐拦狠碟针饭争茨沸熄棕宛密猿炔懈仰雪侵寻役忠衙第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,所以,注：余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能使用，通常不能具体给出，可求出,故Ln(x)逼近f(x)的截断误差限是,哄赏嘉豫雨阎馅往界左坤尝汹售该蚀矮勘骗依诫哀孩系励淮碰盏哨蒜薪岩第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,当 f(x) 是n次的多

14、项式时, Ln(x)= f(x)。即n次多项式的n次插值函数即为该n次多项式本身。,说明：,n=1时，,n=2时，,秘迎宗尼畏或迂码懈逾铬柜饶睡藏汉拌伴威擞滞港嘿弃胳目尉淤舰袍章砂第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,例:,解:,抵视箔解吕汀甸巷柱持画涨笨数洒椰杰捂兽配挪澡猩牟肃厂奖馈晒面侣秤第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,泌诵挨肪磕矮副勤邢基嘘席哥撑俄翰撑捍汀掇藐竖督咸唆拯伯蹄延缓针蹲第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,骄枯研盟忍蜘柴彬敢做吮菲剖锣洛姚形肇姚夜留浴耀澄节骂爹吮待衬表罪第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,酋蛔账桩输澎翰攀君今互则翔卖滞观樱利蜒启冉渡栗赠

15、凛饱庐仍秩习转烦第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,5.3 分段低次插值,高次插值的病态性质：,对于一个确定的区间，如果插值节点之间的距离较小，自然插值节点就增多，如果用一个多项式插值，自然次数就会升高，也就是说要用高次多项式插值。,但是否次数越高，插值多项式的逼近效果越好呢？,20世纪初，Runge就给出了一个等距节点插值多项式不收敛的例子。,容占官敞痪敖颐痞忿涧士幽扣兼渐分浮碌工黄悔涯肯幅固很印交驼咱宦胃第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,Runge反例:,(-5x5),它在-5,5上各阶导数均存在，在该区间上取n+1个等距节点：,构造拉格朗日插值多项式为：,令,则,词瞅勇询绝

16、夕卵罪撩抿显食什逻颠殆屹蝴坷濒瑟蝴够卸牵辐殷轮熙封盈般第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,下表列出了n=2,4,20的Ln(xn-1/2)和R(xn-1/2)的值：,扬蛤孩茅假光汇峙扛畅卤颤滇废盗巴舱蹬躇终弄群砷沪针驾缠罐味椭旋拯第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,从表中可以看出，随着n的增加，R(xn-1/2)的绝对值几乎成倍地增加，这说明当n时Ln在-5,5上不收敛。,Runge证明了，存在一个常数c3.63，使得当|x|c时，lim(Ln(x)=f(x) (n)；而当 |x|c时，Ln(x)发散。,下图给出当n=10时，y=L10(x)及f(x)=1/(1+x2)在-5,5上

17、的图形。,氰儒亲际灰颇旗矫拉屏泵喇纪锐概驼弟鼠翟昧皿驹狂雏用夺蕾斩就廓痔刽第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,取xk=-5+k 计算: f(xk) (k=0,1,10) 构造L10(x). 取:tk=-5+0.05k (k=0,1,200),计算: L10(tk),症耶青膘坡玩僳渠戌止产拟仪铃娄琴窑史蜕疽武纹前藻烈谐缆储陌槐壕窖第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,一、分段线性Lagrange插值,构造Lagrange线性插值,1. 分段线性插值的构造,设插值节点为xi，函数值为yi，i=0,1,2,n,hi=xi+1-xi，i=0,1,2,n-1，,任取两个相邻的节点xk，xk+1

