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1、湘潭大学数学与计算科学学院,1,1.2 极限的判别准则,一、夹逼准则,二、单调有界数列收敛准则,四、小结,三、两个重要极限的严格证明,湘潭大学数学与计算科学学院,2,证,一、夹逼准则,湘潭大学数学与计算科学学院,3,以上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,湘潭大学数学与计算科学学院,4,注意:,准则I和准则I 称为夹逼准则.,湘潭大学数学与计算科学学院,5,例1,解,由夹逼定理得,湘潭大学数学与计算科学学院,6,单调增加,单调减少,单调数列,准则II 单调有界数列必有极限.,二、单调有界数列收敛准则,湘潭大学数学与计算科学学院,7,准则II几何解释:,( 证明略 ),湘潭

2、大学数学与计算科学学院,8,证,湘潭大学数学与计算科学学院,9,(舍去)，所以,湘潭大学数学与计算科学学院,10,三、两个重要极限的严格证明,(1),湘潭大学数学与计算科学学院,11,于是可得,湘潭大学数学与计算科学学院,12,一般等价形式：,具体证明可参见教材P23：,注 主要是利用的复合函数的极限运算法则即可.,湘潭大学数学与计算科学学院,13,例3 求,解 当x=0时，原式=1.,当x0时，,原式,湘潭大学数学与计算科学学院,14,(2),定义,湘潭大学数学与计算科学学院,15,类似地,湘潭大学数学与计算科学学院,16,湘潭大学数学与计算科学学院,17,湘潭大学数学与计算科学学院,18,

3、一般等价形式：,具体证明可参见教材P26：,注 主要是利用的复合函数的极限运算法则即可.,湘潭大学数学与计算科学学院,19,解,例4 求,湘潭大学数学与计算科学学院,20,湘潭大学数学与计算科学学院,21,四、小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则; 单调有界准则 .,注 代表相同的表达式,或,湘潭大学数学与计算科学学院,22,思考题：,1. 设,且,求,解,利用极限存在准则,湘潭大学数学与计算科学学院,23,故极限存在，,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,湘潭大学数学与计算科学学院,24,分析 给定数列的奇数项子列单调增加有上界，偶数项子列单调减少有下界，因此两子列均收敛 . 所以对于这种数列仍可应用单调有界准则.,湘潭大学数学与计算科学学院,25,证 首先易见,又计算可得,所以两子列均收敛，然后由递推式,湘潭大学数学与计算科学学院,26,两端取极限得,于是得到,同理可得

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