为Hilbert空间..ppt

1、定义1 设 为Hilbert空间 到 中的有界线性算子，若 ，则称 为 上的自伴算子；若 ，则称 为 上正常算子；若 是 到 的一对一映射，且 ，则称 为 上的酉算子。,在矩阵理论中，我们已经研究过Hermitian阵，酉阵和正常阵，下面我们要在Hilbert空间中建立起相应的自伴算子、酉算子和正常算子的概念，并讨论这些算子的一些基本性质。,9.5自伴算子、酉算子和正常算子,当 是自伴算子时，由 的定义，对一切 ，成立,显然自伴算子必为正常算子。又由酉算子的定义，成立,其中 为 上恒等算子；反之，若（2）式成立，则 为 上的酉算子。由（2）式知，酉算子必为正常算子。正常算子不一定是酉算子或自伴

2、算子，例如 ，则 ，所,以 ，即 是正常算子，但显然 不是自伴算子和酉算子。,引理1 设 为复内积空间 上有界线性算子，那么 的充要条件为对一切 ，成立,证明 若 ，显然有 ；反之，如果（3）式对一切 成立，对任意 及数 ，令 ，由条件得,令 ，则 ，此时由（4）式,又若令 ，则由（4）式,将（5）式与（6）式相加，得到 ，由于 是 中的任意向量，所以 。证毕。,定理1 设 为复Hilbert空间 上有界线性算子，则 为自伴算子的充要条件为对一切 ， 是实数。,证明 若 为自伴算子，则对所有 ，有,因此 是实数；反之，如果对所有 ， 皆为实数，则,所以 。由引理1， ，即 自伴，证毕。,定理2

3、 设 和 是Hilbert空间 上两个自伴算子，则 自伴的充要条件为 。,证明 由共轭算子性质，,所以， 自伴的充要条件为 ，证毕。,定理3 设 是空间 上一列自伴算子，并且 ，那么 仍为 上自伴算子。,证明 因 ， 由于 ，所以 ， 但 自伴，故 ，因此由极限的唯一 性，成立 。证毕。,定理4 设 及 是Hilbert空间 上两个酉算子，那么,（1） 是保范算子，即对任意 ，成立 ； （2）当 时， ； （3） 是酉算子； （4） 是酉算子； （5）若 是 上一列酉算子，且 收敛于有界算子 ，则 也为酉算子。,证明 （1）由酉算子定义,（2） 由（1）立即可得。,（3） 因 为一一到上，故

4、也一一到上，并且由于 ，所以 仍为酉算子。,（4） 因 及 为酉算子，故为一一到上映射，所以 仍为一一到上映射，且 所以 仍为酉算子。,（5） 当 时，因 ， 所以 ，即 ， 因此 。同理可证 。 故 为酉算子。证毕。,定理4中的（1）的逆命题不一定成立，即保范算子不一定为酉算子。,例1 设 ， 为 中如下定义的算子，对任何 ，令 显然 是 到 中的线性算子，并且 所以 是保范算子。但 的像为 中第一个坐标为0的向量全体。故 不映射到上，因此不是酉算子。称 为 上单向移位算子。,定理5 设 为复Hilbert空间 上有界线性算子，那么 是酉算子的充要条件为 是映射到上的保范算子。,证明 由定理

5、4的（1），只要证明充分性即可。设 为 到 上的保范算子，所以 是一对一的，并且对任何 ，有 所以 。由引理1， 。又因 是映射到 上的，故 在全空间 上有定义，由于 ，所以 ，即 。这就证明了 是酉算子。证毕。,下面介绍正常算子的一些基本性质。设 是复Hilbert空间 上的有界算子，令,容易证明 和 是自伴算子，并且有 。称 和 分别为算子 的实部和虚部，并称 为算子 的笛卡尔分解。,定理6 设 为复Hilbert空间 上有界线性算子， 为 的笛卡尔分解，则 是正常算子的充要条件为 。,证明 因 所以 因此， 的充要条件为,证明 必要性：若 ，则对任何 ，成立 所以 。 充分性：若对任何 ，成立 ，则