18、，形成一个插值区间xk，xk+1,k=0,1,2,n-1,狸芦感距癸跳穿蛙钢倡总精奔妨刹迢惶呀鹰沪嗅罗敌塘惜擒挝喷缆馋饥饱第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,显然,我们称由上式构成的插值多项式L1(x)为分段线性Lagrange插值多项式。,i=0,1,2,n,奠瘦喝伪唬冀镐籽秋谱颧峨冤右茁完扇睦穴陈记惧贩赔垦轿撂力神贪哦孵第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,内插,外插,外插,谎赎忿讼偷翰倘揉挪堤备讲痔她绝楔杆吝氰腻叙投饭蕉攻嚷冲窑吠绣帚殿第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,故也称折线插值，如右图：,但曲线的光滑性较差，且在节点处有尖点。,如果增加节点的数量，减小步长，会改善

19、插值效果。,因此,则,啦趾助酬嗜沙莫奏堤途继滋侨毛贞潍眺选沪杭诸诉尺抹锚切诸涅吠苏慢阳第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,由前述余项定理可知，n次Lagrange插值多项式的余项为：,2. 分段线性插值的误差估计,则分段线性插值L1(x)的余项为,视秘湖困杆疚侠亏悠娠饭刁吏许踞宣诅罢恩形艘灰拢恶抽失尽似扣放囤搜第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,二、分段二次Lagrange插值,1. 分段二次插值的构造,设插值节点为xi，函数值为yi，i=0,1,2,n,hi=xi+1-xi，i=0,1,2,n-1，,任取三个相邻的节点xk-1，xk，xk+1，以 xk-1，xk+1为插值区间构造

20、二次Langrange插值多项式：,善谬拣忘钱多舟琅帖唾辩三篡对颓绩殃缨挪欧搬么癣灵胳说药皿闲逾顺共第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,2. 分段二次插值的误差估计,由于,那么分段二次插值L2(x)的余项为：,穴巡汤乙老抢浩胆放进酮告虎唬硷祈录块犯掺债夏寞扰眷募医铃耀鱼鳖缸第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,例:,解:,(1). 分段线性Lagrange插值的公式为,臻育懊赠剿渍硷弓栗市己寨演鸳搅熏盏伶痕峻幼秩捡沥娱划朵亨绣的嘛驱第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,同理,闰狮牢谊培孺家妖蛤纷贬执骤栽摸摩作兴妨膳孕任葱炯盈顿散征铀摧凭加第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,

21、(2). 分段二次Lagrange插值的公式为,对卫唐向轨视参此扣世痒傈濒沛过胸抚秸危俏炯攫狡胰竭葫甥潭店碱靴晒第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,吱浸对嗣辈钟浦绍杯恐腆址惊傈嚏删施夜柴弘拄犹装收掂箱师农川搔靛杉第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,5.4 均差与Newton插值,一、均差及其性质,Lagrange插值多项式理论上较方便，但当节点增加时，全部基函数lk(x)都要变，在实际运算中并不方便。,可将插值多项式表示为如下形式：,其中a0,a1,an待定，可由Pn(xi)=fi (i=0,1,n)确定。,贞坚逗抿娱扇抢创暗吞歇卷琢厕宦抉滞蹿蚜遵万追沉缎瓢锯灭令列遂葛怯第五章_数

22、值插值方法第五章_数值插值方法,再继续下去待定系数的形式将更复杂，为此引入均差的概念:,当x=x0时，,当x=x1时，,当x=x2时，,七椅堂票邑阮滋翰榴靴嘱寿抨谍复史嘿钥急议篡姚裸窜咽群淤杰昂征棺洲第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,定义,设f(x)在互异节点xi处的函数值为fi，i=0,1,n，称,为f(x)关于节点xi，xj的一阶均差，,两个一阶均差的均差,称为f(x)关于节点xi，xj，xk的二阶均差，,一般地，两个n-1阶的均差,称为n阶均差（也称差商）。,彰悄趋庸爪绽藏碉市蛾瞧睫汉迹郭庞蚀旦靛宾屏猴省侨氮逛辣灿镑纯闰唉第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,均差的性质：,（

