北师大高中数学12数学证明习题导学案

1、课时 1主备人:张华审核人： ： 第三章第三章推理与证明推理与证明 2.2. 数学证明数学证明 明目标、知重点1.理解演绎推理的意义. 2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系 重：正确理解三段论推理的形式和各部分的含义，能用演绎推理进行一些简单的推理。 难：对常见数学证明书写中的三段论给予严格正确的理解。 1在数学中，证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的定义、公理、定理，利用演绎推 理的法则将命题推导出来 2三段论 大前提 小前提 结论 一般模式 一般性道理 研究对象的特殊情况 由大前提和小前提作出的判断 常用格式 M 是 P

2、 S 是 M S 是 P 探究点一演绎推理与三段论 思考 1分析下面几个推理，找出它们的共同点 (1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电； (2)一切奇数都不能被 2 整除，(21001)是奇数，所以(21001)不能被 2 整除； (3)三角函数都是周期函数，tan 是三角函数，因此tan 是周期函数； (4)两条直线平行， 同旁内角互补 如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角， 那么AB 180. 答问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理 叫演绎推理 思考 2演绎推理有什么特点？ 答演绎推理是从一般到特殊的推理演绎推理的前提是一般性原理，结论

3、是蕴含于前提之 中的个别、特殊事实 思考 3演绎推理的结论一定正确吗？ 答在演绎推理中，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理形式是正确 的，结论必定是正确的 思考 4演绎推理一般是怎样的模式？ 答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括： (1)大前提一般性道理； (2)小前提研究对象的特殊情况； (3)结论由大前提和小前 提作出的判断 例 1将下列演绎推理写成三段论的形式 (1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分； (2)等腰三角形的两底角相等，A，B 是等腰三角形的底角，则AB； (3)通项公式为 an2n3 的数列an为等差数列 解(1)

4、平行四边形的对角线互相平分，大前提 菱形是平行四边形，小前提 菱形的对角线互相平分结论 (2)等腰三角形的两底角相等，大前提 A，B 是等腰三角形的底角，小前提 AB.结论 (3)数列an中，如果当 n2 时，anan1为常数，则an为等差数列，大前提 通项公式为 an2n3 时，若 n2， 则 anan12n32(n1)32(常数)，小前提 通项公式为 an2n3 的数列an为等差数列结论 反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一 个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊 情况的内在联系有时可省略小前提，有时甚至也

5、可把大前提与小前提都省略，在寻找大前 提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 跟踪训练 1把下列推断写成三段论的形式： (1)因为ABC 三边的长依次为 3,4,5，所以ABC 是直角三角形； (2)函数 y2x5 的图像是一条直线； (3)ysin x(xR )是周期函数 解(1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提 ABC 三边的长依次为 3,4,5，而 324252，小前提 ABC 是直角三角形结论 (2)一次函数 ykxb(k0)的图像是一条直线，大前提 函数 y2x5 是一次函数，小前提 函数 y2x5 的图像是一条直线结论 (3)三角函数是周期函数，大

6、前提 ysin x(xR R)是三角函数，小前提 ysin x(xR R)是周期函数结论 探究点二三段论的错误探究 例 2指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)整数是自然数，大前提 3 是整数，小前提 3 是自然数结论 (2)常函数的导函数为 0，大前提 函数 f(x)的导函数为 0，小前提 f(x)为常函数结论 (3)无限不循环小数是无理数，大前提 1(0.333 33)是无限不循环小数，小前提 3 1是无理数结论 3 解(1)结论是错误的，原因是大前提错误自然数是非负整数 (2)结论是错误的， 原因是推理形式错误 大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为 0”， 因此演绎推理

7、的结论也应为“导函数为 0” 1 (3)结论是错误的，原因是小前提错误. (0.333 33)是循环小数而不是无限不循环小数 3 反思与感悟演绎推理的结论是否正确，取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全 部正确，因此，分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确 跟踪训练 2指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： (1)因为中国的大学分布在中国各地，大前提 北京大学是中国的大学，小前提 所以北京大学分布在中国各地结论 (2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形，小前提 所以菱形是正多边形结论 解(1)推理形式错误 大前提中

8、的 M 是“中国的大学”，它表示中国的各所大学， 而小前提 中 M 虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理 形式错误(2)结论是错误的，原因是大前提错误因为所有边长都相等，内角也都相等的凸 多边形才是正多边形 探究点三三段论的应用 例 3如图，在锐角三角形ABC 中，ADBC，BEAC，D，E 是垂足，求证：AB 的中点 M 到点 D，E 的距离相等 证明(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，大前提 在ABD 中，ADBC，即ADB90，小前提 所以ABD 是直角三角形结论 同理，AEB 也是直角三角形。 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边

9、的一半，大前提 因为 DM 是直角三角形 ABD 斜边上的中线，小前提 1 所以 DM AB.结论 2 1 同理 EM AB.所以 DMEM. 2 反思与感悟应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要 引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得 出正确的结论如果大前提是显然的，则可以省略 跟踪训练 3已知：在空间四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，如图所示， 求证：EF平面 BCD. 证明三角形的中位线平行于底边，大前提 点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，小前提 所以 EFBD.结论 若平面外一

