线性代数居余马第3章线性方程组.ppt

1、第三章线性方程组，第三章，2，2020/8/11，主要内容是n维向量及其线性相关向量组的等级及其极大线性无关组矩阵的等级，标准型齐次线性方程组有非零解的条件和解的结构非齐次线性方程组有非零解的条件和解的结构，第三章，3， 2000主要问题中心问题是讨论线性方程组解的基本问题方程组Axb的扩展矩阵什么时候可以变化为阶梯型矩阵(c，d )的dr10，消元法得到的阶梯型矩阵非零的行数是否可以随意选择自由变量，问题是这样得到的方程组解的集合是否相等使用的工具消元法向量及其对应的理论、3.1 n维向量及其线性相关性、如果ai (I=1，2，n )为实(复)数则称为实(复)向量。 关于1n元向量的概念，将

2、由定义3.1个数a1，a2，an构成的有序排列称为n元向量，记作(a1，a2，an )。 其中ai被称为第I个成分。 第三章，5，5，2020/8/11，x1=1k17 k2x2=k1x3=24k2x4=13 k2x5=k2(k1、k2是任意常数)，三个方程式k 1、24k2、13k2、k2 )T，其中(k 1、k2是任意常数)，第三章例如，为了描绘一个点在平面上的位置，需要两个数字，一个点在空间上的位置需要三个数字，也就是说，需要知道它们的坐标，并且在力学中的既有大小，也有方向，不能用一个数描绘它们，取坐标系后，可以用三个数描绘它们。 一个n元方程的解由n个组成，这n个作为方程的解是一体的，

3、分别说没有意义，即，n元方程的解是n元有序阵列，x=(x1、x2、x3、x4、x5)t k2是任意常数)，第3章，10，2020/8/11，例4球的大小为了描绘一个球的大小和位置，它必须知道中心的坐标(三个个数)及其半径，也就是球的大小和位置的例子6在国民经济中的应用，在国民经济的问题上，我们也会遇到这样的情况工厂产量用一个产品的产量需要同时指出的秩序的排列来表示，第三章，12，2020/8/11，向量通常是1行：有时是1列：行向量，列向量，行向量是1n矩阵，(a1，a2，aal )也可以写成列向量第3章，13，2020/8/11，n个成分全部为零时称为零向量，用0表示。 常用的、等表示n元向

4、量。 设零向量为0=(0，0，0)T .由整体的n元实向量构成的集合为Rn。 与第三章，14，2020/8/11，(2)之和： =(a1 b1，a2 b2，an bn )。 在k=1的情况下，=(a1，a2，an )，=()，定义3.2为=(a1，a2，an) Fn，=(b1，b2， )，(3)数和其乘积：=(a1，a2，an )，简称乘数。向量加法和数量乘法统称为向量线性运算，其运算规则与矩阵相同，仅(1)=当然，且ai=bi，I=1，2，n。f是数域，2向量的线性运算，第3章，15，2020/8/11，加法满足4个运算法则：(1) =； (2) ( ) =()； 0n=； 使() 、()=

5、0n。 第三章，16，2020/8/11，Fn，f有：1=； ()=()； ()=； ()=。 乘数满足4个运算法则：另： (1)为0=0n； k0n=0n。 定义(k=0n，=0n或k=0 (3)的向量方程式x=唯一解的： x=、3.3的区域f上的全n维向量，在此定义上述的加法和乘法，称为区域f上的n维向量空间，第三章，17，2020/8/11，向量1 矩阵a=1，2， m，x=1，2， mT 如果设定为定义3.4ifn、if(i=1、2、m )，则矢量，=112mm(1)、(1)式可以用A x=表示，此时，1、2 如果2=(2，4，1，1 ) t，=(-1，-2，- 2，1 ) t，显然是

