积分不等式的证明及应用

1、衡阳师范学院 毕业论文（设计）题 目：积分不等式的证明及应用 所 在 系： 数学与计算科学系 专 业： 数学与应用数学 学 号： 08090233 作者姓名： 盛军宇 指导教师： 肖娟 2012年 4 月 27 日积分不等式的证明及应用数学与计算科学系 数学与应用数学专业学号:08090233 姓名:盛军宇 指导老师:肖娟 摘要 本文主要研究了如何利用积分中值定理、辅助函数、以及一些特殊积分不等式等方法证明积分不等式,并通过若干实例总结有关积分不等式的证明方法及规律,讨论了一些特殊积分不等式的应用.关键词 积分不等式；中值定理；函数0. 引言 积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析

2、中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.对积分不等式证明方法的介绍,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.目前国内外对该课题的研究比较普遍,主要研究了如何利用微积分相关知识来解决一些比较复杂的积分不等式的证明.积分不等式的常用证法有: 定积分的定义、定积分的性质、泰勒公式、分部积分法、线性变换等.本文主要从以下几个方面讨论和归纳了一系列积分不等式的证明方法:利用积分中值定理来证积分不等式、利用不等式来证积分不等式、利用微分中值定理来证积分不等式、利用积分中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分

3、不等式等.1. 积分不等式的证明方法1.1 利用积分第一中值定理证明积分不等式积分第一中值定理(定理1) 若在上连续, 则至少存在一点,使得.积分第一中值定理在证明积分不等式中有着举足轻重的作用.例1 设在上可微,而且对于任意,有,求证:对任意正整数有,其中是一个与无关的常数.分析 由于目标式中一个式子为,另一个式子为,故把按区间可加性写成一些定积分的和,并应用积分第一中值定理加以证明.证 由定积分的性质及积分中值定理,有,又因为在上可微,所以由微分中值定理可知,存在,使得, ,因此 .在抽象函数的积分不等式中,若出现和号、幂函数、对数函数等,一般可以利用定积分的定义或区间可加性,将区间等分,

4、点也可采用特殊的取法.1.2 利用拉格朗日中值定理证明积分不等式 拉格朗日中值定理(定理2) 若函数满足如下条件:在上连续；在内可导, 则在内至少存在一点,使得.利用拉格朗日中值定理的关键是根据题意选取适当的函数和区间,使它们满足拉格朗日定理条件,然后运用拉格朗日公式或等价形式来运算得出所要的结论.例2 设在上连续.证明:若,则,.分析 由条件,及与,故想到利用拉格朗日中值定理.证 由拉格朗日中值定理得: 对任意的,.对任意的,.,故.注意到是在上的最大值,所以解题的关键是如何使与联系起来,因而不难想到拉格朗日中值定理来证明.1.3 构造变上限函数证明积分不等式作辅助函数,将结论的积分上限或下

5、限换成,式中相同的字母也换成,移项,使得不等式的一端为零,则另一端为所作的辅助函数,这种方法在证明一些特定类型积分不等式时有重要作用.例3 设函数在上连续,证明不等式.分析 此例若令,则的正负不易判断,需进一步的改进.证 由待证的积分不等式构造变上限定积分的辅助函数,令显然,且可导,有 ,则在时单调减小,即有,特别地,即证得不等式.例4 设函数在上可微,且当时,试证 .证 问题在于证明,令,因为,已知,故当时, 记,则,=,于是,故,所以,即.通过上述两例,我们知道了构造变上限函数证明积分不等式,遇到特殊情况,不能按常规直接作辅助函数需要稍微变化一下,有时甚至要在一个题中构造两个辅助函数,以便

6、判断所作函数的单调性.1.4 利用二重积分证明积分不等式在积分不等式的证明中利用定积分与积分变量形式无关的这一性质,将定积分的平方项或者定积分之间的乘积转化为积分变量形式不同的定积分之积,把定积分化为二重积分,可以达到有效的作用.例5 若函数,在上连续,是正值函数,是单调增加函数,则.该不等式称为切贝谢夫不等式.分析 只要证即可,而上述式子又可视为累次积分,从而化为二重积分.证 因定积分的值与积分变量无关,故,. 其中,积分区域.因为定积分与积分变量的形式无关, 所以交换与的位置,得到 将式与式相加,得,由已知, 可知是正值函数,是单调增加函数,从而与同号, 于是在上,从而,.即.例6 若函数

7、在上不恒为零且连续增加,则.证 由于在上,结论式中的分母均为正值,所以结论等价于,而 其中,积分区域因定积分的值与积分变量的形式无关,故又有 将式与式相加,得,由已知,函数在上连续增加,从而对任意的,有,故.从以上的积分不等式证明中,可知把定积分化为重积分能巧妙地解决一些积分不等式的证明问题.1.5 借助于判别式来证明积分不等式引入适当的参数,构造合适的函数,讨论参数的判别式,以便证明所求证的积分不等式.例7 设,且在上连续,试证.分析 可构造多项式,利用多项式的性质来证明积分不等式.证 由题设对任意的,考察函数,因为,有,即, 不等式的左端可以看成的二次三项式,且对任意的上述不等式均成立,故

