数值计算方法实验报告

1、 本科实验报告课程名称： 数值计算方法 实验地点： 计算机科学与技术学院506 专业班级： 学号： 学生姓名： 指导教师： 王 峥 年 月 日太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术专业班级学号学生姓名实验日期成绩课程名称数值计算方法实验题目实验一 方程求解一、实验目的和要求熟悉使用、迭代法、牛顿法、割线法等方法对给定的方程进行根的求解。选择上述方法中的两种方法求方程：二分法f(x)=x3+4x2-10=0在1,2内的一个实根，且要求满足精度|x*-xn|0.510-5二、主要设备 pc，windows操作系统，vc+6.0编程平台；三、实验内容和原理 函数f(x)在区间（x，y）上连

2、续，先在区间（x，y）确定a与b，若f(a)，f(b)异号，说明在区间(a，b)内存在零点，然后求f(a+b)/2。假设f(a)0,ab， 如果f(a+b)/2=0，该点即为零点； 如果f(a+b)/20，则区间(a,(a+b)/2)内存在零点，(a+b)/2b；返回重新循环，不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在区间收缩一半的方法，使区间内的两个端点逐步逼近函数零点，最终求得零点近似值。四、操作方法与实验步骤 1. 二分法：#include#include#includeint main() double a=1.0, b=2.0; double x,s; while(1) x=(a+b

3、)/2; s=pow(x,3)+4*x*x-10; if (-0.000005 s & s 0.000005) break; else if(s 0) b=x; printf(%ft%fn,a,b); printf(%fn,x); printf(%fn,s); return 0;2. 割线法：#includestdio.h#includemath.hint main() float c,a=1.0,b=2.0; while(1) c=b-(b*b*b+4*b*b-10)*(b-a)/(b*b*b+4*b*b-(a*a*a+4*a*a); if(fabs(b-c)0.5*0.00001)brea

4、k; b=c; printf(%fn,b); printf(%fn,c); 五、实验结果与分析 二分法 割线法 分析： 使用二分法和割线法均能计算出方程的根，但利用割线法要比二分法计算的次数少，并且能够较早的达到精度要求。并且割线法程序代码量较少，精简明了。六、讨论、心得 本次数值计算方法程序设计实验是在不断的习题练习中跳脱出来，直接面对实用性较强的程序代码编写。效果很好，不仅加深对二分法、割线法的理解，还加强了实际用运能力。将理论成功地转化成实践结果。实验地点北区多学科综合楼4506指导教师王峥太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术专业班级学号学生姓名实验日期成绩课程名称数值计算方

5、法实验题目实验二 线性方程组的直接解法一、实验目的和要求合理利用gauss消元法、lu分解法、追赶法求解下列方程组： （n=5,10,100,）二、主要设备 pc，windows操作系统，vc+6.0编程平台；三、实验内容和原理高斯消元法：将原方程组化为三角形方阵的方程组：lik=aik/akk aij= aij- lik* akj （ k=1,2,n-1 i=k+1,k+2, ,n j=k+1,k+2, ,n+1 ）由回代过程求得原方程组的解： xn= ann+1/ ann xk=( akn+1-akj xj)/ akk 完全主元素消元法流程图： 列主元素消元法： lu分解法：将系数矩阵a转

6、化为a=l*u，l为单位下三角矩阵，u为普通上三角矩阵，然后通过解方程组l*y=b，u*x=y,来求解x。四、操作方法与实验步骤1. 完全主元素消元法：#include#include#includemath.hfloat a100101;float x10;int n; void shuchu()for(int i=1;i=n;i+)for(int j=1;j=n+1;j+)coutaij ;coutendl;void initdata()cout请输入矩阵阶数:n;cout请输入矩阵各项:endl;for(int i=1;i=n;i+)for(int j=1;jaij;coutendl;v

7、oid main()int z10;int maxi,maxj;initdata();for(int i=1;i=n;i+)zi=i;for(int k=1;kn;k+)maxi=k;maxj=k;float maxv=abs(akk);for(i=k;i=n;i+)for(int j=k;jmaxv)maxv=abs(aij);maxi=i;maxj=j;if(maxi!=k) for(int j=1;j=n+1;j+)float t=akj;akj=amaxij;amaxij=t;if(maxj!=k) for(i=1;i=n;i+)float t=aik;aik=aimaxj;aimax

