《概率与数理统计》11.ppt

1、3.5 两个随机变量的函数的分布,例1一个仪器由两个主要部件组成,其总长度为此二部件长度的和.这两个部件的长度X和Y为两个相互独立的随机变量,其分布律如下表,求此仪器的分布律,一、 Z=X+Y的分布,1、 当X、Y为离散型随机变量时,解：设仪器总长度为Z=X+Y，其可能取值如下表：,则Z=X+Y的分布律为:,2、X、Y为连续型随机变量,这里积分区域G:x+yz是直线x+y=z及其左下方的半平面, 化成累次积分, 得,设(X,Y)的概率密度为f(x,y), 则Z=X+Y的分布函数为：,x,y,O,x+y=z,于是,由概率密度的定义, 即得Z的概率密度为,由X,Y的对称性, fZ(z)又可写成,特

2、别, 当X和Y相互独立时, 设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度分别为fX(x), fY(y), 则(5.1)(5.2)式分别化为,这两个公式称为卷积公式, 记为fX * fY, 即,说明：,若已知(X,Y)的概率密度为f(x,y), 则Z=X+Y的概率密度的求解可以有两种方法：,例2 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 它们都服从N(0,1)分布, 其概率密度为,求Z=X+Y的概率密度.,解: 由(5.4)式,即Z服从N(0,2)分布.,一般, 设X,Y相互独立,且XN(m1,s12), YN(m2,s22). 由(5.4)式经过计算知Z=X+Y仍然服从正态分布, 且有ZN(m1+m2,s1

3、2+s22).,这个结论还能推广到n个独立正态随机变量之和的情况.,更一般地, 可以证明有限个相互独立的正态分布随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,即若XN(mi,si2)(i=1,2,.,n), 且它们相互独立,则它们的和Z=X1+X2+.+Xn仍然服从正态分布,且有ZN(m1+m2+.+mn, s12+s22+.+sn2).,例3 在一简单电路中, 两电阻R1和R2串联联接, 设R1,R2相互独立, 它们的概率密度均为:,求总电阻R=R1+R2的概率密度.,解: 由(5.4)式, R的概率密度为,易知仅当,时上述积分的被积函数不等于零.,z,x,O,10,20,x=10,x=z,x=z-

4、10,因此,将f(z)的表达式代入上式得,例4 设二维随机变量（X,Y)的联合概率密度为,易知仅当,时上述积分的被积函数不等于零.,z,x,O,1,3,x=1,x=z,x=z/3,x,y,O,1,2,y=2x,x+y=z,z/3,x+y=z,z,z,x+y=z,z,z/3,x+y=z,x,y,O,1,3,y=2x,y=2x-z,z/2,y=2x-z,y=2x-z,z/2,z/2,D1,D2,Z0,0Z2,Z2,例5 设X1,X2相互独立且分别服从参数为a1,b ; a2,b的G分布(分别记成X1G(a1,b), X2G(a2,b), X1,X2的概率密度分别为,试证明X1+X2服从参数为a1+

5、a2,b的G分布.,证: 由(5.4)式知, 当x0时, Z=X1+X2的概率密度fZ(z)=0. 而当z0时, Z=X1+X2的概率密度为,现计算A, 由概率密度的性质得到:,于是,亦即Z= X1+X2服从参数为a1+a2,b的G分布, 即X1+X2G(a1+a2,b). 上述结论还能推广到n个相互独立的G分布变量之和的情况. 即若X1,X2,.,Xn相互独立, 且Xi服从参数为ai,b(i=1,2,.,n)的G分布, 则X1+X2+.+Xn服从参数为a1+.+an,b的G分布.,二、 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z,

6、 故有PMz=PXz, Yz.,又由于X和Y相互独立, 得到M=max(X,Y)的分布函数为Fmax(z)=PMz=PXz, Yz=PXzPYz,设X,Y是两个相互独立的随机变量, 它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y). 现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,即有Fmax(z)=FX(z)FY(z)(5.7),类似地, 可得N=min(X,Y)的分布函数为Fmin(z)=PNz=1-PNz=1-PXz,Yz=1-P(XzPYz,即 Fmin(z)=1-1-FX(z)1-FY(z).(5.8),以上结果容易推广到n个相互独立的随机变量的情况.,设X1,X2,.,X

7、n是n个相互独立的随机变量, 它们,特别, 当X1,X2,.,Xn相互独立且具有相同分布函数时有Fmax(z)=F(z)n,(5.11)Fmin(z)=1-1-F(z)n.(5.12),例5 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成, 联接的方式分别为(1)串联,(2)并联,(3)备用(当系统L1损坏时, 系统L2开始工作).,设L1, L2的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为:,其中a0, b0且ab. 试分别就以上三种连接方式写出L的寿命Z的概率密度.,解: (1)串联的情况,由于当L1,L2中有一个损坏时, 系统L就停止工作, 所以这时L的寿命为Z=min(X,Y).,由(5.13), (5.14)式X,Y的分布函数分别为,由(5.8)式得Z=min(X,Y)的分布函数为,于是Z=min(X,Y)的概率密度为,(2)并联的情况,于是Z的概率密度为,由于当L1,L2都损坏时, 系统L才停止工作, 所以这时L的寿命Z为 Z=max(X,Y)按(5.7)式得Z的分布函数为,(3)备用的情况,由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始