九年级数学上学期 一元二次方程暑假导学案 人教版

1、22.1一元二次方程（第1课时）【学习目标】1.一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用根的作用的理解 2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念【自主探究一】1.如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 解：只列方程： 。2.再观察下列各式：1. 2. 3. 4. 问题一：上面1、2题目中含有 个未知数？问题二：按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 次？类比一元一次方

2、程的定义，那么上面的方程叫做 。方程的特点：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；归纳一元二次方程定义：只含有 ，并且未知数的 为 的 方程，叫做一元二次方程【知识梳理】一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项【典例分析】例1.将方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数解：去括号得 ，移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式其中二次项系数是3，一

3、次项系数是8，常数项是10【尝试练习】1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数1. (2x-1)=7 2. 【自主探究二】1.什么是一元一次方程的解？一个一元一次方程有几个解？2你能猜测方程的解是什么吗？那一元二次方程应该有几个解？【小试牛刀】1将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项2你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？（1）；（2）【应用拓展】 求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程 22.2降次解一元二次方程（1）（第2课

4、时）【学习目标】1.本节课主要学习运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程2.运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p0）的方程3.通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程，知识迁移到解形如（m x+ n）2=p（p0）的方程体会由未知向已知转化的思想方法【复习引入】1求出下列各式中x的值，并说说你的理由（1）x2=9 （2）x2=5 （3）x2=a（a0）【自主探究】一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？解：设， 列方程， 猜想上述方程的解为： 【尝试练习】

5、问题1：对照上述解方程的过程，你能解下列方程吗？从中你能得到什么结论？（1）；（提示：开平方得到）（2）【知识梳理】：1简单的解一元二次方程的思想“降次”把二次降为一次，进而解一元一次方程即在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程2如果方程能化成或的形式，那么直接开平方可得或【巩固练习】解下列方程1x2-3=0 24x2-9=0 3. 4x2+4x+1=1 4. x2-6x+9=0【拓展练习】 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率 22.2降次解一元二次方程（2）配方法（第3课时）【学习目标】1.本节课主要学习运用配方法，

6、即通过变形运用开平方法降次解方程。2.探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程。渗透配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法【复习引入】请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9知识归纳：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p0）如：4x2+16x+16=（2x+4）2【典例分析】例1，要使一块矩形场地的长比宽多6 cm，并且面积为16 cm2，场地的长和宽分别是多少？分析：设场地的宽为x m，则长为 m，根据矩形面积为16 cm2，得到方程 16，整理得

7、到x2+6x160，如何解方程x2+6x160？只要把上述方程左边化成一个完全平方式的形式，问题就解决了，于是想到把方程左边进行配方，对于代数式x2+6x只需要再加上9就是完全平方式（x3）2，因此方程x2+6x=16可以化为x2+6x9=169，即 25，问题解决。小结：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。例2. （配方法） 解：移项，得 由此可得， 所以，【小试牛刀】1. 2. 【阶段总结】1.利用上面配方法解方程的过程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？（1）x28x + 1 = 0；（2）；（3）（1）中

8、经过移项可以化为，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到，得到（x4）2=15；（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即，方程两边都加上，方程可以化为；2.配方法解方程时应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式；（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解【巩固练习】解下列方程 （1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0【应用拓展】

9、例：如图，在RtACB中，C=90，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半_B_C_A_Q_P 解：设x秒后PCQ的面积为RtACB面积的一半 22.2降次解一元二次方程（3）（第4课时）【学习目标】1用公式法解一元二次方程。2掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程3通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性【复习引入】1.用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52【自主探索】提出问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2

10、+bx+c=0（a0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？例，已知ax2+bx+c=0（a0）且b2-4ac0，试推导它的两个根为x1=，x2=提示：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解：移项，得： 二次项系数化为1，得 配方，得：x2+x+（ ）2=-+（ ）2 即（x+）2= 且4a20 0 直接开平方，得：x+= 即x= x1=，x2=注意： （）即是一元二次方程的求根公式。例2利用公式法解下列方程，从中你能发现什么？（1）（2）（3）总结步骤：1.确定的值、2.算出的值、3.代入求根公式求解（1）一元二次方

11、程的根是由一元二次方程的系数确定的；（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在的前提下，把的值代入 （）中，可求得方程的两个根；（3）我们把公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；（4）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根【巩固练习】用公式法解下列方程（1）x2-5x-6=0 （2）7x2+2x-1=0 （3）3x2-5x+2=0（4）5x2+2x-6=0 （5）4x2-7x+2=0 （6）2x2-x-=0【应用拓展】例：某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下面的问题若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存

12、在，求出m并解此方程22.2降次解一元二次方程（4）（第5课时）【学习目标】1.用根的判别式b2-4ac来判别ax2+bx+c=0（a0）的根的情况及其运用。2.掌握b2-4ac0，ax2+bx+c=0（a0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac0，方程有 ；（2）b2-4ac=12-12=0，方程 ；（3）b2-4ac=-441=0（0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=x1=，即有两个不相等的实根当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b

13、2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即x1=，x2= （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即x1=x2= （3）当b2-4ac0 Bk0的解集是_10已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=_11若x=2-，则x2-4x+8=_12若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是_13若a+b+c=0，且a0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_14若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_15若两个连续偶数的积是224

14、，则这两个数的和是_三、计算题（每题9分，共18分）1按要求解方程：（1）4x2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x2-x-6=0（精确到01）2用适当的方法解方程：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；（3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=03若方程x2-2x+（2-）=0的两根是a和b（ab），方程x-4=0的正根是c，试判断以a、b、c为边的三角形是否存在若存在，求出它的面积；若不存在，说明理由4已知关于x的方程（a+c）x2+2bx-（c-a）=0的两根之和为-1，两根之差为1，其中a，b，c是ABC的三边长 （1）求方程的根；（2）试判断

15、ABC的形状【应用题】1某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？2李先生乘出租车去某公司办事，下午时，打出的电子收费单为“里程11公里，应收29.10元”出租车司机说：“请付29.10元”该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价N（N12）是多少元里程（公里）0x336价格（元） N 【中考搜寻】1.（2010广州）方程的根是（ ） A B C D 2.（2010襄樊）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，则平均每次降价（ ）ABCD3.（2010威海）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 4（2010四川省资阳）已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)0的根的情况是（）A没有实数根B可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根5（2010年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为 .6.（2010江