8、j=t;int t=zk;zk=zmaxj;zmaxj=t; for(int i=k+1;i=n;i+) float l=aik/akk;for(int j=k;j0;i-)float s=0;for(int j=i+1;j=n;j+)s+=aij*xzj;xzi=(ain+1-s)/aii;cout完全主元素消去法之后的矩阵为：endl;shuchu(); for(i=1;i=n;i+) coutxi=xiendl;2. 列主元素消元法：#includestdio.hint main() float a34=1,2,3,14,0,1,2,8,2,4,1,13;float x3; float

9、sum=0; int k,i,j; for(k=0;k2;k+) for(i=k+1;i3;i+) for(j=k+1;j4;j+)aij=aij-aik/akk*akj; for(i=0;i3;i+) for(j=0;j=0;k-)sum=0;for(j=k+1;j3;j+)sum+=akj*xj; xk=(ak3-sum)/akk; for(i=0;i3;i+)printf (x%d=%fn,i+1,xi);printf(n);3. lu分解法：#include #include #define l 30double all,bl,lll,ull,xl,yl;int main() int

10、n,i,j,k,r;printf(请输入矩阵元次：n); scanf(%d,&n);printf(请输入矩阵各项：n); for(i=1;i=n;+i) for(j=1;j=n;+j) scanf(%lf,&aij); printf(请输入方程组的常数项：n); for(i=1;i=n;+i) scanf(%lf,&bi); for(i=1;i=n;+i) for(j=1;j=n;+j) lij=0; uij=0.0; for(k=1;k=n;+k) for(j=k;j=n;+j) ukj=akj;for(r=1;rk;+r) ukj-=lkr*urj; for(i=k+1;i=n;+i) l

11、ik=aik; for(r=1;rk;+r) lik-=lir*urk; lik/= ukk; lkk=1.0; for(i=1;i=n;+i) yi = bi; for(j=1;j0;-i) xi = yi; for(j=i+1;j=n;+j) xi-=uij*xj; xi/= uii; for(i=1;i=n;+i) printf(%0.2lfn,xi); return 0;五、 实验结果与分析完全主元素消元法： 列主元素消元法： lu分解法： 分析： 对于两种高斯解方程，完全主元素跟列主元素都是先消元、再回代，由程序段可以发现，始终消去对角线下方的元素。即，为了节约内存及时效，可以不必计

12、算出主元素下方数据。 列主元素消元法的算法设计上优于完全主元素消元法，它只需依次按列选主元素然后换行使之变到主元素位置，再进行消元即可。 列主元素消元法的耗时比完全主元素法少很多，常采用之。 对于lu分解法，分解矩阵为单位下三角阵l与上三角阵u的乘积，然后解方程组ly=b，回代，解方程组ux=y。其中的l为n阶单位下三角阵、u为上三角阵.六、讨论、心得 本次试验中，感觉是最难的一次，完全主元素消元法程序编写过程相对来说花了好长时间。纠正各种语法、算法、思路错误。最后勉强成功，但还是有几处警告，不得解决之法。感到程序学习的不足，再加之对高斯的不甚了解。编写过程很是痛苦。 查阅各种内外部资料，这点

13、有利有弊。突然觉得，应该再把数据结构之类的重新学习一下才行。以后多花时间在编程吧，重在理解。 必须反省一下自己的c、c+学习了，还是得多加练习，平时养成好的算法思路，免得再次不知所措。实验地点北区多学科综合楼4506指导教师王峥太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术专业班级学号学生姓名实验日期成绩课程名称数值计算方法实验题目实验三 线性方程组的迭代解法一、实验目的和要求使用雅可比迭代法或高斯-赛德尔迭代法对下列方程组进行求解。 二、主要设备 pc，windows操作系统，vc+6.0编程平台；三、实验内容和原理设线性方程组 ax=b的系数矩阵a可逆，且主对角元素a11,a22,ann

14、均不为零，令d=diag(a11,a22,ann)并将a分解成 a=(a-d)+d从而线性方程组可写成 dx=(d-a)x+b则有迭代公式x(k+1)=b1x(k)+f1其中，b1=i-d-1a,f1=d-1b。各自详细流程图如下所示：四、操作方法与实验步骤高斯赛德尔迭代法#include iostream#include iomanipusing namespace std;int main()int i,j,k=0,m,n;double t1,t2,e1,e2=0.0; coute1;coutm;coutn;coutendl;double (*a)=new double *m;/生成二维动