6、=1 - 2，说明是可能的，表是1，2的线性组合5 )T，=(2，- 1，5，-4 )T，问题：是的，表是1，2，3的线性组合、第三章、19、2020/8/11、解、表能否进行1、2、3的线性组合，取决于是否找到组数k1、k2、k3 R，k11 k22 k33=。 线性方程式的三种形式有n个未知量s个方程式的线性方程式，有以下三种形式：形式一般形式，第三章，22，2020/8/11，形式二矩阵形式，在一般形式下，指令线性方程式，可以表示为ax的线性方程式，有1x1 2x2 nxn=.第三章，24， 在2020/8/11，R3中，任意的向量=(a1，a2，a3)可以由基向量e1=()表示1 )线

7、性表示为=a1 e1 a2 e2 a3 e3，在R3中，3个向量1，2， 如果3是同一个面，则至少一个向量是另外两个向量线性表示，即，如图所示，如果存在全部不为0的k1、k2、k3，则为k1k2k33的2、3、1、k22、k11、第3章、25、2020/8/11、定义3 . 如果存在m R，则“否”意味着非线性相关是线性无关的，并且仅当1、2、 m全部为零时(* )表达式才成立。 这与“(* )式成立的话，1、2、m都必须为零”等价。 112mm=0(* )、3向量的线性相关、第三章、26、2020/8/11，例如向量组是线性相关、3=31 - 2.第三章、27、2020/8/11、112mm

8、=0，证明：的必要性： 1 例如，j=1j1j1j1j1m=0，第三章，28，2020/8 /。 在此，ei=(0，0，1，0，0 )是第I个分量为1 (I=1，2，n )，其馀分量全部为零的向量。 定理3.1的等价命题： 1，2，m(m 2)线性无关的充分条件是任何向量都不能用其馀向量线性表示。 解：1e1 2e2 nen=0即(1，2，n )=(0，0，0 )因为必须有1=2=n=0.第三章，220章。 (2)两个非零向量线性相关的充分要求是比例地存在k或l。(3) R3中的3个向量，线性相关性的充分要求是共面的，任何包括第3章，30，2020/8/11，比例2 -零向量的向量组0，1，2

9、，m是线性相关性。 由于1001020 n=0，所以存在全部都不为0的1、2、k、0、0，如果例3向量组1、2、m有一部分的向量线性相关性，则向量组整体也具有线性相关性。 例如，1、2、第三章、31、2020/8/11，例如1=(1，2，1 ) t，2=，因为k (=1，2，k )都是非零的1，2， k，112kk=0成立，112k0k1k0k0m=0成立例3的等效命题与线性无关向量组的任何子集(任何部分向量)都是线性无关的。 总之，无论向量群部分是线性相关，还是整体是线性相关，所有部分都与线性无关。 第三章，32，2020/8/11，定理3.2设为1、2、s Fn，其中1=(a11，a21，

10、an1)T，2=(a12，s线性相关的充分条件是在s元线性一次方程组Ax=0中有非零解，其中，第三章，33，200 由于s个未知量，n个方程的线性方程组需要非零解。 也就是说，对于sn，Ansx=0需要非零解。推论.任何s个n维向量在sn的情况下线性相关。 n 1个n维向量必定线性相关。 此定理的等效命题可以由1、2、r线性表示，只要向量组1、2、r线性相关，而与数学、3.3向量组1、2、r线性无关，并且标记是唯一的。 由于向量组，1，2， r线性相关，可能存在完全非零的整数，其中1，2， r是112rr=0，第三章，36，2020/8/11，等于(b1c1)1(b2c2)2(b2c2) 因为bi=ci (I=1，2，r )，而不考虑线性，所以第一、第二、第三章、第三十七、第二十八/十一行是Rn中的任何n-1个向量都具有线性相关性。 因此，1，2，n的线性相关性可以由定理3.3表示，向量可以由1，2，n的线性表示，其中所述推论是唯一的和Rn的线性不相关的n个向量，Rn中的任何一个都是1