第一章误差.ppt

1、计算方法引论,曹爱增,学时安排：,本课程共42学时,第一章 误差,1、模型误差：为便于计算或分析对数学模型进行合理简化，造成数学模型与实际问题之间的误差。,1.1 误差的来源,其中， 是由实验观测到的常数,=（0.0000238 0.0000001）1/,2、观测误差：由于仪器本身的精度或某些偶然客观因素，使得观测（或实验）数据与实际值之间存在的误差。,Lt-lt 是模型误差,如上面0.0000001/ 是 的观测误差,4、舍入误差：用有限位小数来代替无穷数或较少位小数代替较多位数产生的误差。,例如：无穷级数：,实际计算时取前面有限项，从而出现截断误差：,3、截断误差：用数值计算方法求得的近似

2、解时，产生的误差。,1、浮点数： 形式 ：x= xJ = 0.12txJ,1.2 浮点数、误差、误差限和有效数字,该集合可用四元组（，t，L，U）来表示，共有元素2(-1)t-1(U-L+1)+1个，是有限集这些数分布在区间m，M-M，-m 0中，其中m=l-1，M= U(1- -t)，而且分布是不均等的，如下图：,x：x= 0.12txJ ,0i-1,10,LJUU0,从而决定计算机上的浮点运算是无法精确进行的,2、误差、误差限和有效数字 ：,(1)、误差：近似值x*与准确值x的差，e*=x*-x,(2)、误差限：若|e*|=|x*-x| *，则*就叫近似值x*的误差限。 即：xx*-*,x

3、*+*,(3)、有效数字： x*= 0.12nx10p， 0.12n5x10p,(4)、有效数字与误差限之间的关系：,1.3 相对误差和相对误差限,1、相对误差：,2、相对误差限：,3、相对误差限与有效数字位的关系：,1.4 误差的传播,1、基本算术运算结果的误差界：,相应地用微分形式：dx=x*-x，dy=y*-y 则：d(xy)=dxdy d(xy)=ydx+xdy d(x/y)=(-xdy+ydx)/y2，y0,4、计算机规格化浮点数表示有t位有效数字的关系式,2、函数求值的误差估计：,用f(x*)去近似f(x)，误差界df(x)可用taylor公式估计。,3、计算机浮点运算的误差：,1

4、.5 在近似计算中需要注意的一些现象,1、要避免两个相近的数相减：,两个正数值差u=x-y的相对误差：,当x接近于零时应作变换：,2、要大数吃小数：,当x充分大时应作变换：,例如：x2-(109+1)x+109=0的根为x1=109，x2=1，若用只能表达到小数后8位的计算机，用二次方程的求根公式计算，则：,其中，-b=109+1=(0.1+0.0000000001)X1010，由于计算机只能表示8位小数，则-b=109，类似的有：,故求得的两个根是：,为避免出现上面现象，应：,3、要注意计算步骤的简化，减少运算次数：,4、要避免作被除数的绝对值远远大于除数绝对值的除法：,例如计算多项式：,可改成如下形式：,准确解：,5、要选用数值稳定的计算公式：,若在尾数是3位十进制的浮点系统中运算，结果是：,x2=1，进而求得x1=1,若第一个方程减去第二个方程的0.0001倍，仍在上述系统中，则：,例：计算,分部积分得In的递推公式：,而