数学新学案北师大版选修课件第三章圆锥曲线与方程模块复习4.pptx

1、第4课时圆锥曲线中最值、定点综合问题,知识网络,要点梳理,知识网络,要点梳理,一、圆锥曲线中的最值与范围问题 在解决与圆锥曲线有关的最值问题时,常规的处理策略是: (1)若具备定义的最值问题,则可用定义转化为几何问题来处理. (2)一般问题可先由条件建立目标函数,再利用函数求最值的方法进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的求法,利用函数的单调性,亦可利用基本不等式等求解. 二、圆锥曲线中的定点、定值问题 解决定点、定值问题的常规处理策略: (1)从特殊情况入手,先求含有变量的定点、定值,再证明这个点(值)与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(值).,知识

2、网络,要点梳理,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)“设而不求”法是解决圆锥曲线综合问题的基本方法. () (2)直线与圆锥曲线的综合问题中,可设直线方程为y=kx+b. () (3)最值问题中,必须考虑函数关系式中变量的取值范围. (),专题归纳,高考体验,专题一范围与最值问题 【例1】 已知椭圆G: +y2=1.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点. (1)求椭圆G的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,反思感悟在利用代数法

3、解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑: (1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系; (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用基本不等式求出参数的取值范围; (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.,专题归纳,高考体验,变式训练1设圆C与两圆(x+ )2+y2=4,(x- )2+y2=4中的一个内切,另一个外切. (1)求圆C的圆心轨迹L的方程;,解:(1)设圆C的圆心坐标为(x,y),半径为r.,|CF1|-|CF|=4. |F1F|=2 5

4、 4,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,(2)由图知|MP|-|FP|MF|, 当M,P,F三点共线,且点P在线段MF延长线上时, |MP|-|FP|取得最大值|MF|,专题归纳,高考体验,专题二定值定点问题 【例2】在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.设椭圆C2:4x2+y2=1.若M,N分别是C1,C2上的动点,且OMON,求证:O到直线MN的距离是定值.,专题归纳,高考体验,反思感悟圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的一个难点.解决这个难点的基本思想是函数思想,可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响

5、的某个值,就是要求的定值.具体地说,就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数,化简消去变量即得定值.,专题归纳,高考体验,(1)求C的方程; (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.,专题归纳,高考体验,(2)设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).,专题归纳,高考体验,【例3】 已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点

6、P,Q,若x轴是PBQ的角平分线,证明直线l过定点.,解:(1)如图,设动圆圆心O1(x,y), 由题意,知|O1A|=|O1M|, 当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交MN于H,则H是MN的中点,专题归纳,高考体验,又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x, 动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.,专题归纳,高考体验,(2)如图,由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 将y=kx+b代入y2=8x中,化简得k2x2+(2bk-8)x+b2=0, 其中=-32kb+640.,即y1(x2+1)+y2(x1+1)=

7、0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 即2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0, 将代入,化简,得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,k=-b,此时0, 直线l的方程为y=k(x-1),直线l过定点(1,0).,专题归纳,高考体验,反思感悟定点的探索与证明问题: (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b,k的等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点. (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.,专题归纳,高考体验,变式训练3若直线l:y=kx+m与椭圆C: =1相交于A,B两点(A,B不是左、右

8、顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点. 求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.,证明:设点A(x1,y1),B(x2,y2),专题归纳,高考体验,以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D(2,0), kADkBD=-1. y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0. 7m2+16mk+4k2=0.,当m=-2k时,l的方程为y=k(x-2),则直线过定点(2,0),与已知矛盾.,专题归纳,高考体验,专题三圆锥曲线中的存在性问题 【例4】 抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,直线x+y-1=0与抛物线相交于A,B两点,且|AB|= . (1)求抛物线的方程; (2)在x轴上是否存在一点

9、C,使ABC为正三角形?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.,专题归纳,高考体验,解:(1)设所求抛物线的方程为y2=2px(p0),设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=2(1+p),x1x2=1.,专题归纳,高考体验,假设在x轴上存在满足条件的点C(x0,0), ABC为正三角形,在x轴上不存在点C,使ABC为正三角形.,专题归纳,高考体验,反思感悟存在性问题的解决方法: 首先假设所探究的问题结论成立或存在符合题意的点、直线,在这个假设下进行推理论证,如果得到了一个合理的推理结果,就肯定假设,对问题作出正面回答;如果得到一个矛盾的结果,就否定假设,对问题作出反面回

10、答.利用这个解题思想解决存在性问题与解决具有明确结论的问题就没有什么差别了.,专题归纳,高考体验,(1)求椭圆E的方程; (2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.,专题归纳,高考体验,解:(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8, 即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 而|AF1|+|AF2|=|F1B|+|BF2|=2a, 所以4a=8,解得a=2.,消去y,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.

11、 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0), 所以m0,=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0, 即4k2-m2+3=0.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,考点一:直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2017课标高考)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为() A.16B.14C.12D.10,解析:方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意. 设直线l1方程为y=k1(x-1),专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,方法二:如

12、图所示,专题归纳,高考体验,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A. 答案:A,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,3.(2016全国乙高考)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.,(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.,专题归纳,高考体验,(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点. 理由如下:,代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点, 所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.,专题归纳

13、,高考体验,解:(1)设F的坐标为(-c,0).,专题归纳,高考体验,(2)设直线AP的方程为x=my+1(m0),与直线l的方程x=-1联立,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,考点二:圆锥曲线中的最值与范围问题,答案:A,专题归纳,高考体验,6.(2016课标乙高考)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围

14、.,解:(1)因为|AD|=|AC|,EBAC, 故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|, 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16, 从而|AD|=4, 所以|EA|+|EB|=4. 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,专题归纳,高考体验,(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为 y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),专题归纳,高考体验,故四边形MPNQ的面积,专题归纳,高考体验,|MC|AB|=23,M的半径为|MC|,OS,OT是M的两条切线,切点分别为S,T,求SOT的最大值并求取得最大值时直线l的斜率.,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,由题意可知圆M的半径r为,专题归纳,高考体验,专题归纳,高考体验,考点三:圆锥曲线中的定点与定值问题,(1)求C的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明l过定点.,解:(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.,专题归纳,高考体验,(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,