唐垂直平分线1

1、,A,B,问题导入,如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距离的A、B两个仓库，要在江岸边建造一个码 头，使它到A、B两个仓库的距离相等，码 头应建在什么位置?,春陵江,线段的垂直平分线 (1),观察：如图，人字形屋顶的框架中，点A 与点A关于线段CD 所在的直线l 对称，你发现线段 CD 所在的直线l 与线段AA 有哪些关系？,已知点A与点 关于直线l 对称,l,A,A,D,2,1,(A),现在把人字形屋顶框架图进行简化得到如下图：,l ：l AA,AD= ：l AA,如果沿直线l折叠， 则点A与点 重合，,所以AD= ，1 = = ,即直线l 既 线段AA，又 线段AA,直线l 就叫做线段AA

2、的垂直平分线,AA,垂直,AD,平分,AD,2,90,垂直,平分,_且_一条线段的直线叫作这条线 段的垂直平分线.,想一想： 线段是轴对称图形吗？ 它的对称轴是什么？,（中垂线）,由上得到线段的垂直平分线的定义：,垂直,平分,用符号语言表示：如图, l ， AC= 直线l 是线段AB 的垂直平分线,垂直平分线,AB,BC,是,N,M,P,探究交流：,O,A,B,（1）在纸上画一条线段AB，再画出线段AB的 垂直平分线 MN；,（2）在线段AB的垂直平分线MN上 任取一点P,连接PA，PB，,（3）测量PA、PB的长度， 你有什么发现？,PA=PB,线段垂直平分线上的 到线段 的距离 .,（4）

3、你能用语言表达这个结论吗？,点,两端,相等,N,M,P,探究交流：,O,A,B,（5）理由：,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,直线MN是线段AB 的 平分线，,沿直线MN折叠，点A与点 重合.,点A与点 关于直线MN对称,从而线段PA与线段 重合,于是PA= .,由此得出线段垂直平分线的性质定理：,垂直,B,B,PB,PB,A,B,P,O,学以致用,如图，在春陵江岸的一侧有相隔一段距离的A、B 两个仓库，要在江岸边建造一个码头，使它到A、 B两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?,春陵江,1.解答前面所提出的问题：,分析：（1）所建造的码头要满足几个条件？,在江岸边,到A、B两个端

4、点 的距离相等,（2）码头位置 应为 与 线段AB的 线的交点p.,江岸边,垂直平分,2.如图，ABC中，AB=9cm,AC15cm，BC的 垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点E， 求ABD的周长,解:, DE是BC的垂直平分线, BD=, ABD的周长 =AB+ +AD,=AB+ +AD,=AB+,=9+ =24(cm),(线段垂直平分线上的点到 线段两端的距离 ),DC,相等,BD,DC,AC,15,相等,（ ）,（ ）,B,A,D,E,C,3.如图，ABC中，ABAC，A36，AC的 垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC. (1)求ECD的度数；(2)若CE5，求BC长,解(1)

5、, DE是AC的垂直平分线, EA=, ECD ,(2),AB=AC A36, B, 0,又BEC +ECA= , B, BC = =,（ ）,(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 ),EC,A,36,等边对等角,ACB,等边对等角,72,72,A,BEC,EC,5,等角对等边,（1）如图，在ABC中，AB的垂直平分线 分别交AB，BC于点D，E，B=30， BAC= 80， 求CAE的度数.,练习：,解, DE是AB的垂直平分线, AE=, BAE ,又 CAEBAC-, - 50,（ ）,等边对等角,BE,B,30,BAE,80,30,1.想一想： “线段垂直平分线上的点到线段两端的距离

6、相等” 的逆命题？,(1) 当点P在线段AB上时，,探究交流,2.证明：已知一点P到线段AB 两端的 距离PA与PB相等，那么点P在 线段AB的垂直平分线上？,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上,l,P,显然此时点P在线段AB的 线上.,因为PA = ， 所以点P为线段AB的 点，,PB,中,垂直平分,（2） 当点P在线段AB外时,因此直线PC是线段AB 的线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上.,PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上,由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：,因为PA =PB， 所以PAB是 三角形.,过顶点P 作PC ，垂足为点C,则AC = .,（ ）,C

7、,到线段两端距离相等的 在线段的 上,几何语言：,等腰,AB,BC,三线合一,垂直平分,点,垂直平分线,例.已知：如图，在ABC中，AB，BC的垂直平 分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O 在AC的垂直平分线上.,分析：,根据“到线段两端距离相等的点在线段的 垂直平分线上”可知需要证明OA= .,OC,证明,点O在线段AB的垂直平分线上,OA=,同理OB=, OA=, 点O 在 的垂直平分线上,OB,OC,OC,AC,相等,(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 ),练习2 已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO.,证明,AC=BC,点C 在线段 的垂直平分线上,AD=BD,点D也在线段 的垂直平分线上,CD为线段 的垂直平分线,又AB与CD相交于点O,AO=,AB,AB,AB,BO,如图，在ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）. A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm,解析,C,DE是AB的垂直平分线， AE=BE(线段垂直平分线上的 点到线段两端的距离相等). 又在BCE中， BE+CE+BC=18cm，BC=8cm， BE+CE=10cm. AC=AE+CE=BE+CE=10cm. 故应选择C.