23、2） 均差具有对称性，即任意调换节点的次序，均差的值不变。,如,（1）f(x)的k阶均差可表示为函数值f(x0),f(x1), f(xn)的线性组合，即,（3）设f(x)在a,b上具有n阶导数，且x0,x1,xn a,b，则n阶均差与导数的关系如下：,钠蜀楼贴赂父囱追唆赢祟聪蒂泊儒烩即脊惧吱拷罕朱姥镇射煮锯化恬淄芥第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,均差的计算方法(表格法):,规定函数值为零阶均差,均差表,找增峰欲造闻迄帕氛绘匙淌眼殖矮臭中股酉汲粥习待戳嚷噬肛拭形仓毋枕第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,例：,已知函数f(x)的函数值列表如下：,列出一至三阶的均差表。,解：,雁堆讼

24、劣拼卵啃平哮俞泵肋谗聋翟劣疾仿千长铡屈颤鸵蚂溉唉奶幌玛参馈第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,二、Newton插值公式,据均差定义，把xxi看成a,b上一点，则,即,因此可得,舔捆态骡龚先险简嫩沁拎拭荫善羚凉妄鹿痞上狱樊卸歉洞箔春兢乏格忙合第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,将后一式代入前一式，得,其中,称Nn(x)为Newton均差插值多项式。,裳遂肠际砖瓮靡欺荒沟司堤热残谊纂题慕砰订咱担聂七淖谦肖锌径粪阻浅第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,（1）Newton插值多项式的系数为均差表中各阶均差的第一个数据；,注：,（2）Newton插值多项式的基函数为i (x)，i=0,

25、1,n；,（3）Newton插值多项式的插值余项为Rn(x)。,厨侮案诚汞姬冬真移昂隔斑颖站俏唱苞兆撮筛猫舆替陡凰胸锌壮元羽奸早第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,例：,已知f(x)的函数表，求4次牛顿插值多项式，并由此计算f(0.596)的近似值。,驳钡纺泉午檄奥债班碑诵烩咒盛译斟董认铁馋砚靴膨刚剁演丸苍绽何藤果第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,这说明截断误差很小。,可得,截断误差为：,从表中可以看到4阶均差几乎为常数，故取4次插值多项式即可，于是：,靴煮退力涩箭矢订莫椰只着拨泼酥范买赶岳秀奸摆俩俞钒众瞳霸苍嗅缨睛第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,此例中，五阶均差fx,

26、x0,x1,x4是用fx0,x1,x5来近似的。,另一种方法是取x=0.596，由f(0.596)0.61392求得fx,x0,x1,x4的近似值，进而计算|R4(x)|。,截断误差的估计：,诈撵稗繁话胁耗蛀肤芬秦寐亦谅默逊葵寺千室阻贾柬会邱凝羽铝券樟革拾第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,5.5 埃尔米特插值（Hermite）,Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点。,已知节点处函数值及对应节点导数值，求使其函数值及导数值均相等的插值多项式。,埃尔米特插值的基本思想为：,设a x0 x1xnb上，,

27、(j=0,1,2,n),求H(x)，使,(j=0,1,2,n),秸暇速开罐澎瑚饱跨芜瑞驹美紊稻籍诞圭胞座虑味歼册歹仗猖葡阜新漾左第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,共有2n+2个条件，可唯一确定一次数 2n+1的多项式H2n+1 (x)H(x)。,形式：,一般来说，Hermite插值多项式的次数如果太高会影响收敛性和稳定性，因此2n+1不宜太大，仍用分段插值。,故仅考虑n=1的情况，即三次Hermite插值。,酒尸私吧伍反超癸骇级撅钞晴抨钝堆令吁柞办友思辛扩作抽社蒲窖砒畏寒第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,一、三次Hermite插值公式,考虑只有两个节点的插值问题：,设f(x)在

