线性系统理论1数学基础.ppt

1、线性系统理论,主讲：韦文斌,第一章 数学基础,1.1线性空间与线性变换 1.1.1线性空间定义 在集合上赋予一定的结构或一定的要求,这个集合就称为一个特定的空间。 定义1.1.1 线性空间定义（11页）： 设V是一个非空集合,P是一个数域,则 也是实数域 R上的线性空间。因此不难看出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的运算具有线性性。,例1.1.3 设 是线性空间， 则不难验证,是 的子空间。它也称为由 构成的子空间。,例1.1.4 设,是线性空间,是 的子空间，也称 是由 所生成的子空间,例1.1.5 设 是线性空间，显然 ，那么 是 的子空间，称为零子空间。,1.1.2 线性空间的基和

2、维数,例1.1.6 在欧氏空间 中选取个无关向量 它们便构成 的一组基。因此， 也称为 维欧氏空间。,1.1.3 线性变换,例1.1.7 记 这里 表示 区间上一次可微函数的全体， 表示 区间上连续函数的全体。容易验证 都是实数域 上的线性空间。定义也不难验证 是 到 的线性变换，有时也称为线性算子或微分算子。,例1.1.8 令 则 为 上的线性变换，易知 是 的核空间，即,显然，若向量 构成 的一组基，则由上述基的定义可知，对所有 ，均可以惟一表成 我们称 为关于基 的坐标。若向量 构成 的另一组基，则有,而对任意 ，有,由此可知 我们称 为基 和基 之间的坐标变换。容易验证，坐标变换也是

3、上的线性变换。,1.2 矩阵代数中的几个结果,1.2.1 矩阵必秩的条件 定义1.2.1 矩阵 列秩:矩阵中列向量的最大线性无关组的个数； 行秩:矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。 矩阵的行秩与列秩相等。 矩阵A的行秩和列秩称为矩阵A的秩。,1.2.2 Vendermonde矩阵与友矩阵, Vendermonde矩阵及基性质,友矩阵及其性质,1.2.3 Cayley-Hamilton定理与化零多项式,1.2.4 豫解矩阵与Leverrier算法,1.3 多项式矩阵,1.3.1 基本概念,1.3.2 初等变换,多项式的初等行(列)变换,是指下列三种典型操作: 矩阵的两行(或两列)互换位置; 矩

4、阵的某一行(或某一列)乘以非零的常数C; 矩阵的某一行(或某一列)加上另一行(或列)的(s)倍, (s)为一个多项式。,1.3.3 Smith标准型,定义1.3.3 如果可以用一系列初选变换将多项 式方阵A(s)化为多项式矩阵B(s),则称多项式A(s)和B(s)互相等价。 等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下述三个性质： 反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价； 对称性， A(s)等价B(s)， B(s) 等价A(s)； 传递性，A(s)等价B(s)， B(s) 等价C(s)， A(s)等价C(s) 。,1.4有理分式矩阵及其互质分解,1.4.1 互质多项式矩阵,1.4.2 有理分式矩阵的互质分解,1.4.3,1.5 Jordan分解,1.5.1 特征值的几何重数与代数重数,矩阵某特征值的几何重数: 矩阵的Jordan标准型与该特征值相关联的Jordan块的个数. 矩阵某特征值的代数重数: 矩阵的Jordan标准型与该特征值相关所有的Jordan块的阶数之和.,1.5.2 广义特征向量链,我们可对应地将特征向量矩阵V按列做如下分块,1.5.3 Jordan分解的求取,1.6 广义Sylvester矩阵,1.6.1 求解问题与假设条件,1.6.2 完全解析解之一,1.6.3 完全解析解之二,例1.6.1 设