15、态数组for(i=0;i=m;i+)ai=new doublen;double (*b)=new double m;double (*x)=new double n;cout请输入系数矩阵：endl;cout-endl;for(int num1=0;num1m;num1+)for(int num2=0;num2anum1num2;coutendl;cout输入的系数矩阵为：endl;for (int num3=0;num3m;num3+)for(int num4=0;num4n;num4+)coutanum3num4 ;coutendl;cout-endl;cout请输入矩阵b：endl;co

16、ut-endl;for(int num5=0;num5bnum5;cout输入的矩阵b为：endl;for(int num6=0;num6m;num6+)coutbnum6 ; coutendl; cout-endl;for(int num7=0;num7n;num7+)xnum7=0.0000;do cout第k次迭代值：;e2=0.0;for(i=0;im;i+) double sum=0.0;for(j=0;j=0?(xi)-t1:t1-(xi);e2=(e2=t2?e2:t2);coutsetprecision(8)xi ;cout=e1&k30);cout共迭代了k次;deletea

17、;deleteb;deletex;return 0 ;雅克比迭代法：#include #include int main() float a33=10,-1,-2,-1,10,-2,-1,-1,5,b3=7.2,8.3,4.2;float x3=0,0,0,sum;int i,j,k,n=3;for(k=0;k10;k+) for(i=0;i3;i+) sum=0; for(j=0;jn;j+) if(i=j)continue; sum=sum+aij*xj; xi=(bi-sum)/aii; for(i=0;in;i+) printf(x%d=%ft,i+1,xi);printf(n); 五

18、、实验结果与分析高斯赛德尔迭代法：雅克比迭代： 分析： 使用高斯-赛德尔和雅克比迭代都可以求出方程组的解，但是利用高斯-赛德尔迭代法所需的迭代次数比雅克比迭代少，能够更早的达到精度要求。 从程序中可以看出，雅克比定义的sum只有一个，而高斯赛德尔需要两个。时效性上后者要好些。六、讨论、心得 这次试验算是比较成功，要归功于授课时候的认真听讲。程序编写之前，对书本的理论知识进行了进一步的探索。预习准备工作很彻底，自然随后的一切也都很顺利。 好好学习，好好编程，好好思考。 希望，有所成。实验地点北区多学科综合楼4506指导教师王峥太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术专业班级学号学生姓名实

19、验日期成绩课程名称数值计算方法实验题目实验四 矩阵特征值与特征向量问题一、实验目的和要求使用幂法求a模为最大的特征值及其相应的特征向量。二、主要设备 pc，windows操作系统，vc+6.0编程平台；三、实验内容和原理幂法：由已知的非零向量x0和矩阵a的乘幂构造向量序列xn以计算矩阵a的按模最大特征值及其特征向量的方法，称为幂法。在计算过程，每步迭代中把向量xk进行规范化，即用xk乘以一个常数，使得其分量的模最大为1，这样，迭代公式变为： 其中，mk是yk模最大的第一个分量。结果可取： 幂法流程图：四、操作方法与实验步骤#include#include#define n 3#define e

20、ps 1e-6#define m 30float maxvalue(float x,int n)float max=x0; int i; for(i=1;ifabs(max)max=xi; return max;void matrix(float *a)float un,vn,r1,r2,temp; int i,j,k=0; for(i=0;in;i+)ui=1; while(km) k+; for(i=0;in;i+) temp=0; for(j=0;jn;j+)temp+=*(a+i*n+j)*uj; vi=temp; for(i=0;in;i+)ui=vi/maxvalue(v,n);

21、if(k=1)r1=maxvalue(v,n); elser2=maxvalue(v,n); if(fabs(r2-r1)eps)break; r1=r2; printf(迭代次数：t%dn,k); printf(矩阵的特征值：t%fn,r2); printf(); for(i=0;in;i+)printf(%ft,ui); printf()n);int main() float ann=2,-1,0,-1,2,-1,0,-1,2 ; matrix(a0);五、实验结果与分析 分析： 幂方法求解矩阵的最大特征值以及特征向量，最大优点是计算简单，容易在计算机上实现，对稀疏矩阵较为适合。但有时收敛

