抛物线高三复习专题

1、一、抛物线的方程一、抛物线的方程 例例 1 1 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的 准线方程： （1）过点（3，2） ； （2）焦点在直线x2y4=0 上. （3 3）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点 M（-3，m）到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值 （4）点 M 与点 F（4,0）的距离比它到直线l :x5 0的距离小 1， 求点 M 的轨迹方程 （5） 斜率为 1 的直线经过抛物线y2 px的焦点， 与抛物线相交 于两点 A、B，线段的长为 6，求抛物线的方程 （6 6） 一抛物线拱桥跨度为 52 米，拱顶离水面6.5 米，一竹排 上载 有

2、一宽 4 米、高 6 米的大木箱，问能否安全通过？ / 16 （7）点 P 、Q是抛物线 y2 2mx上两点，PQ垂直于这条抛物线的 对称轴，且 |OP | 5，O 为坐标原点， | PQ | 6，则m 的值 为 （8） 抛物线 y ax2的准线方程是y 2，则 a的值为（） A 1 8 B 1 8 C8D8 4 的点到焦点的距离（9） 在抛物线 y2 2px上，横坐标为 为 5，则 p 的值为（） A.B. 1C. 2D. 4 （10） . 已知抛物线方程为y2 8x， 则它的焦点坐标是， 准线方程是，若该抛物线上一点到 y 轴的距离 等于 5，则它到抛物线的焦点等于，抛物线 上的 M 到焦

3、点的距离是 4，则点 M 的坐标是。 （11）. 抛物线 y 4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点M 的 纵坐标是（） A D0 （12）过抛物线y = 4x 的焦点作直线交抛物线于 P(x 11)、Q(x22) 两点， / 16 2 1 2 17 16 B 15 16 C 7 8 若 x 12=6,则 的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 6 （13）斜率为 2 的直线经过抛物线y2 4x的焦点，与抛物线相 交于 A,B 两点，则 | AB| 。 2 （14） 抛物线y 2x上的两点 A,B到焦点的距离和是 5， 则线段AB 的中点到 y 轴的距离是。 （15）已知抛物

4、线的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴上，抛物线 上的点 （m， 2） 到焦点的距离等于 4， 则 m 的值为 . 16方程x2sin y2cos1表示的曲线不可能是（ ） (A)直线(B)抛物线(C)圆(D)双曲线 二、抛物线的定义二、抛物线的定义 （1）已知抛物线 x= 4 y 的焦点 F 和点 A(-1,8)为抛物线上 / 16 2 一点，则 +的最少值是（） A. 16 B. 6 C. 12 D. 9 y 1 )， P 2 ( x 2 ， y 2 ) ，（2）已知抛物线 y2 2px(p 0)的焦点为F ，点P 1(x1， P 3 (x 3 ，y 3 )在抛物线上，且| P 3F | 成等

5、差数列， 则有 1F | 、| P 2F | 、| P （） Ax 1 x 2 x 3 B y 1 y 2 y 3 Cx 1 x 3 2x 2 D. y 1 y 3 2y 2 （3）P 是抛物线 y =4x 上的一个动点，又 F 是抛物线的焦点， A(2,5)，则+的最少值是 . （4）已知点 A(3,4),F 是抛物线y2 8x的焦点是抛物线上的动点, 当 MA MF 最小时, M 点坐标是 ( ) A. (0, 0) B.(3, 2 6) C.(2, 4) D.(3, 2 6) 2 （5）抛物线 y x2上的点到直线 4x + 3y - 8 =0距离的最小值 是 A 、 D、3 （6）抛物

6、线 x 坐标为 A. (0,0) B. (1,4) C. （7）已知抛物线 y2 4x，过点 2 1 4 B 、 1 上的点到直线 4 3 4 C 、 8 5 y = 45的距离最短，则该点的 1 ,1 D. (5,1) 2 P(4,0)的直线与抛物线相交于 / 16 A(x 1 , y 1 )、B(x 2 , y 2 )两点，则 y 1 2y 2 2的最小值是 8 以抛物线 y2 2px(p 0)的焦半径| PF |为直径的圆与y轴位置关 系是（） (A)相交(B)相切(C)相离 有可能 三、抛物线的几何性质三、抛物线的几何性质 1. 过抛物线 y2 4x的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、