8、判别式,即.用判别式解题的关键是要有一个函数值恒定（大于或小于零、大于或等于零、小于或等于零）的一元二次方程,而,于是我们构造这样一个方程,再结合这种情况下的判别式也是一个不等式,便可证明此题.1.6 利用对称性证明积分不等式命题1 当积分区域关于直线对称时,被积函数的两个变量交换位置后,二重积分的值不变.这一条规律有助于解决一些特定类型的积分不等式的证明.例8 函数在上取正值且在上连续试证:,.证 因为关于直线对称,从而,所以.由上例可知,在积分不等式的证明过程中,我们可以应用基本不等式,它可能起到重要作用.1.7 利用积分第二中值定理的推论证明积分不等式积分第二中值定理的推论:设函数在上可

9、积.若为单调函数,则存在,使得.应用这个推论可以较容易地解决某些恒等式与某些不等式的证明.例9 设函数在上单调递增连续,则.证 假设函数,显然在上可积,又函数在上递增连续,根据积分第二中值定理的推论知存在,使得 且式又可变为.由定积分的几何意义知,同时,于是, 即,故.2. 一些特殊积分不等式的应用2.1 不等式及其应用不等式 设同为单调递减或当调递增函数,则有.若中一个是增函数,另一个为减函数,则不等式变为.不等式有广泛应用,特别在证明一类积分不等式中发挥重要作用.例10 设是上的下凸函数,为上的偶函数且在上递增,则,.分析 从所证的不等式看,它有点类似于不等式,如果能够构造出一个单调函数满

10、足不等式的条件,问题就容易解决了,为此构造辅助函数,令.证 令,显然也为上的偶函数,由于是上的下凸函数,故当,即,即,所以,在上为增函数,由不等式知,可得.2.2 利用不等式证明积分不等式不等式 若在上可积,则.不等式是一个形式简单,使用方便的积分不等式,在证明某些含有乘积及平方项的积分不等式时颇为有效.例11 已知,在上连续, 为任意实数,求证: 证 式左端第一项应用不等式得 同理 .此题证明的关键在将写成的形式,以便应用不等式.2.3 不等式定理3 设在上连续,且,又是上的连续凸函数（指下凸函数）,则有积分不等式 注 若是上的连续凹函数,则式中的不等式号反向.定理4 设在上连续,且,是上的

11、连续凸函数,则有 注 当是上的连续凹函数时,式中的不等号反向.例12 设在上连续,且,则对任意的自然数,有.证 令,那么,故为凹函数,显然在的定义域内有意义,故由定理知,结论成立.例13 设是上的正值连续函数,则对任意的自然数,有.证 令由上例知为凹函数,故由定理知结论成立.2.4 不等式的应用不等式 设是单调递增的,连续于上,表示的反函数,则,其中等号成立当且仅当.不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解.例14 证明:时,不等式成立.证 设,则单调并连续,因为,由不等式有,故.2.5 不等式不等式 设在区间上, ,连续,一阶可导,任给,成立不等式,且

12、.若在上单调递减,则;若在上单调递增上述不等式变号.例15 证明.证 对任意的,因为,所以有;此外,显然有且函数在上单调递减,从而根据不等式,知.结论总之,以上讨论的积分不等式的主要证明方法都离不开积分的性质,主要是通过函数的可微性和函数的可积性,利用二重积分、拉格朗日中值定理和积分中值定理来证积分不等式；以及巧妙的利用不等式和不等式等,在实际应用中需要结合各方面灵活使用题中条件或不等式,才会使问题得以正确解决.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,2001:223.2宋海涛.几个定积分不等式的证明J.高等数学研究,2003,6(4):34-35.3陈兴荣,杜家安.关

13、于积分不等式的证明J.工科数学,1993,9(2):77.4孙清华,孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）M.武汉:华中科技大学出版社,2003.5张瑞.定积分不等式证明方法的研究J.内江科技,2001,(5):102.6丰刚.几个积分不等式及其应用J.牡丹江大学报,2010,19(7):88-89.7刘玉记.再谈Youngs不等式的证明J.齐齐哈尔师范高等专科学校学报,2009,(4):108.8舒阳春.高等数学中的若干问题解析M.北京:科学出版社,2005:108-109.9杨和稳.积分不等式证明技巧解析J.高等数学研究,2009,12(6):38.10裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.

14、北京:高等教育出版社,1993.The proof and application of integral inequalityDepartment of Mathematics and Computational Science Mathematics and Application Mathematics specialtyNumber:08090233 Name:ShengJunyu Instructor:XiaoJuanAbstract: This paper studied to use the integral mean value theorem、the auxiliary function、 some special integral inequality and other methods to prove in