数学分析 第六章 中值定理1.ppt

1、2020/8/7,1,第六章 导 数 应 用,一、费马引理 ( Fermat ) 二、罗尔 ( Rolle ) 中值定理 三、拉格朗日 ( Lagrange ) 中值定理 四、柯西 ( Cauchy ) 中值定理,1 微分中值定理,2020/8/7,2,一、费马引理( Fermat ),定义1（极值概念）,2020/8/7,3,Fermat定理,定理1,（极值的必要条件）,（可导函数取得极值的必要条件）,【几何意义】,2020/8/7,4,水平切线,【定义】,通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点、临界点）,【几何意义】,1.若曲线在点 处取得极值,2.曲线在点 处具有切线，,则该切线必是

2、水平的.,2020/8/7,5,由极限的不等式性及可导条件立得,所以,证完,【证】,则,定理证明,2020/8/7,6,研究下面两例：,【注】,说明什么问题？,是可导函数取得极值的必要条件,2020/8/7,7,二、罗尔（Rolle）定理,如果 f (x)满足:,则 至少存在(a , b)，使得 f ()=0,2020/8/7,8,【几何解释】,连续、可导、端点值相等函数必有一最值点在区间内部取得。,该最值点必为极值点。,2020/8/7,9,例如,Rolle定理 零点定理,如果 f (x)满足:,则 至少存在(a , b)，使得 f ()=0,2020/8/7,10,【证】,即,有,由Fer

3、mat定理立得,证完,2020/8/7,11,【注意】(1)罗尔定理的条件是充分的，不必要.,反例1,(2)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能成立，也可能不成立.,故若不满足第（2）条：,有不可导点,无水平切线,2020/8/7,12,反例2,不满足第（1）条：,不满足第（3）条：,有不连续点,两端点值不相等,反例3,无水平切线,无水平切线,2020/8/7,13,【例1】,【证】,由零点定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,【分析】,（1）有 存在性,（2）仅一个唯一性,2020/8/7,14,【例2】,设函数f (x)=(x1)(x2)(x3), 试判断方程fx,【解】因为

4、f(1)=f(2)=f(3),且f (x)在1, 2上连续,在(1,2)内可导, 由罗尔定理, 1(1, 2),使 f(1;,同理, 2(, ), 使 f(2 ;,又因f(x 是二次方程, 至多两个实根,故f(x 有两个实根, 分别位于(1,2) 和(2,3)内.,(1)修改:f (x)=(x1)(x2)(x3)(x4), 结论如何?,(2)修改: 不解方程, 问 (x2)(x3)+(x1)(x3) +(x1)(x2)=0,有几个实根, 分别在何区间?,有几个实根, 分别在何区间?,(2) 【提示】是补例的导函数；用零点定理,2020/8/7,15,此条件太苛刻,三、拉格朗日(Lagrange

5、)中值定理,【注意】,【拉氏定理】,至少存在一个(a , b)，使得 f(b) f(a)= f ()(ba),2020/8/7,16,切线斜率,弦AB斜率,2020/8/7,17,【几何解释】,【证明分析】,弦AB方程为,2020/8/7,18,作辅助函数,拉格朗日中值公式,【证】,（要验证）,2020/8/7,19,拉格朗日公式,【注意】拉氏公式精确地表达了函数增量与函数导数之间的关系.,增量y的近似表达式,微分中值定理,微分近似公式,2020/8/7,20,L定理又称为有限增量公式 或 微分中值定理.,拉格朗日中值定理几种等价形式,尽管不知 的精确位置，但已经很有用了，见例：,2020/8

6、/7,21,【推论】,【证】,由假定,证毕,在 上应用拉氏定理得,由 的任意性立知,2020/8/7,22,【例3】,【证明】,推论的应用证明函数为常数函数,同理可证,2020/8/7,23,例4,证明：,2020/8/7,24,拉氏定理应用证明不等式,【例5】,【分析】,据拉氏定理,由 的范围，确定 的范围,从而得到 的范围，变形可 得所求不等式 .,【关键】,将结论写成 的形式，以找出,2020/8/7,25,【证】,由上式得,变形为：,（要验证）,2020/8/7,26,【例6】,【证明】,2020/8/7,27,四、柯西(Cauchy)中值定理,【Cauchy 中值定理】,2020/8

7、/7,28,Cauchy 中值定理,如果 f (x)及F(x)满足,（1）在闭区间a , b上连续；,（2）在开区间（a , b）内可导；,存在(a , b)，使得,（3）对任一x(a , b),F (x)0,证明：分子、分母用Lagrange中值定理得：,？,2020/8/7,29,【几何解释】,【证】,作辅助函数,切线斜率,弦AB斜率,曲线,即,（要验证）,2020/8/7,30,证完,【注意】,(1),即为拉氏中值定理,2020/8/7,31,2020/8/7,32,三个中值定理的相互关系,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,注意定理成立的条件；,2.证明等式与不等式；,【中值定理应用】,1.证明方程根的存在性、唯一性；,3.证明函数为常数函数。,2020/8/