第一轮总复习课件(理数)：第7讲 函数的性质(二)新课标高中数学.ppt

1、新课标高中一轮总复习,第二单元 函 数,第6讲,函数的性质（二）,理解函数的周期性与对称性的概念，能综合运用函数的性质解题.,1.函数f(x)=2x2-x+1的对称轴方程是x= .,14,2.已知函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，当2x3时，f(x)=x，则f(106.5)= .,2.5,由周期函数的定义知f(106. 5)= f(264+2.5)=f(2.5)=2.5.,3.函数f(x)=ax2+bx+6(ab0)满足条件 f(-1)=f(3)，则f(2)的值为( ),B,A.5 B.6 C.8 D.与a、b的值有关,由f(-1)=f(3)，知二次函数f(x)=ax2+bx+6的对称轴

2、方程是x=1，所以f(2)=f(0)=6.,4.设f(x)满足f(x+ )=-f(x),且f(x)是奇函数.若f(1)1,f(2)=a,则下列结论正确的是( ),D,A.a2 B.a1 D.a-1,由已知得f(x+3)=f(x)，所以f(x)的周期是3,且是奇函数,所以a=f(2)=f(3-1)=f(-1)=-f(1)-1，选D.,5.若函数f(x)在(4,+)上是减函数，且对任意xR，有f(4+x)=f(4-x),则( ),D,A.f(2)f(3) B.f(2)f(5) C.f(3)f(5) D.f(3)f(6),由已知，f(x)的对称轴方程是x=4， 所以f(3)=f(5)f(6).,1.

3、函数的对称性 如果函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)，则函数f(x)的图象关于直线 对称.一般的，若f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)的对称轴方程是 .,x=a,x=,2.函数的周期性 函数的周期性的定义：设函数y=f(x),xD，若存在非零常数T，使得对任意的xD都有 ，则函数f(x)为周期函数，T为y=f(x)的一个周期.若函数f(x)对定义域中任意x满足f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=- a0)，则函数f(x)是周期函数，它的一个周期是 .,f(x+T)=f(x),2a,f(x)是定义在R上的函数，若f(a+x)=f(a-x)，f(b+x

4、)=f(b-x)(xR，ba0)，求证：f(x)是周期函数.,题型一 函数周期性的概念,例1,函数的性质是互相联系的，尤其是对称性与单调性.本题已知函数的两条平行于y轴的对称轴，函数必是周期函数，一个周期是2(b-a)，注意推导过程.,因为fx+2(b-a)=fb+(x+b-2a) =fb-(x+b-2a)=f(2a-x) =fa+(a-x)=fa-(a-x)=f(x)， 且2(b-a)0，所以f(x)是周期函数.,设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足： f(x)=f(2-x)；当0 x1时，f(x)=x2. （1）判断函数f(x)是否是周期函数； （2）求f(5.5)的值.,(1)由

5、f(x)=f(2-x) f(x)=f(-x) f(x)=f(x+2) f(x)是周期为2的周期函数. (2) f(5.5)=f(4+1.5)=f(1.5)=f(0.5)=0.25.,f(-x)=f(2-x),题型二 函数的性质的综合运用,例2,已知a0,且a1,f(logax)= ( ). （1）求f(x)的解析式； （2）判断f(x)的奇偶性和单调性； （3）若函数f(x)定义在（-1，1）时，有f(1-m)+f(1-m2)0，求m的集合M.,(1)令t=logax，则x=at， 代入f(logax)= ( )可得， f(t)= (at-a-t). 所以函数的解析式为 f(x)= (ax-a

6、-x)(xR).,= (ax1-ax2)(1+ ). 当a1时，a2-10，ax1-ax20， 所以f(x1)0且a1时，f(x)总是增函数.,(2)因为f(-x)= (a-x-ax)=- (ax-a-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数.设x1、x2R，且x1x2， 则f(x1)-f(x2)= (ax1-a-x1)-(ax2-a-x2),(3)当x(-1,1)时，有 -10，解得m1或m-2. 综上所述，可知1m . 所以集合M=m|1m .,0m .,本例中第（3）小题属抽象函数的单调性应用问题.解题时一要注意定义域，二要注意函数值之间的大小关系与自变量的大小关系的转化.,1.若T是f

7、(x)的一个周期，则kT(k0，kZ)也是f(x)的周期. 2.（1）若函数f(x)存在两条平行于y轴的对称轴，则函数f(x)是周期函数；若函数f(x)具有奇偶性，又有一条平行于y轴的对称轴，则函数f(x)是周期函数. 3.注意函数性质的逆向应用.,(2009全国卷)函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( ),D,A. f(x)是偶函数 B. f(x)是奇函数 C. f(x)=f(x+2) D. f(x+3)是奇函数,（方法一）由f(x+1)为奇函数，可知f(x)的图象关于点（1，0）对称；由f(x-1)为奇函数，可知f(x)的图象关于点（-1，0）对称，则f(

8、x)为周期函数，且T=4，则f(x+3)=f(x-1)，故选D.,(方法二)排除法. 若取函数f(x)=sinx，g(x)= ,则f(x)为奇函数，g(x)为偶函数. f(x)=sinx向左、右分别平移1个单位长度都是奇函数， g(x)= 向左、右分别平移1个单位长度也都是奇函数，所以排除A、B. 又f(x）的周期为2，g(x)的周期为4，所以排除C，故选D.,(2009山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)=m(m0)在区间-8,8上有四个不同的根x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4= .,-8,因为f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x-4)=-f(x)，所以f(x-4)=f(-x). 所以函数f(x)的图象关于直线x=-2对称，且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x), 所以函数f(x)是以8为周期的周期函数.,又因为f(x)在区间0,2上是增函数， 所以f(x) 在区间 -2，0上也是