10、条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行，大前提 EF 平面 BCD，BD平面 BCD，EFBD，小前提 EF平面 BCD.结论 1下面几种推理过程是演绎推理的是() A两条直线平行， 同旁内角互补， 如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角， 则AB 180 B某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此得高三所有班人数超过50 人 C由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 1 1 D在数列an中 a11，an a n1a (n2)，由此归纳出a n的通项公式 2 n1 答案A 解析A 是演绎推理，B、D 是归纳推理，C 是类比推理 11 2 “因为对数函数

11、 ylogax 是增函数(大前提)， 又 ylog x 是对数函数(小前提)， 所以 ylog 33 x 是增函数(结论)”下列说法正确的是() A大前提错误导致结论错误 B小前提错误导致结论错误 C推理形式错误导致结论错误 D大前提和小前提都错误导致结论错误 答案A 解析ylogax 是增函数错误故大前提错 3推理：“矩形是平行四边形，三角形不是平行四边形，所以三角形不是矩形”中 的小前提是() ABCD 答案B 解析三段论推理中小前提是指研究的特殊情况 4把“函数 yx2x1 的图像是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：_； 小前提：_； 结论：_. 答案二次函数的图像是一条抛物线函数yx

12、2x1是二次函数函数yx2x1的图 像是一条抛物线 呈重点、现规律 1 演绎推理是从一般性原理出发， 推出某个特殊情况的推理方法； 只要前提和推理形式正确， 通过演绎推理得到的结论一定正确 2在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理， 推理的一般模式是三段论，证题过程中 常省略三段论的大前提 【个案补充】 【导学反思】 检查人： 课时 1主备人:张华审核人： ： 2.2. 数学证明（习题）数学证明（习题） 明目标、知重点1.理解演绎推理的意义. 2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系 重：正确理解三段论推理的形式和各部分的含义，

13、能用演绎推理进行一些简单的推理。 难：对常见数学证明书写中的三段论给予严格正确的理解。 一、基础过关 1下列表述正确的是() 归纳推理是由部分到整体的推理； 归纳推理是由一般到一般的推理； 演绎推理是由一般到特殊的推理； 类比推理是由特殊到一般的推理； 类比推理是由特殊到特殊的推理 AB CD 答案D 解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道正确 2下列说法不正确的是() A演绎推理是由一般到特殊的推理 B赋值法是演绎推理 C三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断 D归纳推理的结论都不可靠 答案D 3正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函

14、数，因此 f(x)sin (x21)是奇函数以上推 理() A结论正确B大前提不正确 C小前提不正确D全不正确 答案C 解析由于函数 f(x)sin (x21)不是正弦函数故小前提不正确 4“四边形 ABCD 是矩形，四边形 ABCD 的对角线相等”以上推理的大前提是() A正方形都是对角线相等的四边形 B矩形都是对角线相等的四边形 C等腰梯形都是对角线相等的四边形 D矩形都是对边平行且相等的四边形 答案B 解析利用三段论分析： 大前提：矩形都是对角线相等的四边形； 小前提：四边形 ABCD 是矩形； 结论：四边形 ABCD 的对角线相等 5给出演绎推理的“三段论”： 直线平行于平面，则平行于

15、平面内所有的直线；(大前提) 已知直线 b平面 ，直线 a平面 ；(小前提) 则直线 b直线 a.(结论) 那么这个推理是() A大前提错误B小前提错误 C推理形式错误D非以上错误 答案A 6下列几种推理过程是演绎推理的是() A5 和 2 2可以比较大小 B由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 C东升高中高二年级有 15 个班，1 班有 51 人，2 班有 53 人，3 班有 52 人，由此推测各班 都超过 50 人 D预测股票走势图 答案A 二、能力提升 7三段论：“小宏在 2013 年的高考中考入了重点本科院校； 小宏在 2013 年的高考中只 要正常发挥就能考入重点本科院校； 小宏

16、在 2013 年的高考中正常发挥”中， “小前提”是 _(填序号) 答案 解析在这个推理中，是大前提，是小前提，是结论 8在求函数 y log2x2的定义域时，第一步推理中大前提是当 a有意义时，a0；小前 提是 log2x2有意义；结论是_ 答案y log2x2的定义域是4，) 解析由大前提知 log2x20，解得 x4. 3 9由“(a2a1)x3，得 x 2 ”的推理过程中，其大前提是_ a a1 答案a0，bcabac 13 解析a2a1(a)20. 24 3 (a2a1)x3x 2 . aa1 其前提依据为不等式的乘法法则： a0，bcabac. 10对于平面上的点集 ，如果连接 中任意两点的线段必定包含于，则称 为平面上的 凸集，给出平面上 4 个点集的图形如图(阴影区域及其边界)： 其中为凸集的是_(写出所有凸集相应图形的序号) 答案 11用演绎推理证明函数f(x)|sin x|是周期函数 证明大前提： 若函数yf(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(xT)f(x)(T为非零常数)， 则它为周期函数，T 为它的一个周期 小前提：f(x)|sin(x)|sin x|f(x) 结论：函数 f(x)|sin x|是周期函数 exa 12设 a0，f(x) x是 R 上的偶函数，求 a 的值ae 解f(x)是 R R 上