第九节函数的连续性与间断点.ppt

1、连续函数的概念 函数的间断点,第九节 函数的连续性与间断点,在函数极限概念的基础上, 我们引入另一个 基本 概念函数的连续 性. 函数的连续 性是 函数的重要连续函数是非常重要的一类函数, 也是函数的一种重要性态之一. 函数的连续性描述的是自变量有微小变化时, 相应的因变量的变化也很微小.,函数的连续性是描述函数的渐变性态, 对函数连续性一般有三种描述：,连续函数的图形是一条连续不断曲线；,什么是函数的连续性?,当自变量有微小变化时，因变量的变化也是微小的；,自变量的微小变化不会引起因变量的跳变；,例如：,如何用数学语言刻画函数的连续性？,一、 连续函数的概念,1. 函数的增量,自变量和因变量

2、的 增量表示方法:,自变量和因变量的增量都可正可负,2. 连续函数的概念,(1) 函数 y = f(x) 在 x0 点连续,注,函数 y = f(x) 在 x0 点连续的等价定义,注,该定义包含三重含义:,(1) 函数 y = f(x) 在 x0 点有定义;,(2) 极限 存在;,(3) ;,例1,证,由定义2知,利用函数 y = f(x) 在 x0 点连续的定义经常用来讨论分段 函数在分段点的连续性.,例2,证,(2) 单侧连续,由左、右极限的概念可得到函数在某点左、右连续的概念.,记为,记为,因为,则有,结论: 函数(x)在x0 处连续的充要条件是(x)在 x0 处既左连 续又右连续. 即

3、,定义4 若函数 (x)在开区间 (a , b) 内的每一点都连续, 则 称函数(x)在开区间 (a , b) 内连续;,若函数(x)在开区间 (a , b) 内连续, 且在左端点 a 右连续 , 在右端点 b 左连续 , 则称函数 (x) 在闭区间a , b 内连续.,(3) 函数 y = f(x) 在区间上连续,注 1. 区间上连续函数的图形时没有间断的一笔画的曲线段.,2. 讨论分段函数在分段点的连续性.,例3,解,右连续但不左连续 ,解,练一练,在点x = 0, x = 1处是否连续.,解,在点x = 0处, 因为,所以, f(x)在点 x = 0处不连续.,因为在点x = 1处,又,

4、所以f(x)在点 x = 1处连续.,解,练一练,确定常数 k, b的值, 使函数 在定义域内连续.,解,练一练,要使 (x) 在 x = 0 处连续, 故,确定常数 a, b, 使 为连续函数.,则要使(x)连续, 则 (x) 就必须在 x = 1处连续.,解,练一练,解之, 得 a = 0 , b = 1,故当 a = 0且 b = 1时, 函数 (x) 连续.,由定义2可知求连续函数在某点的极限即为求此点的函数值.,若以上条件至少有一个不满足, 则称(x)在 x0 处间断. 即,函数在 x0 点连续必须同时满足以下三个条件:,二、 函数的间断点,(1) 函数 y = f(x) 在 x0

5、点有定义;,(2) 极限 存在;,(3) ;,(2) (x)在 x0 处虽有定义, 但 不存在;,(1) (x)在 x0 处没有定义;,(3) (x)在 x0 处虽有定义, 且 存在, 但,若以上条件至少有一个满足, 则称(x)在 x0 处间断.,间断点的分类,1. 第一类间断点,(1). 跳跃间断点,例4,解,例 符号函数,例,-2,(2). 可去间断点,例5,解,注 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则 可使其变为连续点.,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,2. 第二类间断点,例6,解,(1). 无穷间断点,(2). 振荡间断点,例7,第一类间断点：,可去间断点,跳跃间断点,第二类间断点：,左右极限都存在的间断点；,左右极限至少有一个不存在的间断点：,无穷间断点,振荡间断点,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如,显然,为其可去间断点 .,(4