《金融工程》课件：Chapter 11 二叉树简介.ppt

1、第11章 二叉树简介,内容提纲,11.1 单步二叉树与无套利方法 11.2 风险中性定价及其与无套利的关系 11.3 两步二叉树 11.411.5 看跌期权与美式期权 11.6 Delta 对冲 11.7 u和d与波动率,11.1 单步二叉树与无套利,1.1 引例 假设股票的当前价格是20美元，3个月后，该股票的价格可能为22美元或者18美元，一个欧式看涨期权的敲定价格是21美元，确定期权的当前价格。,A stock price is currently $20，K= 21 In 3 months it will be either $22 or $18,建立一个无风险投资组合：即无论股价如何

2、变化，该组合的价值保持不变 购买股股票； 卖空一个欧式看涨期权。 如果 22D 1 = 18 D or D =0.25， 则投资组合无风险。,0.25股股票,该组合在到期时的价值 如果S=22，则 V=22*0.25 - 1=4.5 如果S=18，则 V=18*0.25=4.5 该组合在当前的价格：由无套利原理，组合的价格为其价值的无风险贴现： 期权的价格：设股票当前的价格为 20，期权的价格为 f，则 20*0.25 - f = 4.367, 得 f = 0.633,1.2 推广：一般公式 记号如图,涨,跌,组合的价值 如果股票上涨到，则组合的价值为 如果股票下跌到, 则组合的价值为 由两种

3、情形组合的价值相同，可计算股票头寸的数量 D,期权的价格 由构造组合的成本应=组合价值的贴现：,即期权的价格为：,代入 D , 即有：,其中,(11.2),例 P166 ： 在前例中，有,因此,1.3 股票收益期望与期权价格的无关性 股票上涨或下跌一般有不同的概率； 上述期权的定价与股票上涨或下跌的概率无关 根据股票价格定价，其实已经将股价的变化概率考虑在内。,11.2 风险中性定价,关于公式(11.2) 假设随机变量 X 表示期权在 T 时刻的价值，并设 期权的当前的价格即是其期望价值的无风险贴现，即 p: 可解释为股票上涨的概率，,p as a Probability,考虑股票的期望价格：

4、 当股票上涨的概率为 p 时，有,或者,代入 p 的值，即有,（11.4）,风险中性世界：投资者对风险不要求任何补偿，所有证券的期望收益等于无风险收益。 (11.4)表明：当股票上涨的概率p由(11.3)定义时，股票的期望收益率等于无风险利率，即p是在风险中性世界里股票上涨的概率； (11.2) 表明：期权的价格等于风险中性世界里期权期望价值的无风险贴现,2.1 应用风险中性定价的举例 计算股价上涨的概率 p 由公式(11.3) 由公式(11.4) ,即,即得 p=0.6523,或者,计算期权价格 f 根据公式(11.2), 由 结论：风险中性定价与无套利方法等价,贴现，即得,2.2 现实世界

5、语风险中性世界 计算股价上涨的真实概率 p* 设股票在现实世界中的期望收益率为 16%，则 计算现实世界期权价格 f 的困难 不能确定期权在真实世界里的期望收益率，无法获得贴现利率,得,11.3 两步二叉树,引例,K=21, r=12% p=0.6523,10% p,-10% 1-p,-10% p*p,-10%,10%,-10% (1-p)*(1-p),t,0,0.25,0.5,节点 B 的价值 e0.12*0.25(0.6523*3.2 + 0.3477*0) = 2.0257 节点 A 的价值 e0.12*0.25(0.6523*2.0257 + 0.3477*0) = 1.2823,20

6、 1.2823,22,18,24.2 3.2,19.8 0.0,16.2 0.0,2.0257,0.0,A,B,C,D,E,F,11.4 看跌期权实例,假设 K = 52, Dt =1yr, u=1.2,d=0.8 r = 5%， p= 0.6282 (由(11.2),由(11.10)可得 方法总结 从树的末尾出发，以倒推的形式到树的起点，在树的每个节点处计算期权的价值（价格），直到树的起点止。,11.5 美式期权,定价方法 从树的末尾出发，以倒推的形式到树的起点，在树的每个节点处计算期权的价值（价格），直到树的起点止，由(11.5)计算。 在中间(包括起点)的每个节点处，验证提前执行是否最优

7、，即假设提前执行，比较与不提前执行，期权的价值。,举例：一个美式看跌期权，假设 K = 52, Dt =1yr, u=1.2,d=0.8 ，r = 5%， p= 0.6282 (由(11.2),9.4636,提前 执行,不提前 执行,不提前 执行,2,11.6 Delta,定义：Delta (D) 是期权价格变化与标的股票价格变化的比率。 意义：对于期权的空头，为了构造无风险组合，往往需要通过持有(卖空)标的股票来对冲风险， Delta 应该持有(卖空)标的股票的数量，这也称为Delta 对冲方法或期权的复制。,举例,假设当前股价 S=20，K= 21, Dt=0.25,20 1.2823,2

8、2,18,24.2 3.2,19.8 0.0,16.2 0.0,2.0257,0.0,A,B,C,D,E,F,在第 1 步，,Delta=,如果在第 1 步，股价上涨，则在第2步,Delta=,在第 1 步，,Delta=,在第2步,Delta=,结论 在二叉树中，各个节点处的 Delta 不同，这实际反映了Delta 值将随时间变化而变化； 看涨期权的Delta是正的，表示需要买入标的，看跌期权的Delta是负的，表示需要卖出标的。,11.7 选取 u 和 d 使得二叉树与波动率吻合,问题 股票价格是一个随机变量，在二叉树中，如何反映了股价的真实波动率？ 二叉树中的 u 和 d 是反应股价波

9、动率的参数，这实际上是如何选择，使得二叉树与股票真实的波动率吻合。,现实世界,风险中性世界,7.1 现实世界 设股票在 Dt 时间间隔内收益率记为 假设股票价格的年波动率为 s, 年期望收益为 m, 即 那么股票在 Dt 时间间隔内波动率和期望收益率为,股票价格的期望与二叉树中股票价格期望一致，即 二叉树中，股票价格波动率应与现实世界的波动率一致，即,可得,(11.11),所以,即有 忽略时间间隔的高阶项，可得,7.2 风险中性世界 假设在风险中性世界里，股票的期望收益率等于无风险收益率，因此，(11.11)成为 股票价格的期望,其中,风险中性世界股票价格波动率,代入p,代入u, d,忽略时间的高阶项,结论： 当从现实世界转向风险中性世界时，股价的收益率期望将会发生变化，但收益的波动率(即股价波动率)不会改变； 当从一组风险偏好转向另一组风险偏好时，变量的期望收益率会发生变化