科学计算与数学建模第二章.ppt

1、1，计算方法电子教案，中南大学数学科学学院应用数学和应用软件系列，2，2章插值方法1介绍2拉格朗日插值多项式3牛顿插值多项式3牛顿插值多项式4段低插值5阶样条插值6数值微分，3，1介绍1.1插值方法生产和科学研究中出现的函数多种多样。经常发生：在实际问题中，可以断定它存在于考虑的函数区间中，并且是连续的，但是很难找到相应的解析表达式，只能通过实验和观察从限制点获取值(例如函数表)。显然，要使用牙齿函数表分析或直接求出函数状态，4点的函数值非常困难。有时可以编写函数解析表达式，但结构相当复杂，使用起来很不方便。在这种情况下，我们希望基于生成的函数表(或结构复杂的分析表达式)粗略构造简单的函数P(

2、x)。插值法是解决这些问题的比较古老的方法，但它是目前常用的方法，直接广泛应用于生产实际和科学研究，也是进一步学习数值计算方法的基础。5，定义设置函数y=f(x)从间距a、b连续且n 1个不同点获取值。在特性优良且易于计算的函数类中，求简单的函数p(x)，在其他点将其用作f(x)。区间称为内插区间，点称为内插节点，(1.1)为f(x)的内插条件，函数类别称为内插函数类别，p(x)为函数，(1.1)，6，节点的内插函数。寻找插补函数p(x)的方法称为插补方法。插值函数类的方法不同，但得到的插值函数p(x)接近f(x)的效果取决于使用需要。常用的是代数多项式、三角多项式、有理函数等。选择代数多项式

3、作为插值函数时，相应的插值问题称为多项式插值。多项式插值中最常见和最基本的问题是求不超过n的代数多项式，7，(1.2)。其中是错误。满足插值条件(1.3)的多项式(1.2)在节点上称为函数f(x)的n次插值多项式。N次插值多项式的几何意义：如图2-1所示，通过曲线y=f(x)的n 1点的N次代数曲线(如图2-1所示，曲线y=f(x)的近似值)。8，9，1 .2插值多项式的存在唯一性由插值条件(1.3)知道，插值多项式的系数满足线性方程组(1.4)，线性方程组系数决定因素(以V记录)为n阶范德蒙(Vandermonde)矩阵表达式。因此，得出了如果定理1节点徐璐不同，满足插值条件(1.3)的二次

4、插值多项式(1.2)牙齿存在且唯一的结论。11，2拉格朗日插值多项式在上一节中指出了插值多项式的存在性和唯一性，并给出了求解线性方程组(1.4)确定系数的方法。但是，牙齿方法的计算工作量大，实际应用不容易。介绍几个茄子简单的方法。2.1插值准则函数首先考虑简单的插值问题。为节点中的任意点创建N阶多项式，从该点取值1，从其他点取值0。即，(2.1) (2.1)表示N个点是N阶多项式的0。因此，可以对其进行设置。12，在这里待定。众所周知，一组牙齿多项式仅与节点提取相关，这称为N-1节点上的N次默认插值多项式或N次插值基函数。13，2.2拉格朗日插值多项式可以使用插值基准函数(1.3)即时创建满足

5、插值条件(1.3)的n次插值多项式(2.3)。实际上，每个插值基准函数都是N阶多项式，因此线性组合(2.3)必须是N阶以下的多项式，根据条件(2.1)将(2.3)等插值多项式称为拉格朗日插值多项式，这是记录为(2.4)、14的特殊情况，其中n=1、(2.4)示例1分别知道通过线性插值和抛物线插值得出的值。由于图2-2，16，115位于100和121之间，因此节点x0=100，x1=121相应地具有y0=10，y1=11，因此可以在线性插值公式(2.5)中使用2.3插值剩馀部分在插值部分a，b中的插值多项式近似记住，用近似值替换时产生的剪切误差称为插值多项式的余数。关于误差，有以下定理2的估计式

