九年级数学上册 一元二次方程提高讲义 人教新课标版

1、一元二次方程一、本讲学习目标1. 正确理解一元二次方程概念，会识别，在综合题中，做到合理应用。2. 熟练用各种方法解一元二次方程，注意旧知识的应用，体会知识的融汇贯通，及转化思想的重要性、普遍性。3. 灵活应用根的判别式及根系关系，提高分析、解决、归纳问题的能力，加强分类思想。4. 从实际生活出发，应用数学解决问题，建立方程思想，立足相等关系，列一元二次方程，通过对它们的求解，经实际情况检验，最终解决实际应用题。二、重点难点考点分析1.重点是一元二次方程及其解法，判别式和根系关系的应用。2.难点是配方法和列方程解应用题及综合题。三、概念解析1.一元二次方程 只含有一个未知数，未知数的最高次数为

2、2的整式方程，叫做一元二次方程.其中（称为一元二次方程的一般形式.2.一元二次方程的解使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解.3.一元二次方程的解法：配方法；公式法；因式分解法.(1) 配方法用配方法解一元二次方程的原理是： 用配方法解一元二次方程的一般步骤1、二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；2、移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；3、配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；4、用直接开平方法解变形后的方程。注意：当时，方程无解 (2)公式法用公式法解一元二次方程的依据是：将一般形式配方为再开平方并整理，得出一元二次方程的求根公

3、式：（.用公式法解一元二次方程一般步骤： 1、将方程化为一般形式；2、确定方程的各系数a，b，c，计算的值；3、当，将a，b，c以及的值代入求根公式，得出方程的根注意: a、当时，方程无解；b、公式法是解一元二次方程的万能方法；c、利用的值，可以不解方程就能判断方程根的情况；（3）分解因式法分解因式法的理论依据是：若两个因式的积等于零，则这两个因式中至少有一个等于零.原理是：一般步骤如下：1、将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；2、将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；3、令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；4、解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。4.一元二次方程的

4、根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式b2-4ac 当0时，方程有两个不相等的实数根； 当0时，方程有两个相等的实数根，当0时，方程没有实数根5.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1，x2，那么，(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，x1x2=q(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0注意：（1）再次强调：根的判别式是指=b24ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。 （3）如果

5、说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b24ac0切勿丢掉等号。（4）根的判别式b24ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.6.列方程解应用问题的步骤审题，设未知数，列方程，解方程，答。四、知识框架（的解法一元二次方程的应用直接开平方法配方法求根公式法因式分解法概念一般形式方程的根二次项一次项常数项根的判别式根与系数的关系二次三项式的因式分解与经济、工程有关的问题与图形有关的问题与增长（降低）率有关的问题与数字有关的问题与利润有关的问题其他有关的问题一元二次方程1. 题型归纳类型1.一元二次方程的概念及一般形式例1.方程化成

6、一般形式是_它的二次项系数是 .例2. 方程是关于x的一元二次方程，则（ ）A. B. C. D. 类型2. 一元二次方程的常规解法例1. 2 例2. 例3. (x5)(x+3)+(x2)(x+4)=49 例4. （因式分解法）例5.例6.例7.（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（ ）； （2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（ ）。类型3. 一元二次方程判别式的应用 不解一元二次方程，判断根的情况。例1 不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x2+3x4=0 （2）ax2+bx=0（a0） 根据方程根的情况，确定

7、待定系数的取值范围。例2k的何值时？关于x的一元二次方程x24x+k5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；例3.(2009成都)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是什么？ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。例4求证方程（m2+1）x22mx+（m2+4）=0没有实数根。 应用根的判别式判断三角形的形状。 例5.（2009年黄石市）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ）A14B12C12或14D以上都不对例6（ 重庆市江津区）已知、分别是ABC的三边，其中1，4，且关于x的方程有两个相等的实数根，试判断

8、ABC的形状。例7已知：a、b、c为ABC的三边，当m0时，关于x的方程c（x2+m）+b（x2m）2ax=0有两个相等的实数根。求证ABC为Rt。判别式的综合应用例8（09年潍坊)关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ）A6B7C8D9例9.（一模东城23）已知：关于的一元二次方程（1）若求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若12m40的整数，且方程有两个整数根，求的值例10.（09一模密云县23） 关于x的方程至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.例11. （模昌平23）已知：关于的一元二次方程（1）若原方程有实数根，求的取值范围；（2）设原方程的两个实数根分别为，当取哪些整数时，均

9、为整数；利用图象，估算关于的方程的解类型4.根与系数的关系已知一个根，求另一个根和参数的值例1：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及的值已知一个根，求代数式的值例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程两根的：(1)平方和； (2)倒数和.求作新的二次方程例3：已知方程，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方证明等式和不等式韦达定理和根的判别式结合，可以讨论根的符号特征，并且证明一些等式和不等式问题例4：已知实数满足，求证：类型5.一元二次方程的应用常规应用题：类型1：降价促销 。例1.某水果批发商场经销一种高档水果 如果每千克盈利10元，每天可售出50

10、0千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 类型2:面积问题。例2.课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图121），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽 类型3：利率、增长率问题。例3.某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年年初投人资金相加所得的总资金作为下一年年初投人资金，继续进行经营，如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点门第二年的年获利率是第一年

11、的年获利率与10的和人第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年利率类型4：转化分式方程例4.在抗击“ SARS”的过程中，某厂甲、乙两工人按上级指示同时做一批等数量的防护服开始时，乙比甲每天少做3件，到甲、乙两人都剩下80件时，乙比甲多做了2天，这时，甲保持工作效率不变，乙提高了工作效率后比原来每天多做5件，这样甲、乙两人同时完成了任务求甲、乙两人原来每天各做多少件防护服？1. 课后练习及课后作业：1.（2009东营）若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ）（A）1 （B）2 （C）-1 （D）-2 2.（2009年兰州）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2，x1x2.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2+6x+30的两实数根，则+的值为 3.如果关于x的一元二次方程2x(ax4)x2+6=0没有实数根，那么a的最小整数值是 。4.（株洲市）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A B C D 5. 解方程6. 解方程7. （1） （2） 8. 已知关于x的一元二次方程的一个解是0，求m的值。9. 求证：关于x的方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0没有实数根。10.设是方