5.1 概率论.ppt

1、第五章 大数定律及中心极限定理,1 大数定律,2 中心极限定理,第五章 大数定律与中心极限定理,契比雪夫不等式,证明,取连续型随机变量的情况来证明.,切比雪夫不等式,得,切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。 从切比雪夫不等式还可以看出, 对于给定的 0, 当方差越小时，事件|X-E(X)|发生的概率也越小，即X的取值越集中在E(X)附近这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量 当D(X)已知时，切贝雪夫不等式给出了X与E(X)的偏差小于 的概率的估计值,切比雪夫不等式的用途： （1）证明大数定律；（2）估计事件的概率。,若某班某次考试

2、的平均分为80分，标准差,为10，试估计及格率至少为多少？,用随机变量X表示学生成绩，则数学期望E(X),= 80，方差D(X) = 100，所以,P60 X 100 P60 X 100,= P|X 80| 20,所以及格率至少为75%,解,例,已知n重伯努利试验中参数p = 0.75，问至,少应做多少次试验，才能使试验成功的频率在0.74和,0.76之间的概率不低于0.90？,设需做n次试验，其中成功的次数为X，,则XB(n，p)，E(X) = np，D(X) = np(1 p)。,因为,根据契比谢夫不等式应有,解得,解,例,？,“概率”的概念是如何产生的,随 机 试 验,概 率,统 计 数

3、 据,统 计 规 律 性,频 率 稳 定 性,设 次独立重复试验中事件 发生的,随机变量,频率,概率,问题,频率稳定性:,问题背景,？,问题,“频率稳定性”的严格数学描述是什么,问题,？,n重伯努利试验,怎样理解“越来越接近”？,发生的频率为,则,实例,正面朝上,18-19世纪几个有名的“抛硬币”试验,“抛硬币”试验,将一枚硬币连续抛 次,记,频率稳定性:,是随机变量列,分 析,次试验中,试验结果:,设想一下,会不会出现这样的试验结果:,正面朝上,反面朝上,是定义在样本空间,回忆微积分中函数列的收敛,对于随机变量列,是否有,？,发生的次数,上的函数列,定义： 若存在常数a,使对于任何,依概率收

4、敛,则称随机变量序列Xn依概率收敛于a,有,记：,如,意思是:当,a,意思是:,时,Xn落在,内的概率越来越大.,当,而,定理,（伯努利大数定律）设 是 次独立重复试,分析,令,则,相互独立,从而,问,机变量列,且具有相同的数学期望和方差,记,（切比雪夫大数定律）设 为相互独立的随,则 有,定理,回顾切比雪夫不等式,设随机变量 的方差 存在,则 有,概率论历史上的第一个大数定律，由雅可比伯努利于1713年发表的著作猜测术中提出.,在黑板上证明切比雪夫大数定律, 该条件可用 “同分布”来代替,或,（辛钦大数定律）设 是独立同分布r.v列,定理,该定理通常称为 独立同分布大数定律,提供了通过试验来

5、确定事件概率的方法.,是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.,是 Monte Carlo 方法的主要数学理论基础.,大数定律的意义,给出了“频率稳定性”的严格数学解释.,Monte Carlo 方法或称为计算机随机模拟方法、计算机仿真方法是科学与工程中的一种重要工具. Monte Carlo 方法的原理主要基于大数定律.,例,设计算机屏幕上有一矩形区域 不妨设 的面,积为 现用鼠标在 的内部任画一封闭曲线 求 围成,的内部图形 的面积,大数定律的实际应用,-Monte Carlo方法,分析,量(随机点),立、均服从 上均匀分布的随机变,用计算机产生一串相互独,落入 中个数,由伯努利大数定律有,记事件 产生的随机点落入 中,故当 充分大时 的面积,在概率论发展初期，由于概率的数学定义尚未明确，所以缺乏理解概率收敛的理论基础，故把频率“趋于”概率视为经大量试