6、。定理2为满足N阶导数，区间上n 1个徐璐其他节点，条件：20，N阶插值多项式而设定。已知插值条件，该条件证明插值节点全部为零，因此(2.10)，可以在此处设置待定函数(2.10)。如下所示，在区间上对所有其他点进行辅助函数，可以很容易地看出具有以下特征的： (2.11)、(2.9)、21、(2)到N阶导数，(2.12)等式(2.11)至少有n 2，至少有n 1个徐璐其他0点如果是(2.12)，表达式就等于(2.10)，那么就等于(2.9)。22、示例2分别使用在示例1中通过线性插值和抛物线插值计算的近似值来估计剪切误差。求解通过线性插值获得的近似。截断误差在插值剩馀公式(2.9)中当前被称为

7、x0=100、x1=121和x=115。因此，如果，23，是抛物线插值得出的近似值，那么其截断误差将被替换，得到2.4插值。将两点记录为通过线性插值计算的近似(通过两点线性插值计算)时，假定剩下的公式(2.9)，24，(2.13)，区间变化不大，除以上述两个表达式即可显示近似(2.13)，示例3示例1中的节点，计算的近似，同样，节点，可计算的另一个公式因此，牛顿插值多项式是插值多项式的另一种表示，与拉格朗日插值多项式相比，不仅克服了示例1中“添加节点时必须重新开始整个电脑操作”的缺点，同时牛顿插值多项式中使用的差分和阶等概念与数值计算的其他方面有着密切的关系。在3.1前差分和牛顿插值公式设置函

8、数x等距离节点中，函数值是已知的。其中h称为正常，阶段。两个相邻点和挠曲值之间的差异是函数X在点处用作h阶段的第一前向差分第一差分，即27，通常定义函数X的点的M次差，为了便于计算和应用，通常以表格式执行差分计算，如表2-1所示。对于表2-1，28，等距离节点，使用表示牛顿插值多项式3.1的系数的差分和生成的公式简化事实，插值条件可以立即从插值条件中获得29，因此，满足插值条件的插值多项式是命令，可以简化用前向差分表示的牙齿插值多项式。这称为牛顿前向插值公式(forward interpretion formula)。这对计算标头附近的函数值很有用。插值剩馀公式2.9中可用的前导插入公式的剩馀

9、部分，32，30，(3.3)示例4列出了给定正弦函数表2-2左侧两列中的计算，并估计了截断误差。31，0.12在0.1到0.2之间，因此在牙齿点。为此，配置差分表22。表中矩形框内的每个数字是按顺序排列的差分值和每个顺序的值。使用线性插值近似sin0.12时，可以立即在前插值公式3.2中使用二次插值。三次插值可以使用三次插值。32，很近，所以可以在差分表22看到。第三次差分接近常数(即接近于0)，因此作为近似值，还有剩馀公式(3.3)牙齿。除了前向差分外，还可以引入反向差分和中心差分(分别在H阶段采用第一次反向差分和M次反向有限差分，33，在点处采用第一次中心差分和M次中心差分)。其中每个阶逆

10、有限差分和中心差分计算可以通过构造逆差分表和中心差分表来实现。请参阅表2。使用反向差分可以简化牛顿插值多项式(. 1)，并导出与牛顿前插值公式3.2类似的公式。也就是说，如果查看节点排序顺序，则可以将. 1)写为34。根据插值条件反向差分表示的插值多项式中的t0，插值多项式(用于计算页脚附近的函数值)。插值剩馀公式(. 9)，后跟插入公式的剩馀部分，(3.4)，35，(3.5)示例将sin(0.58)的近似值计算为后缀公式(3.4)，因为它位于已知函数表相等示例、计算和剪切误差估计0.58牙齿页脚附近通常，需要配置反向差分表以计算函数位置的每个阶反向差分。但是，通过正向差分和反向差分定义，您可以看到为相同函数表配置的反向差分表与正向差分表完全相同。因此，表格-以“”线表示的数字依次提供函数值和倒数值。由于接近三次反向差分牙齿常数，所以用三次插值计算，因此从后插入公式(3.4