22、速度很慢。六、讨论、心得 程序编写时详细分析了书上的求解过程，但最终结果还是有所出入。课本的迭代次数只用7次，而程序运行之后显示为12次。不明白那里原因。推测是由于精确位数的不同导 致。最后在程序中更改了一下，验证得之。 知识转化为“所见即所得”，效果不错。可以多多练习，提高编程能力。实验地点北区多学科综合楼4506指导教师王峥太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术专业班级学号学生姓名实验日期成绩课程名称数值计算方法实验题目实验五 代数插值一、实验目的和要求使用拉格朗日插值法或牛顿插值法求解：已知f(x)在6个点的函数值如下表所示，运用插值方法，求f(0.596)的近似值。x0.40

23、0.550.650.800.901.05f(x)0.410750.578150.696750.888111.026521.25386二、主要设备 pc，windows操作系统，vc+6.0编程平台；三、实验内容和原理设函数在区间a,b上n+1互异节点x0,x1,xn上的函数值分别为y0,y1,yn,求n次插值多项式pn(x),满足条件pn(xj)=yj, j=0,1,n令ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)= yili(x)其中l0(x),l1(x), ln(x) 为以x0,x1,xn为节点的n次插值基函数，则ln(x)是一次数不超过n的多项式，且满足ln(xj)=yj,

24、 l=0,1,n再由插值多项式的唯一性，得pn(x)ln(x) 流程图如下：四、操作方法与实验步骤#include #include #include #include void difference(float *x,float *y,int n) float *f; int k,i; f=(float *)malloc(n*sizeof(float); for(k=1;k=n;k+) f0=yk; for(i=0;ik;i+) fi+1=(fi-yi)/(xk-xi); yk=fk; return; int main() int i,n; float x20,y20,xx,yy; prin

25、tf(请输入数据个数n：); scanf(%d,&n);printf(n); for(i=0;i=0;i-)yy=yy*(xx-xi)+yi; printf(n近似值为：(%f)=%fn,xx,yy); 五、实验结果与分析 分析： 拉格朗日插值的优点是插值多项式特别容易建立，缺点是增加节点是原有多项式不能利用，必须重新建立，即所有基函数都要重新计算，这就造成计算量的浪费。六、 讨论、心得 本实验有两种插值方法可以选用，由于时间关系，最终选用牛顿插值法。若是下去有时间的话，可以再用拉格朗日插值法验证一番。既能增加编程的锻炼能力，还能进一步巩固一下所学知识。实验地点北区多学科综合楼4506指导教师

26、王峥太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术专业班级学号学生姓名实验日期成绩课程名称数值计算方法实验题目实验六 最小二乘法拟合多项式一、实验目的和要求给定数据点（xi ,yi），用最小二乘法拟合数据的多项式，并求平方误差。xi00.50.60.70.80.91.0yi11.751.962.192.442.713.00二、主要设备 pc，windows操作系统，vc+6.0编程平台；三、实验内容和原理 建立正规方程组：（xij+k）ak=xijyi ,j=0,1,n 平方误差：i=（akxik-yi）2 对给定数据点(xi，yi)(i=0,1，m），在取定的函数类 中，求p(x），使误差

27、的平方和e2最小，e2=p(xi)-yi2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (xi，yi)(i=0,1，m）的距离平方和为最小的曲线y=p(x）。函数p(x）称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x）的方法称为曲线拟合的最小二乘法。得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = （yi) / m - a1（xi) / m a1 = mxi yi - （xi yi) / mxi2 - （xi)2 ) 即最终的拟合多项式各项系数。最小二乘法流程图如下所示：四、操作方法与实验步骤#include#include#define n 15double power(dou

28、ble &a,int n)double b=1;for(int i=0;in;i+)b*=a;return b;void gauss();double xn,yn,sumxn,sumyn,ann,bn,lnn,xn;int main()ofstream outdata;ifstream indata;double s;int i,j,k,n,index;coutn;coutendl;cout请输入x和y:endl; /输入给定数据for(i=0;in;i+)coutxixi;sumx1+=xi;coutyiyi;sumy1+=yi;coutendl;coutsumx1=sumx1tsumy1=sumy1endl;coutindex;coutendl;i=n;sumx0=i