阶线性微分方程解的结构

1、复习一阶微分方程：,1.可分离变量的微分方程：,形如,分离变量、两边积分,2.齐次微分方程:,形如,作变换,3.一阶线性微分方程:,形如,公式,可降阶的高阶微分方程,1. 型高阶方程的求解 ； 2. 型高阶方程的求解 ； 3. 型高阶方程的求解 。,一、二阶线性微分方程,二、线性微分方程的解的结构,8.4 二阶线性微分方程解的结构,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、二阶线性微分方程举例,二阶线性微分方程,下页,二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf(x) 若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的,二、线性微分方程的解的结构,简要证明,这是因为,定理1(齐次方

2、程的解的叠加原理),下页,如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数,(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2),C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2,000,(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2),说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,举例,(1)函数1 cos2x

3、 sin2x在整个数轴上是线性相关的 这是因为1-cos2x-sin2x 0,举例,(2)函数1 x x2在任何区间(a b)内是线性无关的 这是因为对任意k1 k2 k3,k1+k2x+k2x2不可能恒为零,二、线性微分方程的解的结构,函数的线性相关与线性无关,下页,定理1(齐次方程的解的叠加原理),如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数,设y1(x) y2(x) yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2 kn 使得当xI 时有恒等式 k1y1(x)k2y

4、2(x) knyn(x)0 那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关,对于两个函数 如果它们的比恒为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关,判别两个函数线性相关性的方法,二、线性微分方程的解的结构,下页,函数的线性相关与线性无关,定理1(齐次方程的解的叠加原理),如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数,设y1(x) y2(x) yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2 kn 使得当xI 时有恒等式 k1y1(x)k2y2(x) knyn(x)0

5、 那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关,两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,线性无关,常数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,举例,已知cos x与sin x都是方程y+y=0的解 因为比值 cos x/sin x=cot x不恒为零 所以cos x与sin x在( )内是线性无关的 因此cos x与sin x是方程y+y=0的线性无关解 方程的通解为 y=C1cos xC2sin x,举例,已知y1=x与y2=ex都是方程(x-1)y-xy+y=0的解 因为比值ex/x不恒为常数 所以y1=x与y2=ex在( )内是线性无

6、关的 因此y1=x与y2=ex是方程(x-1)y-xy+y=0的线性无关解 方程的通解为 y=C1xC2ex,如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 是方程的通解 其中C1、C2是任意常数,定理2(齐次方程的通解的结构),下页,如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 是方程的通解 其中C1、C2是任意常数,定理2(齐次方程的通解的结构),如果y1(x) y2(x) yn(x)是方程 y(n)a1(x)y(n1) an1(

7、x)y an(x)y0 的n个线性无关的解 那么 此方程的通解为 yC1y1(x)C2y2(x) Cnyn(x) 其中C1 C2 Cn为任意常数,推论,下页,注,我们把方程y+P(x)y+Q(x)y=0叫做与非齐次方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 对应的齐次方程,证明提示,Y(x)+y*(x)+P(x)Y(x)+y*(x)+Q(x)Y(x)+y*(x) = Y +P(x)Y+Q(x)Yy*+P(x)y*+Q(x)y* 0f(x)f(x) ,举例,已知Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y+y=0的通解 y*=x2-2是非齐次方程y+y=x2的一个特解 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2 是非齐次方程y+y=x2的通解,定理3(非齐次方程的通解的结构),下页,设y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解 那么 yY(x)y*(x) 是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解,定理4(非齐次方程的解的叠加原理),简要证明 这是因为 y1*+y2*P(x)y1*+y2*Q(x)y1*+y2* =y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)