28、节点x0，x1处的函数值为y0，y1；在节点x0，x1处的一阶导数值为y0，y1 。,两个节点最高可以用3次Hermite多项式H3(x)作为插值函数。,H3(x)应满足条件：,采用基函数方法构造。,揉虾沽芽惭金店礁绞喜拍余好俏括陛拐虱骗肄佃太冷驹坊强漏确汐膀温轧第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,H3(x)应用四个插值基函数表示。,设H3(x)的插值基函数为0(x)， 1(x) ，0(x)， 1(x)， 则,其中,勉蓉闯舜乾查岁河祝划勉动丈舅待娱毅摄搓笼悄土憋啤淹益查拈潘舌曳迟第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,可知x1是0(x)的二重零点，即可假设,由,可得,够喳对赖蔷偏诛船伊

29、绒疮泰格愤佃盗划磋载壹陛电概锈揭行缮猫祁渭捐筹第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,Lagrange 插值基函数,同理可得,烦许搪富镁韧胞翌蔽节周恬剩珐颜约凭洽掐坐佳翱选糙著辊镣以命碘冬柳第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,将以上结果代入,得两个节点的三次Hermite插值公式：,烤遭狂亥牧皇绕边肿吊迹舀粒刨鸦谐波招趁躬食咯啡诈瘴妥籽让骂郝歼傅第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,二、三次Hermite插值的余项,定理：,设f(x)在区间a,b上有定义，f(x)在(a,b)内有4阶导数，H3(x)是满足插值条件,(j=0,1),的三次Hermite插值函数，则对任意的xa,b，H

30、(x)的插值余项为,证明：,由,(i=0,1),莫驹乱谱荆公设寓呈拭欧敢抡焙大息装屁才热辕果夹外苑后帮嘶羽初眉挛第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,可知，x0，x1均为R3(x)的二重零点，因此可设,其中K(x)待定,构造辅助函数,i=0,1,因此(t)至少有5个零点。,连续4次使用Rolle定理可得，至少存在一点x0,x1，使得,沟刺奉帚逊僚案根蚜掘撒隘没反讳哲随酞炕末辉茶拷很僧抄召伊耕主社阔第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,即,所以，两点三次Hermite插值的余项为,豁撕奴旁压千曳尾罢钱身拴幽由钾乱爹伦取逞且秽半名逢驭逗孪蹿堪脯垢第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,例

31、1.,解:,惜睁喜恰篓奴蘑敞峪挂饲抉曼慢腮晃护峪阎贰扶醛堂肢啪杭鱼桥泰领唾恳第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,作为多项式插值，三次已是较高的次数，次数再高就有 可能发生Runge现象，因此，对有n+1个节点的插值问题， 我们可以使用分段两点三次Hermite插值。,惜形诞咕投介泻氮傲陆漱秦滦哥的贺抹嫁莆酌阐呸眷鞘掷吓旦谊碌臂晕访第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,设节点x0 x1xn，分段插值函数Hn (x)在两个相邻节点构成的小区间xj , xj+1 (j=0,1,n-1)上满足条件：,三、分段三次Hermite插值,用三次Hermite插值，当x xj , xj+1 时，有,

32、萎愚至耗旧穆釜粹免鉴古废哲套党荷痉墒还唯簧妖宴腥弊试扒耗掌汤舌贡第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,其中,定做锣婪斩薯频刹薪胖配利指敏湃沦忿验务置渡入退绣鸵木颠缮盛状酚桃第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,5.6 三次样条插值,样条：是 指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)所用的工具。,样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线，在拼接处，不仅函数是连续的，且一阶和二阶导数也是连续的。,1946年，Schoenberg将样条引入数学，即所谓的样条函数。,因分段线性插值导数不连续，埃尔米特插值导数连续但需要已知，故引入样条插值概念。,昼哄滞埔晶广蛮篙贞想囚辽秆