7、B 两 点，它们的横坐标之和等于a2 2a 4(aR)，则这样的直线 （ ） A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1 条或 2 条 D.不存在 2.如果P 1 ，P 2 ，P 8 是抛物线 y2 4x上的点，它们的横坐标 依次为x 1 ，x 2 ，x 8 ，F是抛物线的焦点，若x 1,x2 ,x n (n N)成 等差数列且x 1 x 2 x 9 45，则| P 5F | =（） A5 B6 C 7 D9 3. 设O是坐标原点，F是抛物线 y2 4x的焦点，A是抛物线上的 一点，FA与 x轴正向的夹角为60 ，则 OA 为 4. (山东省威海市 2008 年普通高中毕业年级教学质量检测)

8、抛物线 y2 4x的焦点为F,准线为 l，l与 x 轴相交于点 E，过 F 且 倾斜角等于60的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A， l，垂足为B，则四边形的面积等于（ ） A3 3 B4 3 C6 3 D8 3 (D)以上三种均 / 16 四、抛物线和直线的综合应用：四、抛物线和直线的综合应用： 例例 1 1 斜率为 1 的直线经过抛物线 y2 于两点 A、B，求线段的长 4x的焦点，与抛物线相交 变式变式 1.1.斜率为 1 的直线经过抛物线y2 px的焦 点，与抛物线相交于两点 A、B，线段的长为 6， 求抛物线的方程 变式变式 2.2.过抛物线 y2 2px的焦点 F任作一条直线

9、y C H D E F A B O x m，交这抛物线于A、B两点，求证：以为直径的圆和这抛物线 的准线相切 / 16 例 2：设 p 0是一常数，如图，过点 Q（2p，0）的直线与抛物 线 y2 2px交于相并两点 A、B，以线段为直径作H（H 为圆心） ， 试证抛物线顶点 O 在H 上，并求当H 的面积最小时，直线的 方程。 / 16 变式变式1 1： 设A、 B为抛物线y22px上的点,且AOB 90(O为原点), 则直线必过的定点坐标为. 变变 式式 2 2 ： 如 图 所 示 ， F 为 抛 物 线 y2 2px(p 0)的焦点，A（4，2）为抛物 线内一定点， P 为抛物线上一动点

10、， PA PF 的最小值为 8。 （1）求抛物线的方程； （2）若O 为坐标原点，问是否存在点 M，使过点 M 的动直 线与抛物线交于 B、C 两点。且BOC 90，证明你的结论。 例 3：已知抛物线 y2 4x的准线与x轴交于 M 点，过 M 作直线与 抛物线交于 A、B 两点，若的垂直平分线与x轴交于 E（x 0 ,0） 。 / 16 （1）求x 0 的取值范围； （2）ABE能否是正三角形？若能，求 x 0 的值；若不能，请 说明理由。 变式 1：已知抛物线y2 2px(p 0)过动点 M（a,0）且斜率为 1 的 直线l与抛物线交于不同的两点 A、B， AB 2p。 （1）求a的取值范

11、围； （2）若线段的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB面积的最 大值。 / 16 例 4 .(理) 已知抛物线x x2 24 4y y的焦点为F，过焦点F且不平行 于x x轴的动直线l l交抛物线于A A, ,B B两点， 抛物线在两点处的切线 交于点M， （1）求证三点的横坐标成等差数列 （2）求点M的轨迹 （3）设直线交抛物线于两点，求四边形面积的最小值 （文）设抛物线 y =2 (p0)被直线 24 截得的弦长长为3 （1）求此抛物线的方程； （2）设直线上一点 Q，使得 A、Q、B 三点到抛物线准线的距 离成等差数列， 求 Q 点坐标； (3)在抛物线上求一点 M 使 M 到 Q

12、点距离与 M 到焦点距离之和 最小 . / 16 2 5。 导数在解析几何中的应用导数在解析几何中的应用 例 1： / 16 例:2：已知过点P0,1的直线l与抛物线x2 4y交于两点Ax 1 , y 1 、 Bx 2 , y 2 。l 1 、l 2 分别是该抛物线在 A、B两点处的切线。M 、N分 别是l 1 、l 2 与直线 y 1的交点。 求直线l的斜率的取值范围 试比较 PM 与 PN 的大小，说明理由。 / 16 例例 3 3 过 y轴正方向上一点C0,c任作一直线，与抛物线y x2交于 A、B两点。一条垂直于x 轴的直线，分别与线段 AB和直线 l : y c交于点P、Q。若P为线段AB的中点，求证：AQ为此抛 物线的切线 / 16 例4：已知曲线C上的动点Px, y满足到点F0,1的距离比到直线 l : y 2的距离小1 （）求曲线C的方程； （）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA,EB，切 点为 A、B求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标 / 16 . 例例 5 5、已知抛物线x2 4y的焦点为 F，A、B 是直线上的两动点， 且 AF FB( 0).过 A、B 两点分别作抛物线的