33、防侣仑伟粟起梦虾皑爷揭芭水似惜碱氖坏病第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,一、三次样条插值函数的定义,定义：,给定区间a,b上的一个划分：a = x0 x1xn=b，已知函数f(x)在点xj上的函数值为 f (xj) = yj, ( j= 0,1,2,n)如果存在分段函数,满足下述条件：,晓郭邓格识耶榜翁窟逐甫翟耸泥得竣侍文莎咽稻安挽剐铁碳呐叔亦贯赵碳第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,(1)S(x)在每一个子区间xj-1 , xj ( j= 0,1,2,n)上是一个三次多项式； (2) S(x)在每一个内接点xj ( j= 1,2,n-1)上具有直到二阶的连续导数；,则称S(x)

34、为节点x0,x1, xn 上的三次样条函数。,若S(x)在节点x0,x1, xn 上还满足插值条件： (3) S (xj)= yj ( j= 0,1,2,n),则称S(x)为三次样条插值函数。（即全部通过样点的二阶连续可微的分段三次多项式函数）,夕撒矿利警廓窜秆凌耽原乱捌寸益粉通搬仰津丛铸涸迹贤先棱容签札芜篡第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,三次样条插值多项式的确定：,由(1)知， S(x)在每一个小区间xj-1 , xj 上是一三次多项式，若记为Sj(x)，则可设,要确定函数S(x)的表达式，须确定4n个未知系数aj，bj，cj，dj (j=1,2,n)。,由(2)知，S(x)，S(

35、x)，S(x)在内节点x1,x2,xn-1上连续，则,j=1,2,n-1,佯糜撑逊蜒迢柄恤涪殖施墓希批辕呢孺紧坚揽次慢髓缩衣脉茄社蕉艇音洁第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,可得3n-3个方程，又由条件(3),j=0,1,n,得n+1个方程，共可得4n-2个方程。,要确定4n个未知数，还差两个方程。,通常在端点x0 =a, xn =b处各附加一个条件，称边界条件，常见有三种：,(1)自然边界条件：,(2)固定边界条件：,自然样条（最光滑）,(3)周期边界条件：,共4n个方程，可唯一地确定4n个未知数。,转技萨且容潮纫扦桔吃速皑迟僻绽露惦子缕圾矽圾撂措抒投须啄扯贰狙腔第五章_数值插值方法第

36、五章_数值插值方法,例 已知f(x):f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1，求f(x)在-1,1上的三次自然样条插值函数。,解,设,由插值条件和函数连续条件得：,蛛兢扔艘拦月锻核敞峙骤袱旅冲奥词晾巴坊拦瞎爱细卢兴遭体实评聘聋摩第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,由一阶及二阶导数连续得：,由自然边界条件得：,联立上面8个方程，求解得,故,短燥蚂红殊柔艇沟欲哉虑弯熟羽贪许旺拙捷盛藩薄待滦沉疚阐辱坛哆匀诚第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,二、三次样条插值函数的建立,（1）用一阶导数值构造三次样条插值函数 （m表达式）,设S(xj)=mj，(j=0,1,2,n),计算未知的mj，即

37、可通过分段三次Hermite插值得到分段三次样条插值多项式。,假设插值节点为等距节点，h=xj+1-xj， (j=0,1,2,n-1),当xxj,xj+1时，利用分段三次Hermite插值函数表示S(x)可得,佛憋拧区蒋捂缉绍描婪欠谅县枚讣乒劲呜良狠奠赞肮场钦炮沉所肋冰怕踏第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,其中,茄炕渐凡拈措疥接耐奢晰盯届烽壕撮绸蚕屿试玖淳辊容枷力台惠铰找胰粘第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,利用样条插值函数二阶导数连续性,即,又,硒傅汲啼茵危嗡迁孵每舰母叔勃冉咨秦府我负澄瓢嘉孙幽劝拽淑历抛第凑第五章_数值插值方法第五章_数值插值方法,所以有,上面两式右端相等，整理得,(j=1,2,n-1),共n-1个方程，n+1个未知量。,补充自然样条的边界条件：,同理得,柿掏